二次函数学生习题.pdf

二次函数二次函数 内容 1 概念 一般地 形如 是常数 的函数 叫做二次函数 和一元二次方程类似 二 次项系数 而可以为零 二次函数的定义域是全体实数 2 二次函数的性质 3 二 次函 数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数 a a决定抛物线开口的大小和方向 a 0 抛物线开口向上 a 0 抛物线开口向下 的大小决定开口的大小 a越小开口越大 2 y axbx c abc 0a 0a bc a 函数 二次函数 图 像 a 0 a 0 y 0 x y 0 x 性质 1 抛物线开口向上 并向上无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 3 在对称轴的左侧 即当 x 时 y 随 x 的增大而增大 简记左减右增 4 抛物线有最低点 当 x 时 y 有最 小值 1 抛物线开口向下 并向下无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 3 在对称轴的左侧 即当 x 时 y 随 x 的增大而减小 简记左增右减 4 抛物线有最高点 当 x 时 y 有最大 值 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 a b 2 a b 2 a b 2 a bac y 4 4 2 最小值 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 a b 2 a b 2 a b 2 a bac y 4 4 2 最大值 2 ba和共同决定抛物线的对称轴 a b y 2 3 c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 4 二次函数图象的平移 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 保持抛物线的形状不变 将其顶点平移到处 具体平移方法如下 图像平移步骤 1 配方 2 ya xhk 确定顶点 h k 2 对 x 轴 左加右减 对 y 轴 上加下减 例 将抛物线 2 2xy 的图像先向右平移 2 个单位看 再向上平移 3 个单位后 得到的抛物线的解析式是 322 2 xy 5 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 cbxaxy 2 已知图像上三点或三对x y 的值 通常选择一般式 2 顶点式 khxay 2 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 3 交点式 已知图像与x轴的交点坐标 1 x 2 x 通常选用交点式 21 xxxxay 6 二次函数与一元二次方程 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况 图象与 x 轴的交点个数 当时 图象与轴交于两点 其中的是一元二次方程的两根 这两点间的距离 当时 图象与轴只有一个交点 当时 图象与轴没有交点 当时 图象落在轴的上方 无论为任何实数 都有 当时 图象落在轴的下方 无论为任何实数 都有 2 y ax hk hk 2 yax hk 向右 h 0 或左 h0 或下 k0 或左 h0 或左 h0 或下 k0 或向下 k1 B x 1 C 0 x 1 D 1 x 0 6 已知二次函数 下列自变量取值范围中 y 随 x 增 大而增大的是 A x 2 B x 1 C 0 x 1 7 直角坐标平面上将二次函数 y x 2 2 的图象向左平移 1 个单位 再向上平移 1 个单位 则其顶点为 A 0 0 B 1 1 C 0 1 D 1 1 8 已知二次函数 则此二次函数 A 有最大值 1 B 有最小值 1 C 有最大值 3 D 有最小值 3 来源 Z xx k Com 9 如图 已知抛物线的对称轴为 点 A B 均在抛物线上 且 与 x 轴平行 其中点的坐标为 n 3 则点的坐标为 A n 2 3 B 3 C 3 D 3 10 将抛物线向下平移 1 个单位 得到的抛物线是 A B C D 11 已知二次函数 m 为常数 的图象与 x 轴的一个交点为 1 0 则关于 x 的一元二次方程 的两实数根是 A x1 1 x2 1 B x1 1 x2 2 C x1 1 x2 0 D x1 1 x2 3 12 若二次函数的图象经过点 P 2 4 则该图象必经过点 A 2 4 B 2 4 C 4 2 D 4 2 13 若一次函数 y ax b a 0 的图象与 x 轴的交点坐标为 2 0 则抛物线 y ax 2 bx 的对称轴为 A 直线 x 1 B 直线 x 2 C 直线 x 1 D 直线 x 4 14 若抛物线与 y 轴的交点为 0 3 则下列说法不正确的是 A 抛物线开口向上 B 抛物线的对称轴是 x 1 2 y a xb x c y 2 y2 x13 1 3 1 3 y2x1 y2x1 2 yx2 1 yx2 2 2 1yx k y x x 01 2 x x k 0 2 2 mnmnmxmxy为常数 且 3 1 2 xy cbxxy 2 1x ABAB 2n 2n 22n 2 2yx 2 21yx 2 21yx 2 2 1 yx 2 2 1 yx 2 yx3xm 2 x3xm0 2 yax 2 yx2xc