电路相量法讲义.ppt

2020年3月14日星期六 1 第八章相量法 内容提要1 正弦量及其三要素 相位差的概念 2 相量法的概念及其性质 3 电路定律和元件VCR的相量形式 1 正弦量的相量表示法 2 正弦量的相量差和有效值的概念 3 R L C各元件电压 电流关系的相量形式 4 电路定律的相量形式 重点 2020年3月14日星期六 2 难点 1 正弦量与相量之间的联系和区别 2 元件电压相量和电流相量的关系 相量图 主要是相位关系 是学习第9 10 11 12章的基础 与其它章节的联系 必须熟练掌握相量法的解析运算 2020年3月14日星期六 3 8 1复数 1 复数的表示形式 3 指数和极坐标形式 1 代数形式F a jbRe F a Im F b 2 三角形式F F cosq jsinq a F cosq b F sinq F a2 b2 q arctg b a 根据欧拉公式ejq cosq jsinq 得指数形式 F F ejq 或写成极坐标形式 F F q q 2020年3月14日星期六 4 2 复数的运算 1 加减用代数形式 设F1 a1 jb1F2 a2 jb2则F1 F2 a1 a2 j b1 b2 复数加的图解 F F1 F2 F F1 F2 2020年3月14日星期六 5 复数减的图解 F F1 F2 F F1 F2 若F1 F2 则必须是 或者a1 a2 jb1 jb2 即两个复数相等 F1 F2 q1 q2 2 乘除 用指数或极坐标形式最好 乘 除 法运算满足 模相乘 除 辐角相加 减 2020年3月14日星期六 6 复数乘 除的图解 乘 F1的模被放大 F2 倍 辐角逆时针旋转q2 除 F1的模被缩小 F2 倍 辐角顺时针旋转q2 q q1 q2 q q1 q2 则F F1F2 q1 q2 q1 q2 F F1 F2 F1 F2 F2 F2 F1 F2 2020年3月14日星期六 7 3 旋转因子ejq 旋转因子ejq 1 q是一个模等于1 辐角为q的复数 任意一个复数A A ejqa乘以ejq 等于把A逆时针旋转q角度 而模 A 保持不变 都是旋转因子 A j jA 等于把A逆时针旋转90o jA 等于把A 顺时针旋转90o ejp 1 2020年3月14日星期六 8 8 2正弦量 电路中按正弦规律变化的电压或电流 统称为正弦量 研究正弦电路的意义是 正弦交流电有很多优点 在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位 容易产生 传送和使用 可以根据需要 利用变压器方便地把正弦电压升高或降低 电机 变压器等电气设备 在正弦交流电下具有较好的性能 正弦量对时间的导数 积分 几个同频率正弦量的加减 其结果仍是同频率的正弦量 使电路分析计算变得简单 正弦信号是一种基本信号 其分析结果可以推广到非正弦周期电流电路中 2020年3月14日星期六 9 正弦量的时域表达式有两种形式 i Imcos wt fi i Imsin wt fi 也称为瞬时值表达式分析时不可混用 以免发生相位错误 今后采用的形式以教材为准 i Imcos wt fi u Umcos wt fu 综上 对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义 2020年3月14日星期六 10 1 正弦量的三要素 以电流为例 1 振幅 幅值 最大值 Im 有效值I 要素之一 在放大器参数中有时用峰 峰值表达 峰 峰值2Im i Imcos wt fi 反映正弦量变化幅度的大小 2020年3月14日星期六 11 关于有效值 周期性电流 电压的瞬时值随时间而变 为了衡量其平均效应 工程上采用有效值来表示 T 1 0 T i2dt 通过比较直流电流I和交流电流i在相同时间T内流经同一电阻R产生的热效应来确定 I2RT 0 T i2Rdt 把i Imcos wt yi 代入上式计算可以得到 正弦量的有效值与振幅之间的关系 Im 2 I 同理可得 若一交流电压有效值为 U 220V 则其最大值为Um 311V 2020年3月14日星期六 12 工程上说的正弦电压 电流一般指有效值 如电网的电压等级 设备铭牌的额定值等 但绝缘水平 耐压值指的是最大值 因此 在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑 在测量中 交流测量仪表指示的电压 电流读数一般为有效值 区分电流 电压的瞬时值 振幅和有效值的符号 i u Im Um