一道向量习题的推广及应用.pdf

一道向量习题的推广及应用 张 宪 铸 汶上县第一中学 山东 272500 中图分类号 O122 44 文献标识码 A 文章编号 0488 7395 2001 17 0026 03 收稿日期 2001 05 08 作者简介 张宪铸 1949 男 山东汶上人 山东汶上一中高级教师 平面向量是高中数学试验教科书中新增的一 章教材 以向量为背景 一些传统的中学数学内容 和问题就有了新的内涵 在数学教学中引导学生 积极探索向量在中学数学中各方面的应用 不仅 可深入了解数学教科书中新增内容和传统内容的 内部联系 构建合理的数学知识结构 而且有利于 拓展学生的想象力 激发创新活力 本文就笔者的 教学实践与体会 以一道向量习题的推广及应用 作初步探讨 1 问题及推广 在全日制普通高级中学数学试验修订本 必 修 以下简称 课本 第一册 下 P103习题512第 6题中有下面的题目 化简AB BC CA 其实该题用向量加法的三角形法则 不难得 到结果 AB BC AC 又 AC CA AB BC AC 0 即 AB BC CA 0 上述命题不妨称为 三闭折线性质定理 由 于向量加法的三角形法则容易推广到多个向量求 和的多边形法则 因此又可以推广到一般的情形 多闭折线性质定理 对于一组闭折线A1A2A3 AnA1 总有 A1A2 A2A3 An 1An AnA1 0 根据立几中平面的基本性质知 对于空间闭 折线亦有以上性质定理成立 2 定理的应用 2 1 用于简化向量式 例1 课本第一册 下 P103习题 化简AB AC BD CD 解 AC CA CD DC 原式 AB CA BD DC AB BD DC CA 0 例2 在 ABC中 A B C 分别为BC CA AB的中点 O为 ABC所在平面内任一点 求证 OA OB OC OA OB OC 图1 例2图 证 A B C 分 别为BC CA AB的中 点 B A 1 2 CA C B 1 2 AB A C 1 2 BC OB B A OB 1 2 CA OA 1 OC 1 2 AB OB 2 OA 1 2 BC OC 3 又CA AB BC 0 1 2 3 得 OB OC OA 1 2 CA AB BC OA OB OC 即OA OB OC OA OB OC 2 2 用于判定平面图形形状 例3 在 ABC中 BC a CA b AB c 则 ABC 为正三角形的充要条件是a b b c c a 证 先证充分性 62数 学 通 讯 2001年第17期 a b c 0 图2 例3图 a b c 代入条件a b c a 得 b c b c b c b 2 c 2 即 b c 同理 a c a b c 故 ABC为正三角形 再证必要性 a b c 0 a b c a b c c c a c b c c c 1 同理得 a b c b b b 2 ABC为正三角形 b b c c 比较 1 2 得 a b c b a c b c 即a b a c 同理可得a b b c 故有a b b c c a 例4 在凸四边形ABCD中 AB a BC b CD c DA d 则ABCD为矩形的充要条件 是a b b c c d d a 图3 例4图 证 先证充分性 a b c d 0 a b c d a b 2 c d 2 即 a 2 b 2 2a b c 2 d 2 2c d 由条件a b c d a 2 b 2 c 2 d 2 1 同理得 a 2 d 2 b 2 c 2 2 1 2 得 b 2 d 2 即 b d 同理 a c 于是ABCD为平行四边形 从而c a 代入 条件a b b c 得 a b b a 即2a b 0 a b 故 ABCD为矩形 再证必要性 ABCD为矩形 a b b c c d d a a b b c c d d a 0 2 3 用于证平面几何问题 例5 课本第一册 下 P151第8题 如图点 D E F分别是 ABC的边AB BC CA的中点 求证 A E BF CD相交于同一点G 且 GA A E GB BF 图4 例5图 GC CD 2 3 分析 要证三线共点 设BF与CD相交于点G1 BF与A E相交于点G2 证 明G1与G2重合即可 证 设BF与CD相交 于点G1 因FG1与G1B CG1与G1D分别共线 故 可设 G1B FG1 R 1 CG1 G1 D R 2 由DFG1与BCG1分别组成闭折线 G1B BC CG1 0 3 FG1 G1D DF 0 4 又DF是 ABC的中位线 BC 2DF 将 1 2 代入 3 得 FG1 BC G1D 0 5 5 2 3 得 2 FG 1 2 G 1D 0 FG1与G1D不共线 线性无关 2 2 G1B 2FG1 再设BF与A E交于点G2 同理可得G2B 2FG2 G1 G2重合 故A E BF CD相交于一点G 且有 GA A E GB BF GC CD 2 3 2 4 用于证明三角恒等式 例6 求证cos 2 7 cos 4 7 cos 6 7 1 2 分析 2 7 4 7 6 7 构成公差为2 7 的等差数列 722001年第17期 数 学 通 讯 联想到正七边形的每个外角为2 7 于是可构造正 图5 例6图 七边形求解 解 作一边长为1的 正七边形 A1A2A3A4A5A6A7 则与 A1A2平行且同方向的单位 向量e 分别与 A1A2 A2A3 A6A7 A7A1的夹角依 次为0 2 7 4 7 6 7 6 7 4 7 2 7 A1A2 A2A3 A3A4 A4A5 A5A6 A6A7 A7A1 0 e A1A2 e A2A3 e A3A4 e A4A5 e A5A6 e A6A7 e A7A1 e 0 即 e A1A2 cos0 e A2A3 cos 2 7 e A3A4 cos 4 7 e A4A5 cos 6 7 e A5A6 cos 6 7 e A6A7 cos 4 7 e A7A1 cos 2 7 0 1 2 cos 2 7 cos 4 7 cos 6 7 0 即cos 2 7 cos 4 7 cos 6 7 1 2 2 5 用于解决立体几何问题 例7 证明直线和平面垂直的判定定理 图6 例7图 已知如图m n m n A l m l n 求 证 l 课本第二册 下 A P24 分析 要证l 根据 直线和平面垂直的定义 只 要先设g是 内的任一直线 再证l g即可 而 m n A 可从l过点A的情形证起 通过平移 可推广到其他情形 证 设g是平面 内的任一直线 1 当l过点A 且g不过点A时 若g与m n中某一直线平行时 显然有l g 若g与m n都不平行时 设g与m n分别 交于C D两点 在l上取异于点A的点B l m l n AB AC 0 AB DA 0 因ACD成闭折线 有 AC CD DA 0 CD AC DA AB CD AB AC DA AB AC AB DA 0 AB CD 即l g 2 当l不过点A 或g过点A时 可过点A 作直线l l 而不过点A作直线g g 类似地 可证明g l 综上可得l 例8 课本第二册 下 A P44例3 已知两 条异面直线a b所成的角为 它们的公垂线段 AA 的长度为d 在a b上分别取点E F 设A E m A F n 求EF 解 设平面 b 且a 过a与A A的平 面 c 则 a c 所以b与c所成的锐角 或直角就等于a b所成的角 甲 乙 图7 例8图 AA a AA b EA A A 0 A A A F 0 连结EF A A FEA 成闭折线 EA A A A F FE 0 EF FE EA A A A F EF2 EA A A A F 2 EA 2 A A2 A F2 2EA A A 2A A A F 2A F EA m2 n2 d2 2mncos 如图7 甲 EA 与A F夹角为 上式取 号 如图7 乙 EA 与A F夹角为 上式取 号 EF m2 n2 d2 2