232平面与平面垂直的判定.ppt

2 3 2平面与平面垂直的判定 1 使学生正确理解和掌握 二面角 二面角的平面角 及 直二面角 两个平面互相垂直 的概念 2 使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单应用 1 二面角 棱 二面角 a AB 2 二面角的平面角 1 满足条件 如图 二面角 l 的平面角为 AOB 则平面角 AOB应满足的条件为 O l OA l OB l 2 直二面角 若二面角 l 的平面角 AOB 90 则该二面角叫做 3 表示方法 图中二面角可记为二面角 或 直二面角 l P l Q 3 平面与平面垂直 1 定义 两个平面相交 如果它们所成的二面角是 就说这两个平面互相垂直 2 表示 平面 与平面 垂直记作 直二面角 4 平面与平面垂直的判定定理 1 文字语言 若一个平面过另一个平面的 则这两个平面 2 符号语言 3 图形语言 垂线 互相垂直 a a 1 判一判 理清知识的疑惑点 正确的打 错误的打 1 两个相交平面组成的图形叫做二面角 2 二面角的平面角是从棱上一点出发 分别在两个面内所作射线所成角的最小角 3 若平面 平面 则 内的所有直线都与 垂直 4 若平面 和平面 不垂直 则平面 内所有直线与 都不垂直 提示 1 错误 由二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 所以 1 不对 实质上它共有四个二面角 2 错误 平面内所作的射线不一定垂直于二面角的棱 故不对 3 错误 例如 正方体ABCD A1B1C1D1中 平面ABCD与平面ABB1A1垂直 但平面ABCD内的直线AC与平面ABB1A1不垂直 所以错误 4 正确 假设在 内存在直线与 垂直 由面面垂直的判定定理知 与 不垂直矛盾 答案 1 2 3 4 2 练一练 尝试知识的应用点 请把正确的答案写在横线上 1 下图给出的二面角表示为 二面角的平面角是 2 过平面 的一条垂线可作个平面与平面 垂直 过平面 的一条斜线 可作个平面与平面 垂直 3 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 二面角A1 AB D的大小为 二面角D1 AB D的大小为 二面角D1 BC D的大小为 解析 1 根据二面角的表示法表示为 l 平面角是 AOB 答案 l AOB 2 只要过垂线的平面都和该平面垂直 故可作无数多个 过斜线上一点 只能作一条平面的垂线 斜线和垂线确定一个平面 故过平面的一条斜线 只能作一个平面的垂面 答案 无数1 3 显然为直二面角 D1AD为二面角的平面角 为45 D1CD为二面角的平面角 为45 答案 90 45 45 一 二面角及其平面角根据如图所示的二面角及其平面角 探究下列问题 探究1 二面角的平面角所确定的平面和二面角的棱的关系 提示 二面角的平面角所确定的平面和二面角的棱垂直 探究2 对于确定的二面角而言 满足上述特点的平面角有多少个 请在二面角上任意作两个平面角 平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系 提示 满足上述特点的平面角有无数多个 平面角的大小与顶点在棱上的位置无关 只与二面角的张角大小有关 如图所示 探究提升 二面角及其平面角的三个关注点 1 二面角是一个空间图形 由两个半平面构成 二面角的平面角是一个平面图形 2 二面角是用它的平面角来度量的 一个二面角的平面角多大 就说这个二面角是多大的二面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 3 二面角的平面角的特点 二面角的平面角的范围是 0 二面角的平面角的大小与顶点O的位置无关 平面角的顶点在棱上 两边分别在二面角的两个半平面内 两边分别垂直于棱 拓展延伸 二面角的平面角的三种作法 1 定义法 在二面角的棱上任找一点 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 如图 AOB即为二面角的平面角 2 垂面法 过棱上一点作与棱垂直的平面 该平面与二面角的两个半平面相交 得两条交线 这两条交线所成的角即为二面角的平面角 如图 AOB即为二面角的平面角 3 垂线法 过二面角的一个平面内一点A作另一个平面的垂线 垂足为B 过垂足B作棱的垂线 垂足为O 连接AO 如图 AOB即为二面角的平面角 二 平面与平面垂直的判定定理根据平面与平面垂直的判定定理及图形表示 思考下列问题 探究1 在工程建设中 建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直 即若紧贴墙面的铅锤的线垂直地面 则确定墙面与地面垂直 否则不垂直 紧贴墙面的线 这句话的实质意义是什么 提示 此线在墙所在平面内 即平面过另一平面的垂线 则两平面垂直 探究2 面面垂直的判定定理的条件有几个 减少一个条件定理是否还成立 提示 判定定理有两个条件 若去掉一个条件 则定理不一定成立 探究提升 平面与平面垂直的判定定理的三个关注点 1 简言之 线面垂直则面面垂直 2 定理应用的关键是 经过另一个平面的垂线 所以应用定理的关键是在一个平面内找另一个面的垂线 3 两个平面垂直的判定定理 不仅是判定两个平面互相垂直的依据 而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据 类型一二面角及其求法尝试完成下列题目 体会二面角的定义以及求法 并归纳求二面角的平面角的步骤 1 正方体AC1中 M