力学第三四章习题课.pdf

力学第三四章习题课力学第三四章习题课 3 63 63 63 6 3 113 113 113 11 3 123 123 123 12 4 44 44 44 4 4 114 114 114 11 4 154 154 154 15 4 224 224 224 22 4 234 234 234 23 3 63 63 63 6 如图所示 一个圆盘直径为 如图所示 一个圆盘直径为d d d d 绕通过圆心的 绕通过圆心的 垂直轴以角速度垂直轴以角速度 匀速旋转 今有一人站在圆盘上匀速旋转 今有一人站在圆盘上 的点的点A A A A射出一颗子弹 已知子弹出膛速度为射出一颗子弹 已知子弹出膛速度为v v v v v v v v d d d d 现在希望子弹击中 现在希望子弹击中A A A A点的对径点点的对径点B B B B ABABABAB是圆盘是圆盘 直径 则应瞄准点直径 则应瞄准点C C C C 问 问 1 1 1 1 BCBCBCBC的弧长是多少的弧长是多少 2 2 2 2 这颗子弹在圆盘上的轨迹是什么 这颗子弹在圆盘上的轨迹是什么 3 3 3 3 求出相应的曲率半径 求出相应的曲率半径 C BA d 2 dBC d 2 1 由于AC与AB的夹角极小 所以 得 v d BC 2 2 子弹在圆盘上的运动轨迹是一个圆弧 3 科里奥利力充当向心力 2 2 FF m m 科向 即可解得圆弧的曲率半径是 2 出现的问题出现的问题 2 2 2 2 因 因v wd v wd v wd v wd 所以所以t d vt d vt d vt d v 以这种做法得到的弧长刚好是实际 以这种做法得到的弧长刚好是实际 弧长的一半 曲率半径是实际值的两倍 弧长的一半 曲率半径是实际值的两倍 1 1 1 1 混淆了惯性系与非惯性系 混淆了惯性系与非惯性系 将直线将直线ACACACAC看成子弹的实际运动轨迹看成子弹的实际运动轨迹 以惯性系中规律以惯性系中规律 分析非惯性系中的运动分析非惯性系中的运动 X X X X 3 113 113 113 11 一圆盘绕其竖直的对称轴以恒定的角速度 一圆盘绕其竖直的对称轴以恒定的角速度 旋转 在圆盘上沿径向开有一光滑小槽 槽内一质旋转 在圆盘上沿径向开有一光滑小槽 槽内一质 量为量为mmmm的质点以的质点以v v v v0 0 0 0的初速从圆心开始沿半径向外运的初速从圆心开始沿半径向外运 动 动 试求 试求 1 1 1 1 质点到达图示位置 即 质点到达图示位置 即y yy yy yy y0 0 0 0 时的速度 时的速度v v v v 2 2 2 2 质点到达该处所需要的时间 质点到达该处所需要的时间t t t t 3 3 3 3 质点在该处所受到的槽壁对它的侧向作用力 质点在该处所受到的槽壁对它的侧向作用力F F F F z y x o m 解 1 在转动惯性系中 小球受到惯性离心力 方向 y 所以在y方向上 令则 积分得在y方向上 垂直于y方向上 所以在y y0时 质点的速率为 ymF 2 yy 2 y v y yv dy dv dydt dvdy y dt dv 2 yvv y 2 0 22 0 2 0 2 yv x y vvvv xy 2 0 22 0 22 2 总 2 由式 得 积分得 3 此时 槽对质点的作用力F与质点所受到 的科里奥利力是一对作用力与反作用力 即 yvvy 2 0 22 0 2 v y dt dy 2 0 2 2 v y v y v y dy y t 2 0 2 0 2 0 0 0 2 0 2 2 1ln 11 0 vy mvmF 2 0 2 2 22 3 123 123 123 12 一圆柱形刚性杆 一圆柱形刚性杆OxOxOxOx上套有一质量为上套有一质量为mmmm的小环 杆的一的小环 杆的一 端固定 整个杆绕着通过固定端端固定 整个杆绕着通过固定端O