电路分析基础.ppt

北京邮电大学出版社BeijingUniversityofPostsandTelecommunicationsPress 电路分析基础 吴文礼编著 BUPTPress 目录 第一章导论第二章电路基本概念第三章电路定律第四章电路的分析方法第五章一阶电路第六章高阶电路和复数频率第七章正弦稳态电路分析第八章交流功率第九章频率响应 BUPTPress 第一章导论 1 1电量和国际单位制1 2力 功和功率1 3电荷与电流1 4电压1 5电能和电功率 BUPTPress 1 1电量和国际单位制 本书采用国际单位 SI 制 国际单位有9个基本单位 长度 米 m 质量 千克 kg 时间 秒 s 电流 安 培 A 温度 开 尔文 K 物质的量 摩 尔 mol 平面角 弧度 rad 立体角 球面度 sr 发光强度 坎 德拉 cd 所有其他的物理量都从基本单位导出 BUPTPress 电路分析中常用的物理量如下表所示 我们应尽可能使用国际单位的10的幂次及约量 BUPTPress 1 2力 功和功率 我们从 力等于质量乘以加速度 物理概念出发可知 1牛顿就是使1千克质量的物体能产生1米 秒2的加速度的力 即同样 在力的作用下使物体移动一定距离时就做功 1焦耳等于1牛顿 米 即功和能量单位相同 功率是做功的速率或能量从一种形式转化为另一种形式的速度 功率的单位为瓦特 W 即 BUPTPress 1 3电荷与电流 电荷有正电荷和负电荷 电荷流动形成电流 电流单位为安培 A 一般用I表示恒定电流 i表示随时间变化的电流 在1s时间内通过一定截面1C电荷的电流为1A 一般可表示为 对于时变电流可表示为 由于电荷移动可以为正 也可以为负 设定正电荷移动的方向为电流的正方向 故负电荷移动的方向为反方向 在电路分析中比较重要的是金属导体中的电流 它由原子结构最外层电子的运动产生的 BUPTPress 1 4电压 电压通常是电位 是指电荷在电场中的位能 电压差 也叫电位差 是电荷从一点移动到另一点所需要做的功能 电压的单位是伏特 单位符号V 1V等于移动1C电荷需要1J功 即电压的计量符号用下标表示对应于哪两点 如果字母a代表一点 字母b代表另一点 需要W焦耳的功来从b点向a点移动Q库仑电荷 则Vab W Q 注意 第一个下标点是电荷移动到达点 电压极性的定义 如果从b向a移动正电荷做功 则a点对b点为正 BUPTPress 1 5电能和电功率 电荷在电场中移动会吸收或释放能量 这种能量称为电能 电能单位是焦耳 J 电能的转换速率是电功率 P 单位是瓦特 W 即每秒中电能的变化量J s 可表示为由于电压V J C 电流A C s 即V A J C C s J s BUPTPress 故电功率等于电压和电流的乘积 即P VI由于V I随时间变化 则瞬间功率也为时间函数 功率是能量对时间的微分P dW dt在电动机等其他设备中输出功率常用称为马力 horsepower hp 的单位表示 马力与瓦特的关系为 1hp 745 7W BUPTPress 第二章电路基本概念 2 1电路元件分类2 2电压源2 3电流源2 4电阻元件2 5电容元件2 6电感元件 BUPTPress 2 1电路元件分类 电器设备可用具有不同性能电路元件组成的电路图或网络图来描述 简单的电路元件是二端元件 按性能可分为七种基本元件 用图2 1表示 图2 1 BUPTPress 有源元件 能提供电路能量的是电压源 a b 或电流源 c d 其中用圆圈表示的 a 和 c 是独立电压源和电流源 不受电路变化影响 用菱形表示的 c 和 d 是受控电压源和电流源 随电路变化而变化 电压源和电流源通称为有源元件 无源元件 将电路中能量转化其它形式和将它储存在电场或磁场中的元件是电阻R 电容C和电感L 其符号如2 1中的 e f 和 g 称R L和C为无源元件 BUPTPress 2 2电压源 理想电压源的定义是 其两端电压与通过它的电流无关 电压源的电压叫做源电压 又叫做电动势 源电压可以是时间的函数 图2 1中 a b 是电压源的符号 a 是独立电压源 b 是受控电压源 图中u为源电压 和 表示u是 端相对于 端的电压 BUPTPress 2 3电流源 理想电流源的定义是 通过它的电流与其两端的电压无关 通过电流源的电流叫做源电流 源电流可以是时间的函数 图2 1中 c d 是电流源的符号 图中表示源电流 箭头表示源电流的参考方向 实际电流的方向与箭头方向相同 则取为正 反之取负 2 1中 c 为独立电流源的符号 d 为受控电流源的符号 BUPTPress 2 4电阻元件 电阻元件是吸收电路传输的电能 使其转化为其他能量的装置 表现这一物理属性是欧姆定律 即电阻两端的瞬时电压只取决于流过它的瞬间电流 R称为元件的电阻值 单位是欧姆 符号为 1 1V A 最早是通过导体的导电性能认识电阻的 导体的导电性能是用导体的电阻率来衡量的 均匀截面的导体的电阻是式中 是导体的长度 m A是截面积 m2 是电阻率计量符号 国际单位为欧姆 米 BUPTPress 一般 电阻率比较高的材料做成电阻器 电阻器吸收的功率是电阻器所能承受的功率称为额定功率 工作时电阻器吸收的功率要小于电阻的额定功率 一般称额定瓦数 瞬时功率的积分可确定电阻元件的耗能 BUPTPress 2 5电容元件 电容是以聚集电荷的形式贮存电能的二端元件 