I U 需要注意的是 另外注意 IM Imax 指最大有效值 2020年3月14日星期六 13 2 角频率w 频率f 周期T 要素之二 w 指正弦量单位时间内变化的电角度 单位rad s f 正弦量每秒钟变化的周波数 单位是Hz wT 2p w f T之间的关系 w 2pf f T 1 T 正弦量变化一次所需要的时间 单位s T f 1 在工程中 常用频率区分电路 如工频 音频 中频 高频 微波电路等 反映正弦量变化快慢的参数 i Imcos wt fi 2020年3月14日星期六 14 3 初相角fi 要素之三 注意 同一正弦量 计时起点不同 初相位不同 常取主值 fi 180o 对任一正弦量 初相可以任意指定 但对多个同频率正弦量 应相对于同一个计时起点确定各自的相位 fi反映正弦量的计时起点 定义为从靠近原点的最大值到原点的距离用角度来表示 i Imcos wt fi 若正最大值发生在计时起点左侧 则初相位为正 右侧为负 t 0时 正弦量的相位角 wt fi fi 0 fi 0 2020年3月14日星期六 15 例 已知正弦电流波形如图 103rad s 1 写出i t 的表达式 2 求最大值发生的时间t1 解 1 i t 100cos 103t fi t 0 50 100cosfi fi 60o 由于最大值发生在计时起点右侧 fi 60o i t 100cos 103t 60o 2 当103t 60o 3时 出现最大值 t1 3 103 1 047ms 2020年3月14日星期六 16 2 同频率正弦量的相位差j 则 改变计时起点 初相角不同 但相位差不变 相位差一般取主值 即j p 设 i Imcos wt fi 等于初相之差 j wt fu wt fi fu fi 1 j 0 称u超前i 或i滞后u 表明u比i先达到最大值 2 j 0 称i超前u 或u滞后i 表明i比u先达到最大值 u Umcos wt fu j 2020年3月14日星期六 17 j 0 u与i同相 j 90o u与i正交 j 180o u与i反相 3 特殊相位关系 改设参考方向时 该正弦量的初相改变p 因此与其它正弦量的相 位差都改变p i Imcos wt fi p 2020年3月14日星期六 18 例 计算下列两正弦量的相位差 1 i1 t 10cos 100pt 3p 4 A i2 t 10cos 100pt p 2 A 2 i1 t 10cos 100pt 30o A i2 t 10cos 100pt 105o A 3 u1 t 10cos 100pt 30o V u2 t 10cos 200pt 45o V 4 i1 t 5cos 100pt 30o A i2 t 3cos 100pt 30o A 解 1 j 3p 4 p 2 5p 4 p j 5p 4 2p 3p 4 所以 2 j 30o 105o 135o 3 w1 w2 4 i2 t 3cos 100pt 150o j 30o 150o 120o 注意 两个正弦量进行相位比较时 应满足同频率 同函数 同符号 且在主值范围比较 不能进行相位比较 2020年3月14日星期六 19 8 3相量法的基础 在正弦稳态线性电路中 各支路的电压和电流 响应 与电源 激励 是同频率的正弦量 因此应用KCL KVL分析正弦电路时 将遇到正弦量的加减运算和积分 微分运算 在时域进行这些运算十分繁复 通过借用复数表示正弦信号可以使正弦电路分析得到简化 相量表示法的实质是用复数表示正弦量 是求解正弦电流电路稳态响应的有效工具 2020年3月14日星期六 20 根据叠加定理和数学理论 取实部或虚部进行 1 相量 正弦量的相量要追溯到欧拉公式 若q wt fi 则ej wt fi cos wt fi jsin wt fi 分析求解 就能得到全部结果 设 i Imcos wt fi 则 i Re Imej wt fi Re Imejfiejwt 其中 Imejfi 这是一个特殊的复数 其特点是辐角随时间变化 这是一个与时间无关的复数 模是该正弦电流的振幅 辐角是初相 称为相量 2020年3月14日星期六 21 在分析过程中 考虑的主要问题是 求解振幅或有效值 初相或相位差 因此 变换简单易行 已知 i Imcos wt fi Imejfi 简写为 反过来 Um 300 30o V u 300cos wt 30o V 时域与相量域的映射 在线性电路中 若激励都是同频率的正弦量 则响应也都是与激励同频率的正弦量 2020年3月14日星期六 22 注意 