O O O的竖直轴以恒定的角速度的竖直轴以恒定的角速度 旋转 旋转时杆与竖直轴的夹角旋转 旋转时杆与竖直轴的夹角 保持不变 设小环与杆之保持不变 设小环与杆之 间的摩擦系数为间的摩擦系数为 已知当小环相对于杆运动到图示位置 已知当小环相对于杆运动到图示位置x x x x 时 其相对于杆的速度为 时 其相对于杆的速度为 试列出此时小环沿杆的运动方程 不要求解此方程 试列出此时小环沿杆的运动方程 不要求解此方程 mg F科 F离 v x z f摩 N z x o m x 解 解 所受到的科里奥利力为 所受到的科里奥利力为 所受到的惯性离心力为 所受到的惯性离心力为 所受到的摩擦力为 所受到的摩擦力为 所受到的合力为 所受到的合力为 综上综上4 4 4 4式可得小环沿杆的运动方程为 式可得小环沿杆的运动方程为 sin2 sincossin cos sin sin2 sincos cos sin 2 2 2 22 22 22 vmmgxmmgxm xmmgFmgxmxm sin22vmvm F 科 sin 2 xmF fmgFxm cossin F mgFf 2 sincos 2 科 4 44 44 44 4 如图 试求一个半径为 如图 试求一个半径为a a a a的半圆形均匀平板的质心的半圆形均匀平板的质心 如图 建立直角坐标系如图 建立直角坐标系 由对称性知由对称性知 x x x xc c c c 0 0 0 0 设平板的面密度为设平板的面密度为 总质量总质量 面元的质量 面元的质量 dxdydxdydxdydxdy 则则 即平板的质心为 即平板的质心为 0 4a 30 4a 30 4a 30 4a 3 2 2 a M 3 4a M dxdyy y c y x a 0 0 a o 解 动量定理 取 t1时刻m1速度为v1 时刻m2速度为v2 则有 由上两式得 v mmt F 1211 vmvmtt F 221121 m t mm t v mm t v FF F 2 2 21 1 2 21 1 1 mvtF 4 114 114 114 11 如图 一子弹水平地穿过两个前后并排 静止放置在光滑水 如图 一子弹水平地穿过两个前后并排 静止放置在光滑水 平面上的木块 木块的质量分别为平面上的木块 木块的质量分别为m1m1m1m1 m2m2m2m2 设子弹穿过木块所用的 设子弹穿过木块所用的 时间分别为时间分别为 t1t1t1t1 t2t2t2t2 求 子弹穿过两木块后两木块的运动速度 求 子弹穿过两木块后两木块的运动速度 设木块对子弹的阻力为恒力 设木块对子弹的阻力为恒力F F F F m1m2 4 154 154 154 15 一个长为 一个长为a a a a 重为 重为w w w w的均匀细绳挂在一个光滑细钉上自由的均匀细绳挂在一个光滑细钉上自由 下滑 当两边的绳长相等时 细绳处于平衡状态 在小扰动下 下滑 当两边的绳长相等时 细绳处于平衡状态 在小扰动下 从钉上滑落 求 从钉上滑落 求 1 1 1 1 当绳刚脱离细钉时 细绳的速度 当绳刚脱离细钉时 细绳的速度 2 2 2 2 当绳长一边为 当绳长一边为b b b b 另一边为 另一边为c c c c时 它对钉子的压力 时 它对钉子的压力 解 方法一解 方法一 1 1 1 1 该过程机械能守恒 该过程机械能守恒 h a 4h a 4h a 4h a 4 2 2 2 2 由受力分析可得 由受力分析可得 b b b b c c c c 由于由于 a a a ab b b b a a a ac c c c 消去消去a a a ab b b b a a a ac c c c得得 v mhw 2 2 1 2 ag v a g w T w a g w w T c c c b b b a bc WT 2 2 a bc WTF 2 42 c b a a 2 方法二方法二 