电容器的特点是两端的瞬时电压只取决于其中的瞬时电荷量 按电流注入端为电压的正极性端 如图2 2所示 电容的单位是法拉 称为 F 用 C 表示电容量的值 对于填充线性介质的电容器 其电荷 电压 电流 功率及能量的关系如下 图2 2电容元件在电场中的储能 BUPTPress 2 6电感元件 电感是贮存磁场能量的元件 二端电感就是自感 对于填充线性磁介质的线圈 其瞬时磁通量正比于通过它的瞬时电流 如图2 4所示电压和电流参考方向相同时 依据电磁感应定律可得电路的方程为L称为电感元件的电感量 单位是亨利 符号为H 电感的功率和能量的关系如下图2 4电感的参考方向 BUPTPress 在t1到t2电感吸收能量电感元件在磁场中的储能为 BUPTPress 例 当0 t 2 50 s时 通过30mH电感的电流为i 10 0Sin50t A 求电感的电压 功率和能量 并画出波形图 解 BUPTPress 波形图如图2 5所示 图2 5由图2 5看出 当i 0时 能量为0 电感中电流增加时 能量增加呈储存能量 电流减小 能量减小 是能量的释放阶段 BUPTPress 电感器的结构 线圈的电感取决于线圈的形状 环绕材料的磁导率 匝数 匝的间隔及其他因素 对于图2 6所示的单层线圈 其电感量大约为 L N2 A L其中 N为线圈的匝数 A为磁芯的截面积 单位为m2 L为线圈的长度 单位为m 为磁导率 单位为H m 亨利 米 图2 6 BUPTPress 第三章电路定律 3 1电路中的支路 节点 回路和网孔3 2基尔霍夫电压定律 KVL 3 3基尔霍夫电流定律 KCL 3 4电路元件的串联3 5电路元件的并联3 6电阻电路的分压与分流 BUPTPress 3 1电路中的支路 节点 回路和网孔 为了分析电路方便 将电路中各部分分别定义为支路 节点 回路和网孔 结合图3 1说明如下 图3 1 BUPTPress 支路 一个元件就可称为一个支路 如图3 1中R1 R2 R3等都构成一个支路 电源U1构成CD支路 节点 两个或多个支路的联结点称为节点 如图3 1中的AB和AD支路中的交点A为节点 AB BD和BC三条支路的交点为B节点 回路 电路中任何闭合的路径都可构成回路 如图3 1中由R1 R2和R3组成回路 R3 R4和U1组成回路 由R1 R2 R4和U1组成回路 网孔 内部再没有闭合路径的回路 网孔内部没有元件 如图3 1中回路 均为网孔 BUPTPress 3 2基尔霍夫电压定律 KVL 基尔霍夫电压定律简称KVL 在任一时刻 电路中的任一回路中 各支路电压代数和为零 KVL方程表示如下 n0为该回路中的支路数 KVL方程还可表示为 即在任一时刻 电路的任一回路的支路电压升等于电压降 KVL的几点说明 1 KVL是根据能量守恒原理得来的 2 KVL与各支路连接的元件性质无关 即不管是电阻 电容 电感还是电源 不管是线性元件还是非线性元件 定律都成立 BUPTPress 3 3基尔霍夫电流定律 KCL 基尔霍夫电流定律简称KCL 在任一时刻 电路的任一节点 流出该节点的所有支路电流的代数和为零 KCL方程可表示为 n0为该节点相连的支路数 也就是在任一时刻 电路的任一节点 流入该节点的支路电流之和等于流出该节点的支路电流之和 故KCL方程可表示为 BUPTPress KCL说明 1 KCL是由电流的连续性得到的 2 节点上各支路电流之间的制约关系与支路特性无关 也就是对任何元件的支路KCL定律都成立 3 KCL定律可以推广闭合面 如图3 3所示 图3 3 BUPTPress 3 4电路元件的串联 多个元件连接在一起通过同一电流称为串联电路 图3 6所示电路是三个元件Z1 Z2和Z3的串联连接电路 元件两端电压分别为U1 U2和U3 总电压是各电压之和 U U1 U2 U3电阻元件的串联 当Z1 Z2和Z3分别为R1 R2和R3时 Req为串联等效电阻 对于多个电阻串联Req R1 R2 R3 图3 6即串联等效电阻为各串联电阻之和 BUPTPress 电感元件的串联 电容元件的串联 当Z1 Z2和Z3分别为L1 L2和L3时 对于多个电感的串联 其等效电感量为各个串联电感量之和 即 当Z1 Z2和Z3分别为C1 C2和C3时 对于多个电容串联 其等效电容为 电容串联的等效电容量的倒数为各串联电容的倒数之和 BUPTPress 例 两个串联的电容器 C1 20 0 F C2 100 0 F 求等效电容值 如果C2 100 0pF 求等效电容 解 由于 可得 当C2 100 0 F时当C2 100 0pF时由此可见 当两个电容相差很大时 串联后的等效电容值基本上等于小的电容值 而两个相差很大的电阻串联时 等效电阻值基本接近较大的电阻值 BUPTPress 3 5电路元件的并联 多个电路元件两端跨接在同一电压上称为并联 图3 7图3 7表示三个元件并联的情况 由KCL可知 流入节点的电流等于离开这一节点三个支路电流之和 BUPTPress 电阻元件的并联连接 当图3 7中Z1 R1 Z2 R2 Z3 R3时 则当多个电阻并联时 其等效电阻与各并联电阻之间关系如下 对于两个电阻并联 其等效电阻等于两个电阻的乘积除以两个电阻之和 即 BUPTPress 电感元件的并联连接 当图3 7中Z1 L1 Z2 L2 Z3 L3时并联后等效电感为Leq对于多个电感的并联 