正弦量与相量的关系是一种数学变换 旋转相量的实部等于正弦量 正弦量 相量 可认为是正变换 相量 正弦量 可认为是反变换 是 Imejfiejwt 的复常数部分 i Imcos wt fi 是 Imejfiejwt 的实部 任意时刻 两者相对位置不变 因此 可用不含旋转因子ejwt的复数表示正弦量 关系 不是相等的关系 2020年3月14日星期六 23 2 相量的性质 1 线性性质 k1i1 k2i2 若i1 Im1cos wt fi1 i2 Im2cos wt fi2 则i i1 i2 Im Im1 Im2 Im1 Im1 fi1 Im2 Im2 fi2 相量也具有比例性质 由叠加性质和比例性质可知 这是叠加性质 ki1 Im1 k k1 I1 k2 I2 2020年3月14日星期六 24 2 微分性质 设i Imcos wt fi di dt wImcos wt fi 90o Re w Re jw Im ejwt jw nIm e Im Im fi 正弦量的微分是一个同频正弦量 时域内的一次 其结果是模变为wIm 相位比原相量超前90o 对高阶导数有 Im jw wIm fi 90o 微分 对应于相量域内乘以jw 2020年3月14日星期六 25 3 积分性质 设u Umcos wt fu udt w Um cos wt fu 90o jw n U 对n重积分有 udt 则 积分 对应于相量域内除以jw 其结果是模变为 Um w 相位比原相量滞后90o 正弦量的积分是一个同频正弦量 时域内的一次 2020年3月14日星期六 26 例题分析 解 变换为相量形式求解 I1 10 60o I2 22 150o A A 60o jw j314 I1 10 3140 60o 90o 3140 cos 314t 150o jw I2 22 150o 90o 314 0 07 120o 所以 所以 0 07 cos 314t 120o 2020年3月14日星期六 27 5 j8 66A 19 05 j11A I1 I2 5 19 05 j 8 66 11 14 05 j2 34 A I 14 052 2 342 14 24A 14 05 2 34 170 54o fi arctg 14 05 2 34 180o fi为第3象限角 14 24 170 54o A i1 i2 14 24 cos 314t 170 54o A 2020年3月14日星期六 28 引入相量的优点是 把时域问题变为复数问题 把微积分方程的运算变为复数形式的代数方程运算 需要注意的是 相量法实质上是一种变换 通过把正弦量转化为相 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路 相量法用来分析正弦稳态电路 量 而把时域里正弦稳态分析问题转为频域里复数 代数方程问题的分析 2020年3月14日星期六 29 1 三种基本元件VCR的相量形式 1 电阻元件 相位关系 fu fi UR IR fu fi UR uR RiR 由比例性质 UR RIR UR RIR 或IR GUR IR IR 有效值关系 得相量关系 相量模型 相量图 即电阻元件两端的电压与流过它电流同相位 fi 设 则 UR RIR fi UR fu 8 4电路定律的相量形式 2020年3月14日星期六 30 2 电感元件 相位关系 电压超前于电流90o 有效值关系 UL wLIL UL 由微分性质 UL L jw IL UL fu IL fi wL IL UL wL具有电阻的量纲 表示限制电流的能力 或电流滞后于电压90o 与频率f成正比 2020年3月14日星期六 31 3 电容元件 UC 微分性质 IC C jwUC UC fi IC fu 1 wC 也具有电阻的量纲 且与频率f成反比 相位关系 电流超前于电压90o UC jwC 1 IC 有效值关系 或电压滞后于电流90o wC IC UC 1 2020年3月14日星期六 32 2 受控源的相量表示 控制系数 g r和 都是常数 因此 根据相量的比例性质 可以直接用与正弦量对应的相量表示 用相量表示的CCCS 用瞬时值表示的CCCS 2020年3月14日星期六 33 3 基尔霍夫定律的相量形式 同频率的正弦量加减可以用对应的相量形式来进行计算 因此 在正弦电流电路中 KCL和KVL可用相应的相量形式表示 i t 0 u t 0 线性性质 I 0 U 0 表明 流入某一结点的所有正弦电流用相量表示时仍满足KCL 而任一回路所有支路正弦电压用相量表示时仍