C 当 x 1 时 y 的最大值为 4 D 抛物线与 x 轴的交点为 1 0 3 0 15 如图 O 的圆心在定角 0 180 的角平分线上运动 且 O 与 的两边相切 图中阴影部分的面积 S 关于 O 的半径 r r 0 变化的函数图象大致是 A B C D 16 如图 二次函数的图象开口向上 对称轴为直线 x 1 图象经过 3 0 下列结论中 正确的一项是 A abc 0 B 2a b 0 C a b c 0 D 4ac b 2 0 17 已知二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象如图所示 在下列五个结论中 2a b 0 abc 0 a b c 0 a b c 0 4a 2b c 0 错误的个数有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 18 若二次函数 a 0 的图象与 x 轴有两个交点 坐标分别为 x1 0 x2 0 且 x10 B b 2 4ac 0 C x1 x0 x2 D a x0 x1 x0 x2 0 19 如图 Rt OAB 的顶点 A 2 4 在抛物线上 将 Rt OAB 绕点 O 顺时针旋 转 90 得到 OCD 边 CD 与该抛物线交于点 P 则点 P 的坐标为 A B C D 20 已知二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象如图所示 下列说法错误的是 A 图象关于直线 x 1 对称 B 函数 ax 2 bx c a 0 的最小值是 4 C 1 和 3 是方程 ax 2 bx c a 0 的两个根 D 当 x 1 时 y 随 x 的增大而增大 二 填空题 21 在平面直角坐标系中 抛物线与轴的交点的个数是 22 二次函数 y x 2 1 的图象的顶点坐标是 23 二次函数y x 2 bx c的图象如图所示 则一次函数y bx c的图象不经过第 象限 24 在平面直角坐标系中 把抛物线向上平移 3 个单位 再向左平移 1 个单位 则所得抛物线的解析式是 25 抛物线的最小值是 26 2013 年 5 月 26 日 中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军 成就了首个五连冠霸业 比赛中羽毛球的某次运动路 线可以看作是一条抛物线 如图 若不考虑外力因素 羽毛球行进高度 y 米 与水平距 离 x 米 之间满足关系 则羽毛球飞出的水平距离为 米 27 已知二次函数 y x 2 2mx 2 当 x 2 时 y 的值随 x 值的增大而增大 则实数 m 的取值 范围是 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 yax 22 2 2 2 2 22 2 y x 3x 4x 2 1 yx1 2 2 2810 yxx 999 28 已知二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图象如图所示 给出以下结论 b2 4ac abc 0 2a b 0 8a c 0 9a 3b c 0 其中结论正确的是 29 二次函数 y 2 x 5 2 3 的顶点坐标是 30 抛物线 y ax 2 bx c a 0 经过点 1 2 和 1 6 两点 则 a c 31 若抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴只有一个交点 且过点 A m n B m 6 n 则 n 32 如图 已知抛物线 y ax 2 bx c a 0 经过原点和点 2 0 则 2a 3b 0 或 33 如图 已知 P 的半径为 2 圆心 P 在抛物线上运动 当 P 与轴相 切时 圆心 P 的坐标为 34 如图 一段抛物线 y x x 3 0 x 3 记为 C1 它与 x 轴交于点 O A1 将 C1 绕点 A1 旋转 180 得 C2 交 x 轴于点 A2 将 C2 绕点 A2 旋转 180 得 C3 交 x 轴 于点 A3 如此进行下去 直至得 C13 若 P 37 m 在第 13 段抛物线 C13 上 则 m 35 在平面直角坐标系 xOy 中 直线 y kx k 为常数 与抛物线交于 A B 两点 且 A 点在 y 轴左侧 P 点 的坐标为 0 4 连接 PA PB 有以下说法 PO 2 PA PB 当 k 0 时 PA AO PB BO 的值随 k 的增大而增大 当时 BP 2 BO BA PAB 面积的最小值为 其中正确的是 写出所有正确说法的序号 42 如图 抛物线经过 A 1 0 B 5 0 C 0 三点 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线的对称轴上有一点 P 使 PA PC 的值最小 求点 P 的坐标 3 点 M 为 x 轴上一动点 在抛物线上是否存在一点 N 使以 A C M N 四点构成的四边形为平行四边形 若存在 求点 N 的坐标 若不存在 请说明理由 2 1 1 2 yx x 2 1 yx2 3 3 k 3 4 6 5 2 46 如图 已知抛物线与 x 轴交于点 A B AB 2 与 y 轴交于点 C 对称轴为直线 x 2 1 求抛物线的函数表达式 2 设 P 为对称轴上一动点 求 APC 周长的最小值 3 设 D 为抛物线上一点 E 为对称轴上一点