其等效电感与各电感之间关系如下 对于两个电感并联 其等效电感等于两个电感的乘积除以两个电感之和 即 电阻和电感并联后的等效值要小于其中最小一个之值 BUPTPress 电容元件的并联连接 当图3 7中Z1 C1 Z2 C2 Z3 C3时 即等效电容值为 Ceq C1 C2 C3当多个电容并联时 Ceq C1 C2 C3 电容并联后等效电容值为各个电容之和 BUPTPress 3 6电阻电路的分压与分流 分压 图3 8所示是一种常用的电阻分压器 因为图3 8称为分压系数 BUPTPress 分流 图3 9所示是常用电阻分流器 其中支路电流i1是总电流一部分 称为分流 图3 9电流分流系数为 BUPTPress 第四章线性电路的分析方法 4 1支路电流法4 2网孔电流法4 3矩阵和行列式4 4节点电压法4 5输入电阻4 6转移电阻 4 7电路化简4 8叠加原理4 9戴维南与诺顿定理4 10最大功率传输定理4 11特勒根定理4 12互易定理 BUPTPress 4 1支路电流法 支路电流法是以支路电流为变量 首先指定网络中各支路电流及其方向 然后列出独立的KCL和KVL方程组 解方程以求得全部的支路电流与电压 下列例子说明其方法和步骤 例用支路电流法求解图4 1所示电路中各支路电流 图4 1 BUPTPress 解 1 确定三个支路电流I1 I2和I3及方向 如图4 1所示 2 电路有n个节点 b条支路 就可选 n 1 个独立节点 列出 n 1 个独立的KCL方程 此题有两个节点a b 选定a为独立节点 有 4 1 3 列出m b n 1 个独立的KVL方程 本题b 3 n 2故有m 2两个独立的KVL方程 4 2 4 3 4 解 4 1 4 2 4 3 联立方程 代入具体数据解得 5 计算结果可用功率平衡检验 BUPTPress 4 2网孔电流法 网孔电流法 用于平面电路 是设定以网孔电流为自变量 这样电流形成完整的闭合回路 有时把它们称为回路电流 网孔电流可以按顺时针或逆时针方向 设定了电流方向 就可以写出每个回路 网孔 的KVL方程 建立联立方程求解 下面结合实例说明方法和步骤 例用网孔电流法 求图4 2所示电路的各支路电流 图4 2 BUPTPress 解 1 按顺时针方向设定回路电流I1 I2 2 写出两个回路的KVL方程 左回路 从a点开始右回路 从b点开始3 代入具体数据整理求解 左回路 右回路 解得 流过上的支路电流 4 用功率平衡校验法来校验算法结果的正确性 BUPTPress 4 3矩阵和行列式 n个网孔的网络的n个联立方程可以写成矩阵的形式 参考有关介绍矩阵和行列式的书 矩阵行列式是分析复杂网络的有效工具 例如图4 3所示的三个网孔的网络 图4 3 BUPTPress 应用KVL可以得到下面三个方程 将方程改写成矩阵形式 BUPTPress 矩阵中的元素写成一般形式 表示如下 其中 元素R11 1行1列 是网孔电流I1流经的全部电阻之和 同样 R22 R33是I1 I2分别流经的全部电阻之和 元素R12 1行2列 是网孔电流I1和I2共同经过的全部电阻之和 如果两个电流的方向相同 R12取 号 如果两个电流的方向相反 R12取 号 同样 R21 R23 R13和R31也是对应下标所指两个网孔电流的公共电阻之和 其符号的确定同R12一样 电流矩阵是单列矩阵 用下标1 2 3 来表示 该项电流与那个网孔相对应 在网孔电流法中 电流矩阵是未知的 为所设定的自变量 电压矩阵也是单列矩阵 元素V1是驱动网孔电流I1的全部电压之和 如果I1从电源正端流出符号为 号 如果I1从电源负端流出符号为 号 BUPTPress 克莱姆法则 未知数Ii是两个行列式的比值 分母行列式都是一样是求知数系数组成的矩阵 元素阵列 称为系数行列式 用符号 R表示 分子行列式除一列以外均与 R相同 求第i个求知数时将 R中的第i列用矩阵方程等式右边的一列代替 这样就可得出 BUPTPress 用电压项的余因子对分子行列式进行展开得到一组方程 可以帮助理解网络 特别是网络的驱动点和转移电阻 这里 ij代表 R中Rij 表示i行j列 元素的余子式 必须注意余子式的符号 请参考行列式运算书 BUPTPress 4 4节点电压法 节点电压法是以独立的节点电压为变量 列出KCL方程来分析电路的方法 首先选择一个主节点作为参考点 然后对其它每一个主节点都设定一个电压 可以认为是相对于参考点的电压 作为未知变量 求解这此变量就可以得到网络的解 例如图4 5所示电路 求RB和RD上的电压 图4 5 BUPTPress 解 图4 5所示电路具有5个节点 其中4和5是简单节点 1 2和3是主节点 选定节点3为参考节点 设节点1上参考电压为V1 节点2上参考电压为V2 V1 V2的参考点为节点3 用KCL列出节点1 2的电流方程 流出节点的全部电流之和为零 对于节点1 对于节点2 以V1 V2为自变量将方程整理为矩阵形式 BUPTPress 可以看出系数矩阵具有对称性 元素 1 1 包含了全部与节点1相连的电阻的倒数之和 元素 2 2 包含了全部与节点2相连的电阻的倒数之和 元素 1 2 和元素 2 1 是所有与节点1和2连接的支路的电阻的倒数之和 此题电路中只有一条支路 右边是驱动电流矩阵 它包含有VA RA和Vb RB 因为它们均是驱动一个电流流入节点 