同底数幂乘法.docx

第八章整式的乘法1.经历探索幂的运算性质和整式乘法法则的认知过程,理解并掌握幂的运算性质和整式乘法的法则,能够运用它们进行相关计算,提高学生的运算能力.2.了解零次幂和负整数次幂的意义,会对一些较大的数或较小的数用科学记数法表示.3.体会幂的运算性质、整式的乘法和数的运算的关系,进一步发展符号意识.4.通过对幂的运算性质和整式乘法法则的归纳概括过程,发展学生的归纳和推理能力.让学生主动参与到一些探索过程中来,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的严密性和初步解决问题的愿望与能力.完整地体现“由特殊到一般”的归纳概括过程,以发展学生的推理能力和创新意识.本章内容是有理数运算和整式加减运算的自然延伸,它不仅是代数式的基本内容,而且也是后续学习的必备基础.本章包括幂的运算性质、整式乘法和乘法公式(平方差公式和完全平方公式).幂的运算性质是整式乘法的基础,而乘法公式则是两个特殊整式相乘.本章内容在设计上注重了“三个突出”:(1)突出了归纳概括的过程.本教材将幂的运算性质的获得都设计为“一起探究”活动.其过程一般为在提出问题后,由具体实例的计算,发现一般规律,经过归纳概括获得猜想,再根据乘方的意义证明猜想.(2)突出了知识形成过程中的“转化”思想.整式乘法运算法则的探究是类比数的运算逐步转化来完成的.(3)突出了乘法公式的“由特殊到一般”的过程.乘法公式实际上是两个特殊整式相乘而得出的特殊结果,但又在应用上具有一般性,即公式中的“a”和“b”可以是一个数或字母,也可以是一个整式(实际上不限于整式).【重点】1.熟练运用幂的运算法则、整式乘法进行运算.2.灵活运用整式乘法公式进行运算,综合运用整式运算的知识解决问题.【难点】1.整式乘除法公式的灵活应用.2.逆用幂的运算性质解决问题.1.在整式的乘除法教学中一定要通过实际情境让学生体会学习整式乘除法的必要性,鼓励学生运用乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质等知识探索单项式乘单项式的运算法则,鼓励学生运用乘法分配律、同底数幂的乘法性质说明单项式乘多项式以及多项式乘多项式运算结果的合理性.2.教学中还要重视学生对算理的理解,使学生体会重要的数学思想方法转化,而不必要求学生会背诵法则.乘法公式应用非常广泛,一方面可以简化计算,另一方面也是以后学习因式分解等内容的重要基础.乘法公式也是本章的重点之一,教学时要注意引导学生仔细观察,分析公式的结构特征,掌握公式的实质,让学生在欣赏数学结构美的同时,体会数学公式的优越性.3.让学生感悟基本数学思想.在本章知识的形成与应用过程中,抽象、推理(归纳和演绎)、转化、数形结合、分类、模型等数学思想体现得相当充分.教师要在新知识的学习和“回顾与反思”中抓住时机,进行提炼、总结和概括,使学生自己能够有所感悟、理解.8.1同底数幂的乘法1课时8.2幂的乘方与积的乘方2课时8.3同底数幂的除法1课时8.4整式的乘法3课时8.5乘法公式2课时8.6科学记数法1课时回顾与反思1课时8.1同底数幂的乘法1.经历同底数幂乘法运算性质的获得过程,在计算、归纳和概括的活动中,体验发现的乐趣,感悟归纳推理在数学发现中的价值.2.掌握同底数幂乘法运算的性质,能进行同底数幂乘法的有关计算,发展学生的运算能力.1.在进一步体会幂的意义时,发展推理能力和有条理的表达能力.2.通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用,使学生初步理解由特殊到一般,由一般到特殊的认知规律.体会科学的思想方法,激发学生探索创新的精神.【重点】正确理解同底数幂的乘法法则.【难点】正确理解和应用同底数幂的乘法法则.【教师准备】PPT课件.【学生准备】预习教材P6869.导入一:计算机存储容量的基本单位是字节,用B表示.一般用kB(千字节)、MB(兆字节)或GB(吉字节)作为储存容量的计量单位,它们之间的关系为:1 kB=210 B,1 MB=210 kB,1 GB=210 MB.那么,1 MB等于多少字节呢?设计意图通过教材中的这个生活实例,帮助学生认识引入同底数幂计算的必要性.导入二:北京奥运会的很多建筑都做了节能设计,据统计:奥运场馆一平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧108千克煤所产生的能量.那么105平方千米的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧多少千克煤?你们能列式吗?108105到底等于多少呢?像这样的问题,就是我们要学习的同底数幂的乘法.(揭示课题)设计意图通过生活实例的计算入手,直接引入本课的学习内容,可以增强学生在生活中学习数学的意识.过渡语在生活或数学学习中,经常会遇到同底数幂相乘的问题.这一节我们就来研究同底数幂相乘的运算性质.活动1探究同底数幂的乘法法则思路一1.回顾乘方的意义an表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂,a叫做底数,n是指数.2.