D3中值定理与导数应用习题课.pdf

二 二 导数应用导数应用 习题课 一 一 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 中值定理及导数的应用 第三三章 拉格朗日中值定理 bfaf 一 一 微分中值定理及其应用微分中值定理及其应用 1 微分中值定理及其相互关系微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 0 f x y o a b xfy F f aFbF afbf ab afbf f bfaf xxF 1 0 1 1 1 nn n xxf 柯西中值定理 xxF x y o a b xfy 泰勒中值定理 000 xxxfxfxf nn n xxxf 00 1 0 n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 微分中值定理的主要应用微分中值定理的主要应用 1 研究函数或导数的性态 2 证明恒等式或不等式 3 证明有关中值问题的结论 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 有关中值问题的解题方法有关中值问题的解题方法 利用逆向思维逆向思维 设辅助函数 一般解题方法 1 证明含一个中值的等式或根的存在 2 若结论中涉及到含中值的两个不同函数 3 若结论中含两个或两个以上的中值 可用原函数法找辅助函数 多用罗尔定理罗尔定理 可考虑用 柯西中值定理柯西中值定理 必须多次应用多次应用 中值定理中值定理 4 若已知条件中含高阶导数 多考虑用泰勒公式泰勒公式 5 若结论为不等式 要注意适当适当放大放大或缩小缩小的技巧 有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 设函数 在 内可导 且 证明 在 内有界 证证 取点 0 bax 再取异于 0 x的点 bax 对 为端点的区间上用拉氏中值定理 得 00 xxfxfxf 00 xxfxfxf 00 xxfxf 0 abMxf K 定数 可见对任意 bax Kxf 即得所证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 设 在 内可导 且 证明至少存在一点 使 上连续 在 证证 问题转化为证 0 2 ff 设辅助函数 2 xfxx 显然 在 0 1 上满足罗尔定理条件 故至 使 0 2 2 ff 即有 少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 且 试证存在 证证 欲证 2 f ba f 因 f x 在 a b 上满足拉氏中值定理条件 故有 baabfafbf 2 上满足柯西定理条件在及又因baxxf 将 代入 化简得 故有 2 f ba f ba 即要证 2 22 f ab abf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 设实数 满足下述等式 0 12 1 0 n aa a n 证明方程 在 0 1 内至少有一 个实根 证证 令 10 n nx axaaxF 则可设 12 1 0 12 n n x n a x a xaxF 且 0 F 由罗尔定理知存在一点 1 0 使 即 100 10 内至少有一个实根 在 n nx axaa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 1 F 例例5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 f x 在 0 3 上连续 在 0 3 内可导 且 1 3 3 2 1 0 ffff使 3 0 0 f 分析 所给条件可写为 1 3 1 3 2 1 0 f fff 03考研 试证必存在 想到找一点 c 使 3 2 1 0 fff cf 证证 因 f x 在 0 3 上连续 所以在 0 2 上连续 且在 0 2 上有最大值 M 与最小值 m 故 Mfffm 2 1 0 Mm fff 3 2 1 0 由介值定理 至少存在一点 使 2 0 c 3 2 1 0 fff cf 1 1 3 fcf 3 3 内可导在上连续在且ccxf 由罗尔定理知 必存在 0 3 0 3 fc使 例例6 设函数 在 上二阶可导 且 证明 证证 1 0 x由泰勒公式得 0 f 1 f 两式相减得 2 2 1 2 2 1 1 0 xfxfxf 2 2 1 2 2 1 1 xfxfxf 2 2 1 2 2 1 1 xfxf 1 21xx 1 0 1 x xf xxf 2 2 1 xf 10 10 1 1 2 2 1 xfxxfxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二 二 导数应用导数应用 1 研究函数的性态 增减 极值 凹凸 拐点 渐近线 曲率 2 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3 其他应用 求不定式极限 几何应用 相关变化率 证明不等式 研究方程实根等 4 补充定理 见下页 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数 xgxf在 上具有n 阶导数 且 1 2 1 0 1 nkagaf kk 则当 时 证证 令 xgxfx 则 1 1 0 0 nka k 0 axx n 利用 在 处的 n 1 阶泰勒公式得 x 因此 ax 时 xgxf n n ax n 定理定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的连续性及导函数 