所以它们均为正值 将具体数据代入解得 上的电压为上的电压为显然用节点电压法比回路电流法简单多了 BUPTPress 4 5输入电阻 在单个电源的网络中 感兴趣的是驱动点电阻也就是一般称之为输入电阻 图4 6所示的网络 驱动电压V1 与其对应的电流为I1 因为只有一个电压源V1 则I1的方程如下输入电阻是V1与I1的比值 输入电压与输入电流之比 可得图4 6的单位是 BUPTPress 4 6转移电阻 网络中某一支路的驱动电压可以在网络的各支路中产生电流 例如图4 7 电压源Vr 会使输入端产生输出电流Ir 由于电压源Vr是加到无源网络上 输出电流Is的网孔电流方程为 由此看出 仅含有一项 它是产生的 网络的转移电阻是与之比 因为电阻矩阵是对称的 图4 7所以 BUPTPress 4 7电路化简 电路分析可以利用串联 并联的等效电阻 再结合分压 分流的规律来简化网络 等效网络的全部功能 一般化简电路方法是从找出网络中电阻的串并联关系开始 例求图4 9所示电路中120V电压源提供的功率和每个电阻上的电压降 图4 9 BUPTPress 解 对于图4 9ef往右看可以等效为图4 10 a 图4 10 BUPTPress Ref 4 12 4 12 3 将Ref与17 串联可将图4 9等效为图4 10 b 可以求出接到120V上的总电阻 Rgf 17 3 20 电路中吸收的总功率与电源提供的功率相等 PT V2 Rgf 1202 20 720W电阻120 6 直接并联在ef两端 即 V12 V6 Vef 120 3 17 3 18V电阻7 和5 串联后并联在ef两端 所以V7 7 Rab Vef 7 12 18 10 5VV5 5 Rab Vef 5 12 18 7 5VV17 120 Vef 120 18 102V BUPTPress 4 8叠加原理 在任何由线性元件 线性受控源组成的网络中 所有独立电源共同作用在某一支路上产生的电流 或电压 等于网络中每一个独立电源单独作用在该支路产生电流 或电压 的代数和 当某一电源单独作用时 其它独立电源应为零值 即独立的电压源短路 独立电流源开路 电阻保留 功率不符合叠加原理 因为它与电压或电流是平方关系 是非线性的 现在我们再看一下例4 4方程的解式中的I1表达式 看出暗含了叠加原理 I1为三个电压源作用之和 BUPTPress 4 9戴维南与诺顿定理 任何线性有源的二端网络 对其外部特性而言 可以用一个电压源和一个电阻串联代替 戴维南定理 或者用一个电流源和一个电阻并联代替 诺顿定理 如图4 12 a 所示网络可以等效为如图4 12 b 所示的电压源或者如图4 12 c 所示的电流源 图4 12 BUPTPress V 称为戴维南等效电压 I 称为诺顿等效电流 两个定理中串联和并联电阻相等称为等效电阻R V 为两端网络a b两端开路时在端口上产生的电压 I 为两端网络a b两端短路时产生的电流 R 为将网络中全部的电压源短路 电流源开路 保留电源内阻 从a b端看入的等效电阻 对于同一个二端线性有源网络 即可等效为电压源 又可等效为电流源 相互等效 I V R 可将等效电压源转换为等效电流源V I R 可将等效电流源转换为等效电压源 BUPTPress 4 10最大功率传输定理 对于线性有源网络向外负载电阻RL传输功率时 RL不同所得到的功率也不同 有源网络可以等效为一个电压源V 和一个内阻R 串联 如图4 14所示电路 网路向负载传输最大功率的条件是负载电阻等于网络的等效内阻 即 RL R 由图4 14所示的等效电路可得图4 14负载上吸收功率是可见 当RL R 时PL最大此时传输效率 50 BUPTPress 4 11特勒根定理 定理 具有b条支路 n个节点的任意集中参数网络 在任何瞬间各支路电压与电流乘积的代数和为零 设网络的支路电压为Uk 支路电流为Ik k 1 2 b 具有关联参考方向 则有 定理 具有b条支路 n个节点的同样向图的两个集中参数网络N和 支路电压分别为表示为Uk和 支路电流分别为表示为和 则有 BUPTPress 4 12互易定理 定理 在无源的线性网络中 在支路1中接入电压源Us 在支路2中产生的电流等于支路2中接入相同电压源Us 在支路1中产生的电流 如图4 16 a b 所示 a b 图4 16 BUPTPress 定理 在无源的线性网络中 在支路1中接入电流源 在支路2中产生的电流U2等于将同一电流源接入支路2中 在支路1两端产生的电压U1 如图4 17 a b 所示 U1 U2 图4 17 BUPTPress 第五章一阶电路 5 1引言5 2换路定则及初始值计算5 3通过一个电阻使电容放电5 4通过一个电阻使电容充电5 5通过一个电阻使电感中的电流消耗掉5 6在电感中建立一个直流电流5 7恒定激励一阶电路的三要素公式 BUPTPress 5 8一阶电路的脉冲响应5 9一阶电路对指数函数激励响应5 10一阶电路对突加正弦激励的响应5 11一阶电路中强响应的总结5 12微分电路与积分电路5 13突变情况的分析 BUPTPress 5 1引言 激励电源的变化或电路元件的变化 会使电路从一种状态切换到另一种状态 电路的各部分的电压和电流从原来的值变化到新的值都要有一个过渡时期 这个时期称为过渡过程 也称为暂态过程或瞬态过程 在暂态过去后电路才能进入新的稳定状态 