对绳取微元对绳取微元dmdmdmdm 系统受到合外力的冲量系统受到合外力的冲量Fdt dpFdt dpFdt dpFdt dp 得到合外力得到合外力 绳子的质心为绳子的质心为 a m dt dp F v 2 2 a cb rc 2 22 dt a m a m vdtv a m vdtv vdvddp v mm 2 21 2 系统机械能守恒系统机械能守恒 因合外力因合外力 则绳对钉子的压力为则绳对钉子的压力为 2 1 0 2 rrvc mgm mg a m cb v 2 2 2 mgmgF a cb FN2 2 aa cb F wbc mg N 22 2 4 1 出现的问题出现的问题 2 2 2 2 将绳子的质心加速度与 将绳子的质心加速度与b b b b c c c c段的加速度混淆 段的加速度混淆 设绳子一端下降距离为设绳子一端下降距离为x x x x 质心加速度质心加速度 不是合外力不是合外力 w F dm dtw F dm dtw F dm dtw F dm dt wg a x dt dv w 2 1 1 1 1 绳重 绳重w w w w 即 即w Mgw Mgw Mgw Mg w w w w MMMM 3 3 3 3 对细钉的说明 对细钉的说明 忽略半径的影响忽略半径的影响 解 捕到氢气的质量解 捕到氢气的质量 dm dm dm dm AvdtAvdtAvdtAvdt 取飞船飞行的方向为正方向取飞船飞行的方向为正方向 整个过程动量守恒整个过程动量守恒 dm v vdm v vdm v vdm v vr r r r M v dv Mv M v dv Mv M v dv Mv M v dv Mv Avdt v vAvdt v vAvdt v vAvdt v vr r r r M v v M v v M v v M v v1 1 1 1 Mdv Mdv Mdv Mdv Mdv dt Mdv dt Mdv dt Mdv dt Av v vAv v vAv v vAv v vr r r r 可见 当且仅当可见 当且仅当v vr 2v vr 2v vr 2v vr 2时 飞船有最大加时 飞船有最大加 速度速度 M A v a r 4 2 max 4 2 2 2 vv v rr A 4 224 224 224 22 一质量为 一质量为MMMM的宇宙飞船 在星际空间飞行 它用面积为的宇宙飞船 在星际空间飞行 它用面积为A A A A的洞捕集静的洞捕集静 止的氢 每单位体积的质量为止的氢 每单位体积的质量为 再将其排出 排气的方向与飞船的飞行 再将其排出 排气的方向与飞船的飞行 方向相反 排气的速率相对于飞船为方向相反 排气的速率相对于飞船为vrvrvrvr 问 飞船的速率 问 飞船的速率v v v v等于多少时 它等于多少时 它 的加速度最大 用的加速度最大 用MMMM A A A A vrvrvrvr表示 表示 v vAvF v vtAvtF r r M A v M vAv M F a v a v v r r r 4 2 2 max 飞船有最大加速度 时 当 方法二 方法二 对排出的氢气有对排出的氢气有 对飞船有对飞船有 解 方法一解 方法一 由变质量动量定理知 由变质量动量定理知 即即 得得 积分得积分得 F dt mvd 合 v kg dv dt 2 1 1 2 2 e e tgk tgk k g tv kmv dt dm mg dt dm v dt dv m k g tvt 时 当 4 234 234 234 23 一雨滴的初始质量为 一雨滴的初始质量为m0m0m0m0 在重力作用下从静止开始下落 假设 在重力作用下从静止开始下落 假设 此雨滴从云中得到质量 其质量的增长率正比于它的瞬间质量和瞬间此雨滴从云中得到质量 其质量的增长率正比于它的瞬间质量和瞬间 速率的乘积 即速率的乘积 即dm dt kmvdm dt kmvdm dt k