例例7 填空题填空题 1 设函数 其导数图形如图所示 机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间为 极小值点为 极大值点为 x f 0 21 xx 0 21 xx 21 x x 0 x 提示提示 的正负作 f x 的示意图 单调增区间为 o 2 x 1 x y x ox xf 1 x 2 x o xf x 在区间 上是凸弧 拐点为 0 21 xx 0 0 2211 fxfxxfx 提示提示 的正负作 f x 的示意图 形在区间 上是凹弧 则函数 f x 的图 2 设函数 的图形如图所示 机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 21 xx x f o2 x 1 x y x 2 x 1 x ln 1ln 1 xxxf xf 例例8 证明 在 上单调增加 证证 1ln ln 1 x xxf ln 1ln xxx 令 ln ttF 在 x x 1 上利用拉氏中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 1 xx x 10 1 ln 1ln xxxx 故当 x 0 时 从而 在 上单调增 得 例例9 设 在 上可导 且 证明 f x 至多只有一个零点 证证 设 xfex x 则 xfxfex x 0 故 在 上连续单调递增 从而至多只有 一个零点 又因 0 x e因此 xf也至多只有一个零点 思考思考 若题中 改为 0 xfxf 其它不变时 如何设辅助函数 xfex x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10 求数列 的最大项 证证 设 1 1 xxxf x 用对数求导法得 ln1 2 1 xxxf x 令 得 1 e e 0 e e 1 因为 在 1 只有唯一的极大点 ex 因此在 处 也取最大值 又因 中的最大项 极大值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 列表判别 例例11 证明 0 1 arctan 1ln x x x x 证证 设 xxxxarctan 1ln 1 则 0 0 2 1 1 1ln 1 x xx 0 0 x 故 0 x时 x 单调增加 从而 0 0 x 即 0 1 arctan 1ln x x x x 思考思考 证明 10 arcsin 1ln 1 1 x x x x x 时 如何设辅助 函数更好 xxxxxarcsin1 1ln 1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示 例例12 设 且在 上 存在 且单调 递减 证明对一切 有 证证 设 xfafxafx 则 xfxafx 所以当 令 bx 得 即所证不等式成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13 证证 只要证 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 2 xexxf x 设 0 0 f则 1 21 2 x exxf 0 0 f 10 04 2 xexxf x 利用一阶泰勒公式 得 2 2 0 0 x f xffxf 10 02 22 xxe 故原不等式成立 例例14 证明当 x 0 时 证证 令 1 ln 1 22 xxxxf则 0 1 f xxxfln2 0 1 f xxfln2 1 2 1 x 02 1 f 3 2 1 2 x x xf x x 1 1 2 x 法法1 由 xf在 1 x处的二阶泰勒公式 得 xf 2 1 2 1 x f 3 1 3 x f 2 1 x 3 3 2 1 3 1 x xx在 0 0 故所证不等式成立 与 1 之间 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法2 列表判别 1 ln 1 22 xxxxf0 1 f 2ln2 1 x xxxf0 1 f 1ln2 2 1 x xxf 02 1 f 3 2 1 2 x x xf x x f x f x f xf 1 1 0 1 0 0 2 0 0 0 xfx时故当即 1 ln 1 22 xxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法3 利用极值第二判别法极值第二判别法 0 1的唯一根是易知 xfx 的唯一为 1xfx 故 0 1 f也是最小值 因此当 0 x时 0 xf即 22 1 ln 1 xxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 ln 1 22 xxxxf0 1 f 2ln2 1 x xxxf0 1 f 1ln2 2 1 x xxf 02 1 f 极小点 0 1 f 且 1 2 2 1 ln 1 x xxy 例例15 求 解法解法1 利用中值定理求极限 原式 1 1 1 lim 2 2 n a n a n n 之间 与在 1 n a n a 2 2 1 1 lim a nn n n a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 利用泰勒公式 令 arctan xxf 则 1 1 2 x xf 22 1 2 x x xf 0 0 0 22 2 1 xoxfxffxf 2 xox 原式 2 lim n n 0 1 arctan arctanlim 2 a n a n a n n 2 2 1 1 2 1 lim n