描述电路用的线性微分方程有两部分解 通解 或齐次解 和特解 通解对应的是暂态 特解对应的是稳态 电路的阶数与描述电路的微分方程阶数是一致的 一阶电路只包含一个独立的储能元件 一个电容或一个电感 随着独立储能元件增加 电路的复杂程度也增加 描述电路的微分方程的阶数也增加 凡是高于一阶的方程统称为高阶方程 相应的电路称为高阶电路 在这一章里 我们将求出给定变量初始条件和电源的一阶电路的响应 我们将引出一种直觉方法去得到相应的响应 而不必通过微分方程正式求解 也将提出和解决关于自然的 强制的 阶跃和冲击响应的一些重要问题 包括直流稳态和电感 电容的换路定则 BUPTPress 5 2换路定则及初始值计算 1换路定则我们将电路及参数发生变化称为换路 设t 0发生换路 为了分析方便 设想为换路前的时刻 为换路后时刻 为了计算换路后电路的响应 必须了解储能元件上电流或电压换路前后的关系 利用电场能量和磁场能量变化是连续的 可得出电容上的电压 或电荷 和电感中的电流 或磁链 不能突变的原则 称为换路定则 设t 0时发生换路 有也就是说在换路时刻 换路前后电容上的电压和电感中的电流保持不变 BUPTPress 2初始值计算 利用换路定则 得到时的等效电路 就可以计算电路中其它电量的初始值 电容等效为电压源 其电压等于 电感等效为电流源 其电流为 例在图5 2 a 所示的电路中 当t 0时 开关由1倒向2 求和 图5 2 BUPTPress 解 时 开关处在1的位置上 此时电路是稳定的 电感L中的电流不变 即 电感两端电压 电感相当于短路 电感中电流为 开关倒向2的位置上 电感等效为电流源 等效电路如图5 2 b 所示 由换路定则可得 由此可见切换具有电感回路的电路时 可能产生高电压 这一点对设备和人身安全非常重要 BUPTPress 5 3通过一个电阻使电容放电 在图5 1 a 所示的RC电路中 设电容两极板间有电压差为 在t 0时刻将开关合上时 就为电容两极板间提供一个电阻通道 存贮的电荷通过电阻从一个极板到另一个极板 形成电流 电容上的电压逐渐地减小到零 这时电流也变为零 这一过程称为放电过程 这种由动态 储能 元件内部已贮的能量在电路中引起的响应 称为零输入响应 图5 3 BUPTPress 时 图5 3 a 所示电路中的开关合上 以电容上电压为未知变量 可列出KCL方程 整理成高阶导数项系数为 的标准微分方程形式 这种方程通解为形式 代入上式得到 由上式可得 即 BUPTPress 由换路定则可知 时 电容上的电压与换路前一样 即可求得 t 0 5 5 t 0 5 6 这里RC称为电路的时间常数 由 5 5 5 6 式看出 电容器的电压和电流分别以初始值和按指数规律下降 随时间增加 逐渐减小到零 下降的速度由时间常数来决定 越大下降得越慢 见图5 1 b 和 c 由图可看出为下降到初始值的1 e所需要的时间 BUPTPress 5 4通过一个电阻对电容充电 在t 0时刻 将一个没有电荷的电容 通过一个电阻接到电压为的电池上 如图5 4 a 所示 电容上的电压通过电阻中流过的注入电流而逐渐上升到 此时电阻中的电流减小到零 这一过程称为电容充电过程 由于电路中储能元件初始状态能量为零 也称为零状态响应 图5 4 BUPTPress 对于t 0时开关已经合上 回路的KVL方程为 将代入 整理后将方程变为其全解为 其中通解 或称自然响应 为的形式 由于激励函数为常数 故特解为 求出待定系数A和U 将和代入上式得 BUPTPress 当 得 当 得 将A U代回得出其全解 利用可得和见图5 4 b c 所示波形 BUPTPress 5 5通过一个电阻使电感中的电流消耗掉 图5 6所示的RL电路中 设在t 0时电流为 此时电感中储存磁能 在t 0时 电流流过电阻消耗电感中的能量 随磁场能量消耗尽 回路中电流变为0 由KVL可知电流应满足它的解是 代回可得 初始条件则其中为电路的时间常数 图5 6 BUPTPress 5 6在电感中建立一个直流电流 将一个电感中电流为零的RL电路 突然接到一个直流电源上 电感中电流将从零以指数形式进行增长 时间常数为L R 按图5 8 a 所示电路 说明求解过程 当t 0时开关合上 应用KVL列出方程并求解通解 特解 可得图5 8当时 得 BUPTPress 对于通解 可得其中为电路时间常数这样就可得到电感中电流和两端电压 波形画于图5 8 b 和 c BUPTPress 5 7恒定激励一阶电路的三要素公式 对于既有外加激励又有初始储能的电路 它的换路响应 称为全响应 由叠加原理可认为全响应是零输入响应和零状态响应的叠加 如图5 9所示电路 全响应为图5 9 BUPTPress 对于较复杂的这样恒激的一阶电路常用的求解方法 是用三要素公式 对于图5 9的KVL方程为标准微分方程为其解为u t 是特解项 为通解项 对通用形式 设特解为 通解为 则对于换路后激励一阶电路的响应 一般形式为可利用换路定则和稳定状态以后来确定和 BUPTPress 时 时 由此可得一阶响应的通式其中为响应的终值 上式称为换路后恒定激励一阶电路响应的三要素公式 由于三要素和表达了一阶电路的物理特征 完全可以从相应电路求出 就简化电路响应的求解 该公式不仅适用于换路后恒定激励一阶电路任意响应求解 也适应一阶电路零输入的求解 BUPTPress 