用幂表示下列各式的结果(1)2423=;(2)210210=;(3)124122=;(4)a2a3=.结果提示:(1)27;(2)220;(3)126;(4)a5.3.规律初探通过上面的计算,关于两个同底数幂相乘的结果,你发现了什么规律?(提示:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.)4.法则总结若m,n是正整数,根据你发现的规律,用幂的形式表示aman.一般地,对于正整数m,n,有:aman=(aaa)m个a(aaa)n个a=(aaa)(m+n)个a=am+n.aman=am+n(m,n是正整数).同底数幂相乘,底数不变,指数相加.利用这个性质可以直接进行同底数幂的乘法运算.思路二问题1猜想下列各式的结果分别是多少.(1)102103;(2)a2a3;(3)10m10n(m,n都是正整数).同学们猜想一下,它们的运算结果各是什么?【处理方式】让同学各抒己见,发表不同看法.【猜想1】(1)的结果是105,(2)的结果是a5,(3)的结果是10m+n.【猜想2】(1)的结果是106,(2)的结果是a6,(3)的结果是10mn.设计意图在法则的推导过程中,采用了让学生猜想的方式,引起学生的争议,激起了学生进一步探求的欲望,培养学生大胆猜想的数学品质.问题2验证猜想,获取正确的结论.【处理方式】听取学生意见后老师总结.猜想1的结论是正确的.因为102表示两个10相乘,103表示三个10相乘,那么102103就表示五个10相乘,所以结果应该是105;a2表示两个a相乘,a3表示三个a相乘,a2a3就表示5个a相乘,结果为105;10m表示m个10相乘,10n表示n个10相乘,10m10n就表示m+n个10相乘,结果为10m+n.教师利用多媒体展示学生的推理过程:102103=(1010)(101010)=1010101010=105.a2a3=(aa)(aaa)=aaaaa=a5;10m10n=(101010)m个10(101010)n个10=10m+n.问题3推导同底数幂的乘法法则.提出问题:根据你的发现试计算(m,n都是正整数).(1)2m2n=;(2)17m17n=;(3)(-3)m(-3)n=;(4)a4a5=.【分析】以上四个算式有以下两个特点:每个算式的底数都相同;每个算式的指数都是正整数.通过这四个算式,把底数和指数都抽象到用字母去表示.【问题】同学们观察上面的这几个算式,能得出什么结论?【总结】通过学生分组讨论,得出结论:两个同底数的幂相乘,底数不变,指数相加.底数和指数都变成一般的字母时,即一般地,对于正整数m,n,有aman=(aaa)m个a(aaa)n个a=(aaa)(m+n)个a=am+n.aman=am+n(m,n是正整数).同底数幂相乘,底数不变,指数相加.设计意图探求新知的过程让学生充分发挥个人的主体作用独立思考,使学生初步理解“特殊一般”的认知规律,体会科学的思想方法,接受数学文化的熏陶,激发学生的探索创新精神和欲望.学生通过相互之间的合作,归纳出法则,发展学生合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力.知识拓展三个或三个以上的同底数幂相乘的运算.amanap=(aaa)m个a(aaa)n个a(aaa)p个a=(aaa)(m+n+p)个a=am+n+p或amanap=(aman)ap=am+nap=am+n+p.(m,n,p都是正整数)活动2例题讲解把下列各式表示成幂的形式.(1)2623;(2)a2a4;(3)xmxm+1;(4)aa2a3.解:(1)2623=26+3=29.(2)a2a4=a2+4=a6.(3)xmxm+1=xm+(m+1)=x2m+1.(4)aa2a3=a1+2+3=a6.【追问】三个或三个以上的同底数幂相乘,幂的运算性质仍然适用吗?(三个或三个以上的同底数幂相乘,幂的运算性质仍然适用.)太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘,光通过这个圆盘半径的时间约为2104 s,光的速度约为3105 km/s.求太阳系的直径.解:231052104=12109(km).答:太阳系的直径约为12109 km.知识拓展三个或三个以上的同底数幂相乘的运算规则如下:amanap=(aaa)m个a(aaa)n个a(aaa)p个a=(aaa)(m+n+p)个a=am+n+p或amanap=(aman)ap=am+nap=am+n+p.(m,n,p都是正整数)(1)同底数幂相乘,底数不变,指数相加.当含有符号时,要先进行符号运算.(2)理解法则时一定要注意前提条件是幂的底数要相同,是乘法运算而不是加法运算.(3)运算法则中的m,n都是正整数.(4)运算法则可以推广到多个同底数幂的乘法运算.amanap=(aman)ap=am+nap=am+n+p.1.下列各式中计算过程正确的是()A.x3+x3=x3+3=x6B.x3x3=2x3=x6C.xx3x5=x8D.x2(-x)3=-x2+3=-x5解析:x3+x3=2x3,A错;x3x32x3,B错;xx3x5=x9,C错;只有D选项是正确的.