N分别是棱A1B1和A1D1的中点 则截面AMN与平面A1MN所成的角的正弦值是 2 如图 平面角为锐角的二面角 EF A EF AG GAE 45 若AG与 所成角为30 求二面角 EF 的平面角 解题指南 1 取MN中点O 连接A1O AO AOA1为二面角A MN A1的平面角 解直角三角形可得结果 2 首先在图形中作出有关的量 AG与 所成的角 作过G到 的垂线段GH 连AH 则 GAH 30 二面角 EF 的平面角 注意在作平面角时要试图与GAH建立联系 抓住GH 这一特殊条件 作HB EF 连接GB 利用相关关系即可解决问题 解析 1 选C 由题意得如图 设正方体的棱长为a 取MN的中点O 连接A1O AO 因为M N分别为A1B1 A1D1的中点 所以A1M A1N 所以A1O MN AO MN 又AA1 平面A1MN 所以 AOA1为二面角A MN A1的平面角 求得A1O a 又AA1 a 所以所以 2 作GH 于H 作HB EF于B 连接AH GB 则GB EF GBH是二面角的平面角 又 GAH是AG与 所成的角 设AG a 则GB GH a 所以 GBH 45 即二面角 EF 的平面角为45 技法点拨 1 求二面角的平面角的步骤 1 作 找出或作出二面角的平面角 2 证 证明所找或作的角就是二面角的平面角 3 求 在三角形中解出角的大小 2 求二面角大小的其他常用方法 1 对于 无棱 二面角 可先采用 延伸法 根据图形特征确定两平面的交线 再找出 或作出 二面角的平面角 2 对于特殊图形中 不易作出二面角的平面角时 可用射影面积法进行计算 一般地 二面角的大小 满足关系式 其中S为原平面图形的面积 S 为其射影的面积 变式训练 若P是 ABC所在平面外一点 而 PBC和 ABC都是边长为2的正三角形 PA 那么二面角P BC A的大小为 解析 取BC的中点O 连接OA OP 则 POA为二面角P BC A的平面角 OP OA PA 所以 POA为直角三角形 POA 90 答案 90 类型二平面与平面垂直的判定定理的应用完成下列各题 会利用面面垂直的判定定理证明两个平面垂直 并总结证明面面垂直的两个方法和实质 1 对于直线m n和平面 能得出 的一个条件是 A m n m n B m n m n C m n n m D m n m n 2 在四面体ABCD中 BD a AB AD CB CD AC a 如图所示 求证 平面ABD 平面BCD 解题指南 1 借助于正方体来考虑 2 可取BD的中点 作出二面角A BD C的平面角 通过证明该角为90 证明两个平面垂直 解析 1 选C 如图 构造一个正方体ABCD A1B1C1D1 把AD看作直线m BB1看作直线n 把平面BB1C1C看作平面 平面AA1C1C看作平面 A虽满足m n m n 但 不垂直 故不正确 类似地可否定B和D 故选C 2 因为 ABD与 CBD是全等的等腰三角形 所以取BD的中点E 连接AE CE 则AE BD BD CE 所以 AEC为二面角A BD C的平面角 在 ABD中 AB a 所以 同理CE 在 AEC中 AE CE AC a 由于AC2 AE2 CE2 所以AE CE 即 AEC 90 即二面角A BD C的平面角为90 所以平面ABD 平面BCD 互动探究 题2已知若改为AB BC CD DA E F G分别为CD DA和对角线AC的中点 求证 平面BEF 平面BGD 证明 因为AB BC CD AD G是AC的中点 所以BG AC DG AC 所以AC 平面BGD 又EF AC 所以EF 平面BGD 因为EF 平面BEF 所以平面BGD 平面BEF 技法点拨 证明面面垂直的两个方法和实质 1 定义法 证明二面角的平面角为直角 步骤 找出两个相交平面的平面角 证明这个平面角是直角 根据定义 说明这两个平面互相垂直 2 判定定理法 证明一个平面经过另一个平面的垂线 一般是在现有的直线中找平面的垂线 若这样的直线在现有的图形中不存在 则可通过作辅助线来解决 实质 证明面面垂直 实质上是转化为线面垂直来证明 进而转化为线线垂直 其中体现了化归与转化的数学思想 1 以下三个说法中 正确的有 一个二面角的平面角只有一个 二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面 分别在二面角的两个半平面内 且垂直于棱的两射线所成的角等于二面角的大小 A 0个B 1个C 2个D 3个 解析 选C 正确 根据二面角的平面角的定义 任取棱上一点 即可作一个平面角 故有无数个 2 如果直线l m与平面 满足l l m m 那么有 A 和l mB 和m C m 且l mD 和 解析 选A 因为m l 所以l m 又m m 所以 故选A 3 空间四边形ABCD中 若AD BC BD AD 则给出下列四种关系 正确的是 A 平面ABC 平面ADCB 平面ABC 平面ADBC 平面ABC 平面BDCD 平面ADC 平面BDC 解析 选D 因为AD BC AD BD BC BD B 所以AD 平面BDC 又AD 平面ADC 所以平面ADC 平面BDC 4 如图 三棱柱ABC A B C 的所有棱长都相等 侧棱与底面垂直 M是侧棱BB 的中点 则二面角M AC B的大小为 A 30 B 45 C 60 D 75 解析 选A 取AC的中点O 连接MO BO 则 MOB就是所求的二面角的平面角 解直角三角形得 MOB 30 5 在三棱锥P ABC中 已知PA PB PB PC PC PA 如图所示 则在三棱锥P ABC的四个面中 互相垂直的面有对 解析 因为PA PB P