例 如图5 11 a 所示电路中 在t 0时将开关合上 求t 0时电容两端的电压和流过电容中的电流 解 利用换路定则 可得在t 0时刻 电容器可等效为的电压源 求的等效电路如图5 11 b 所示 则图5 11 BUPTPress t 0时 对于电容器回路可等效为图5 11 c 所示电路 可得时间常数时 电路终值等效电路仍为图5 11 c 所示图5 11 BUPTPress 利用三要素公式可以写出t 0时 和的波形分别如图5 11 d 和 e 所示 图5 11 BUPTPress 5 8一阶电路的脉冲响应 如图5 12 a 所示电路表示输入信号为矩形脉冲的开关模型 波形如图5 12 b 所示 图5 12这就是把矩形脉冲信号 等效为在t 0时输入端对地短路 接地 在t 0时刻将输入接到电压源 或电流源 上 并保持到t T时再将输入端接地 其表示式为 BUPTPress 结合具体例子进行推导 如图5 13 a 所示的一阶串联RC电路中 电压源提供了一个持续时间为T 高度为的脉冲 如图5 13 b 所所示t 0时 和均为零 图5 13在脉冲持续时间相当于在t 0时将接到电路上 通过一个电阻对电容充电 可得 BUPTPress 当脉冲结束时t T 电容上电压充电到 此时输入端对地短路 相当于电容上的电压通过电阻R放电 由5 3节 并注意到时延T 将式中t用t T代替可得由波形图可以看出 把前一个过程结束电路所处的状态 作为下一个过程开始的初始条件 BUPTPress 5 9一阶电路对指数函数激励响应 图5 17 a 所示的一阶RL电路 电压源在时 时 如图5 17 b 所示 电路在时初始值为零 图5 17应用KVL能得到微分方程 BUPTPress 整理为标准形式t 0时求解为利用时的条件 代入上式得 所以对于特殊情况时 即强迫函数和自然响应具有相同指数时 上式不成立 此时强制响应改为 自然响应不变 则可得 BUPTPress 5 10一阶电路对突加正弦激励的响应 正弦电源是常用的一种电源 我们以图5 18所示的电路为例 分析t 0时开关闭合换路后电路的电流 利用欧拉公式得到正弦函数和虚指数函数的关系当时使用图5 17的分析结果 就可以得到正弦激励下电路中电流响应 即图5 18 5 30 BUPTPress 可以看出当时 经过一段时间趋于零则达到稳态响应瞬态响应自由分量为在开关闭合瞬间 如果调整开关闭合瞬间 使则接入相位角应满足使用同步开关 选择瞬时值等于的瞬间闭合开关 则自由分量为零 换路后无瞬变过程 能立刻进入新的稳定工作状态 可以克服换路出现的过流现象 BUPTPress 5 11一阶电路中强响应的总结 一阶电路典型微分方程为强迫响应是由强迫函数决定的 在下面的表5 1中总结了一些常用的强迫函数和对应的强迫响应 这些响应可以通过代入微分方程求出 用表5 1中这些函数加权的线性组合以及它们的时间延迟 可以推导出新的函数的强迫响应 BUPTPress 表5 1 a BUPTPress 表5 1 b BUPTPress 5 12微分电路与积分电路 一阶RC和RL电路最常的用途是做微分电路或积分电路 这是双端口电路 它们的基本特征是输出口的电压与输入口的电压对时间的微分或对时间的积分成比例 也就将输入端的波形通过这种电路转换成其导数或积分形式的波形 1微分电路与积分电路的基本结构及特征微分电路与积分电路 比较理想的是由运算放大器构成的有源电路组成 这里只介绍由RC和RL组成的电路 图5 19 a b 是最基本的微分电路 BUPTPress 图5 19 c d 是最基本的积分电路 微分电路的条件是电路的时间常数非常小 信号的持续时间足够长 积分电路的条件是电路的时间常数很大 信号持续时间相对较短 时间常数大到何种程度可根据具体工作情况合理选择 BUPTPress 2微分电路应用实例 微分电路是提取阶跃信号和脉冲信号前后沿的简单实用电路 例图5 20 a 所示电路是单片计算机常用的上电复位电路 其中输出端接到计算机CPU芯片复位端 输入端接到CPU芯片供电电源上 每次开机时 从0V上升到 5V 输出端也跳升到 5V 然后按指数规律下降 当低于2 2V 时 复位作用结束 求该电路有效复位脉冲宽度 见图5 20 b 所示 图5 20 BUPTPress 解 设在t 0时开机由0V上升到 5V 利用三要素公式来计算当时可得 开机经过82ms以后CPU复位结束 投入正常启动程序 我们可根据不同芯片对复位脉冲最小持续时间的要求 来改变电路的时间常数 电阻应根据芯片复位端输入阻抗不同首先确定下来 然后再对时间常数要求 计算出电容的数值 BUPTPress 3积分电路应用实例 RC积分电路经常用作简单的脉冲延时 消除窄脉冲干扰和电源退耦等 例图5 22 a 所示电路 其中RC积分电路起脉冲延时的作用 输入信号为矩形脉冲如图5 22 b 所示 设整形电路的触发电平为2 5V 输入阻抗忽略不计 求整形输出相对于输入信号的延时 解 由图5 22 b 可知 输入信号的脉冲宽度为T 0 4ms当时 利用三要素公式求得 BUPTPress 设上升到触发电平的时间为 则由此式可得当时 设下降到触发电平的时间为 代入上式得则由此看出脉冲宽度大于电路时间常数4倍以上时信号幅度为整形触发电平2倍时 上升和下降延迟相等 整形后输出信号的脉冲宽度与输入信号相同 BUPTPress 5 13突变情况的分析 如果在电路中 有两个电容上的电压值不同 换路后将两个电容并联在一起瞬间使两个电容上的电压相等 显然电容上的电压发生了突变 称之为突变情况 同样对含两个以上电感的电路换路也可能发生突变情况 对于突变情况 我们仍然可用瞬间电荷守恒或磁链守恒规律求出初始值 例图5 25所示电路 是常用的RC分压器 设电路的初始状态为零 输入信号为求 并说明如何调节能使此电路无过渡过程 BUPTPress 解 t0时 可以列出以为未知数的电路微分方程来求解 图5 25设电容上的电压为 则列出a节点的KCL方程整理成标准形式由 5 34 式看出该电路是一阶电路 可用三要素公式来求解 BUPTPress 电路的时间常数当时当时已知在时 故a节点的总电荷为零 所以在时刻这两块极板上总电荷仍然保持为零 即因为当时 可得 BUPTPress 输出电压为由上式看出 当时 此时电路将不出现瞬变过程 此时输入波形与输出波形仅相差一个衰减系数 并完全相似 改变 输出波形变化如图5 26所示 BUPTPress 第六章二阶电路 高阶电路和复数频率 用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路 二阶电路一般有二个独立的储能元件 两个电容 或两个电感 或一个电容和一个电感 含有更多个储能元件的电路 得用更多阶微分方程描述称为高阶电路 本章以一些二阶电路的例子 介绍其分析方法 复频率和零 极点图 其中串联RLC电路和并联RLC电路是教学大纲要求内容 复频率 零 极点 强迫响应和自然响应是自学内容 BUPTPress 6 1串联RLC电路6 2并联RLC电路6 3复数频率6 4在s域中的一般化的阻抗6 5网络函数和零极点图6 6强迫响应6 7自然响应 BUPTPress 6 1串联RLC电路 图6 1所示电路 是一个无激励电源的串联的RLC电路 当开关闭和时的KVL方程是可得解为其中 称为电路的自然频率 这样二阶电路的零输入响应 自然响应 含有两项指数规律变化的分量 需要两个条件来确定常数和 由于和对其相应影响很大 分为以下几种情况分析 时称为过阻尼情况 时为临界阻尼情况 时为欠阻尼情况 时为无阻尼情况 BUPTPress 1过阻尼情况 在这种情况下 都是正实数2临界阻尼的情况 当时 即 电路的微分方程式变为其特征方程有一对重根 由微分方程理论可知 其解的形式为 BUPTPress 3欠阻尼或振荡的情况 当电路中电阻时 出现欠阻尼或振荡的情况 这时微分方程式的特征方程的解和是共轭复数 其解可以写成指数形式也可以推导出正弦形式4无阻尼情况 当时 电路出现无衰减情况 也称无阻尼情况 此时 这种情况下 BUPTPress 过阻尼临界阻尼欠阻尼或振荡无阻尼 BUPTPress 6 2并联RLC电路 图6 6所示的并联RLC电路的响应与串联RLC电路的响应相似 在时开关闭合 由节点电压法 列出KCL方程可得 其解的形式为这里其中 称暂态阻尼因子电路自由振荡频率 BUPTPress 1过阻尼情况 在这种情况下 其解的形式为2临界阻尼情况 当时 即 是临界阻尼情况 并联RL电路微分方程式为其特征方程有一对重根 其解的形式为 BUPTPress 3欠阻尼 振荡 情况 当并联RLC电路中电阻时 就处在欠阻尼的振荡情况 这时电路微分方程的特征根和为共轭复数其中是阻尼振荡的角频率 并联RLC欠阻尼时的微分方程与串联RLC欠阻尼时微分方程形式相同 故其解的形式也相同 即 BUPTPress 6 3复数频率 以前我们讨论过电路驱动函数是一个常数 或是一个正弦函数 或者是一个指数函数 现在我们要引入复数频率s 它能统一上面提到的三个函数 并能简化分析 无论是暂态还是稳态响应分析都是需要的 对于指数函数 我们仅关心其余弦项 为了使其更具有广泛代表性 引入一个常数A和因子 其中 复频率的单位 的单位ran s 的单位也是 这就是具体单位的奈培频率 BUPTPress 这样 当和都是非零时 可表示为一个衰减的余弦函数 只考虑是负值的情况 如果和都是零 变为一个常数 当 而是非零的负数时 则变为一个指数衰减函数 在表6 1中对于表达式给出几个相对应于s值的函数 表6 1 BUPTPress 在图6 9中 是函数的波形 可以看出 当时 没有阻尼 变为幅度为的余弦波 当 变为初始值为的指数衰减函数 当和都不为零时 结果是有阻尼的余弦函数 图6 9 BUPTPress 6 4在S域中的一般化的阻抗 R L C 一个形式为的驱动电压 电压源 施加到一个无源网络回路 将产生支路电流和元件两端的电压 它们都有相同的时间函数 即为和 因此 仅需要确定电流和电压的幅度和相位 对于一个网络 用时间域表示为图6 10 a 则在S域应表示为图6 10 b 对于S域中元件的阻抗见表6 2 BUPTPress 表6 2由此看出在s域中 串联RL电路的阻抗是R sL 因此电感在s域内的阻抗是sL 电阻在s域中的阻抗为电阻的阻值 同样我们分析一个串联的RC电路 可以得到在s域内串联电路的阻抗是 所以电容在s域中的阻抗为 BUPTPress 6 5网络函数和零极点 网络函数H s 定义为指数输出Y s 的复数幅值与指数输入X s 的复数幅值之比 例如 若X s 是驱动电压 Y s 是两个端点的输出电压 H s 可以由输入 输出微分方程推导出来 线性电路由大量元件组成 网络函数是s的有理函数并能写成下列形式 因为H s 是输出响应与激励的比率 当时 不管激励有多大 响应将是零 故称零点 而当时 不管激励有多小 响应将是无穷大 故称为极点 BUPTPress 6 6强迫响应 网络函数能以零 极点形式表示并用图解得到响应 对于网络函数H s 现在设由此得出 网络对于一个有的激励响应 可以通过H s 的零 极点图中测量零点和极点到S点之间的向量长度以及它们与正轴之间的角度来确定 BUPTPress 6 7自然响应 在本章中 我们重点研究一阶 二阶的强迫响应或稳态响应 现在可以通过很有用的复数频率方法得到响应 很容易地求暂态响应特性的自然频率 它们就是网络函数的极点 例如图6 14 求当一个电压源V s 加到中间时的自然频率 解 其网络函数为自然频率为在时间域内 自然暂态电流形式是其全响应是 利用初始条件确定常数 时强迫响应 BUPTPress 第七章正弦稳态电路分析 7 1引言7 2正弦信号的基本参数7 3正弦信号的相量表示法7 4电阻 电容 电感元件的复数模型7 5阻抗和导纳7 6相量形式的基尔霍夫定律7 7网孔电流分析法7 8节点电压分析法7 9戴维南和诺顿定理 BUPTPress 7 1引言 正弦电路是激励电源可以用正弦函数来描述的电路 也称为正弦交流电路 或简称为交流电路 本章主要讲述由正弦电源驱动的电路的稳态响应 在信号分析理论中 正弦信号是合成其它信号的基本信号 因此 正弦电路的分析方法 不论对理论分析和实际应用都是非常重要的 由于正弦稳态电路的响应也是同频率的正弦形式 仅是幅度和相位发生变化 将同频率的正弦信号用复数相量表示 电路的微分方程变换为复数代数方程 把正弦交流电路分析变为处理复数的代数方程 并把电阻电路基本电路定律和原理 基本分析方法 基本概念 等效变换推广应用于正弦交流电路中 本章重点要掌握好 正弦信号的相量表示法 正弦电路的相量分析法及其它有关的基本概念 BUPTPress 7 2正弦信号的基本参数 7 2 1正弦信号的三个特征量正弦电压的波形如图7 1所示 当以时间t为自变量 其表达为以相角为自变量时 则为其中称为角频率 T为正弦信号的周期 而称为正弦信号的频率 称为初相角 既可用弦波表示也可以用角度表示 如果初相角用表示 则正弦电压的一般表示式为 BUPTPress 我们称为正弦信号的三个特征量 称为正弦信号幅度 取值为正值 称为角频率 取值为弧度 秒 f 称为正弦信号的频率 是每秒信号交变的次数 f越大表示信号变化越快 T 称为正弦信号变化的周期 称为初相角 其值表示余弦波形的正峰值点与纵轴之间的距离 如正峰点在纵轴的左侧值为正 反之值为负 同样正弦电流信号可表示为 BUPTPress 7 2 2正弦信号的峰值 平均值及有效值 1峰值 对正弦信号来说就是它的振幅或称最大值 在电路计算中有人在其单位下面加p 如表示310伏是峰值电压 有时见到620表示信号的最低点到最高点之间的值为620伏 称为峰峰值 2平均值 对于一般周期性信号的平均值是指一个周期内的平均值 其计算公式如下 其中 T为周期信号的周期 是以计算方便为原则选择的起始点 由于标准正弦信号正半周与负半周是完全对称的 所以它的均值总是为零的 对于以后要学到的整流电路中 主要考虑其正半周的平均值 BUPTPress 3有效值 在相同阻值电阻中 在相同时间内 通过交流电流所产生的热量 与通过一个直流电流I产生热量相等 则称I为的有效值 有效值的定义为有效值一个正数 在数学上称周期函数f t 的有效值为瞬时式的均方根值 即正弦信号的有效值是最大值的0 707倍 对于交流仪表中所标的数值都是有效值 我们日常使用的50Hz交流电压有效值是220V BUPTPress 7 3正弦信号的相量表示法 对于可以余弦表示得正弦信号 可看成是一个在XY平面上以原点为中心 以 为角频率旋转的向量 在X轴上投影 如图7 4所示 对于用正弦函数表示的信号 是旋转向量在Y轴上的投影 向量的长度或者幅值是余弦函数的幅值或最大值 向量与横轴 X轴 的夹角是余弦函数的相位角 就可以用向量来表示正弦信号 设旋转向量的幅度为 则位置1可表示位置2可表示位置3可表示如果电压或电流被表示为正弦函数 用相位减去的方法 将其转化为余弦函数 BUPTPress 相量是有向线段或称自由矢量 我们在字母上面加 如来标注 余弦函数的相位角是相量的角度 向量图可认为是在时刻 有向线段按逆时针旋转时所在的位置 正弦信号向量表示的具体方法见下表所示 BUPTPress 1相量的三种表示形式 相量可以当作一个复数对待 当水平轴与一个复平面的实数轴相同时 相量就成为一个复数并且适用于通常法则 根据欧拉同一性法则 对一个相量有三个等效符号 极坐标形式正交形式指数形式余弦表示式也可以写成 利用指数形式可以得到如何处理相量的积和商 因为则又因为则 BUPTPress 2振幅相量和有效值向量 向量长度用信号的振幅值 最大值 表示称为振幅相量 其符号用表示 相量长度用信号的有效值表示称为有效值相量 其符号用表示 例已知正弦电压 电流如下 试分别写出它们的振幅相量及有效值相量解 振幅相量有效值相量 BUPTPress 7 4电阻 电容 电感元件的复数模型 1电阻元件的复数模型如图7 5 a 所示 在关联参考方向下 电阻R中的电流与电阻两端电压的关系为若则可得在关联参考方向下