故选D.2.若am=3,an=4,则am+n等于()A.125B.81C.64D.12解析:am+n=aman=34=12.故选D.3.(苏州中考)计算:aa2=.解析:根据同底数幂的乘法法则,底数不变,指数相加,得a3.故填a3.4.计算.(1)(-x)2(-x)3;(2)(b-a)3(a-b)5.解:(1)原式=(-x)2+3=(-x)5=-x5.(2)原式=-(a-b)3(a-b)5=-(a-b)8.8.1同底数幂的乘法活动1探究同底数幂的乘法法则活动2例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第70页习题A组的第1,2题.【选做题】教材第70页习题B组的第3题.二、课后作业【基础巩固】1.a16不可以写成()A.a8+a8B.a10a6C.a8a8D.a4a4a4a42.化简(-a)a(-a)2的结果是()A.0B.a2C.a4D.-a43.如果am-3an=a2,那么n等于()A.5-mB.4-mC.m-1D.m+34.(天津中考)计算x2x5=.5.计算.(1)x3x+xx2x.(2)(x-y)2(y-x)3(x-y)5.【能力提升】6.a5(-a3)-(-a)4a4等于()A.0B.-2a8C.-a16D.-2a167.当m,n为自然数,且mn时,(x-y)m(y-x)n等于()A.(x-y)m-nB.-(x-y)m+nC.(-1)n+1(x-y)m+nD.(-1)n(x-y)m+n8.若xn-3xn+3=x10,则n=.9.若32a+33b-2=310,则2a+b的值是.10.化简2x2x-x(-x)2+(-x2)x2+16,并求出当x为最小质数时,该式的值.11.据生物学统计,一个健康的成年女子体内的血量一般不低于4103毫升,每毫升血中红细胞的数量约为4.2106个,则一个健康的成年女子体内的红细胞一般不低于多少个?【拓展探究】12.(1)已知xm=3,xn=5,求x2m+n;(2)已知xm=3,xm+n=15,求xn.13.(1)已知2x=3,2y=4,2z=12,求x,y,z之间的关系;(2)若mp=15,mq=7,mr=-57,求mp+q+r的值.【答案与解析】1.A(解析:应用同底数幂的逆运算判断.a16=a10a6=a8a8=a4a4a4a4a8+a8.)2.D(解析:(-a)a(-a)2=(-a)aa2=-a4.)3.A(解析:am-3an=am-3+n=a2,所以m+n-3=2,n=5-m. )4.x7(解析:x2x5=x2+5=x7.)5.解:(1)x3x+xx2x=x4+x4=2x4.(2)(x-y)2(y-x)3(x-y)5=(x-y)2-(x-y)3(x-y)5=-(x-y)10.6.B(解析:a5(-a3)-(-a)4a4=-a8-a8=-2a8.)7.D(解析:当n为奇数时,(x-y)m(y-x)n=(x-y)m-(x-y)n=-(x-y)m+n;当n为偶数时,(x-y)m(y-x)n=(x-y)m(x-y)n=(x-y)m+n,所以(x-y)m(y-x)n=(-1)n(x-y)m+n.)8.5(解析:xn-3xn+3=x2n=x10,所以2n=10,n=5.)9.9(解析:32a+33b-2=32a+b+1=310,所以2a+b+1=10,所以2a+b=9.)10.解:2x2x-x(-x)2+(-x2)x2+16=2x3-x3-x4+16=-x4+x3+16.当x=2时,原式=-24+23+16=8.11.解:41034.2106=16.8109(个).答:一个健康的成年女子体内的红细胞一般不低于16.8109个.12.解:(1)因为xm=3,xn=5,所以x2m+n=xmxmxn=335=45.(2)因为xm+n=xmxn=15,把xm=3代入得3xn=15,所以xn=5.13.解:(1)因为2x=3,2y=4,2z=12,所以2x2y=2z,所以2x+y=2z,所以x+y=z.(2)因为mp+q+r=mpmqmr,又mp=15,mq=7,mr=-57,所以mp+q+r=mpmqmr=157-57=-1.在教学中教师通过实际问题创设情境,导入新课,激发了学生学习数学的兴趣,通过学生的自主探索,让学生经历观察类比抽象概括等过程,归纳出同底数幂的乘法法则,提高了学生的自主意识和自我解题的能力.在归纳出同底数幂的乘法法则之后,教师通过例1、例2的学习,让学生加深了对同底数幂的乘法法则的理解.整个过程学生对知识的接受和理解较好,突出了学生的主体地位和教师的主导作用,学生学得开心,知识掌握较好.对于法则的概括以及延伸没有让学生尽量地发挥小组合作的能力,发现计算方法,从而总结出规律.教学过程能让学生独立完成的问题,有教师包办代替的现象.因为本节课的内容较简单,所以在习题的设计上,教师可增加些难度,让学生通过变式训练,使学生的能力得到进一步的提高.对于法则的概括和理解要尽量让学生自己去独立完善,教师要少说,多讲评.练习(教材第69页)1.提示:(1)正确.(2)错误,应为bb=b2.(3)错误,应为aa3=a4.(4)错误,应为a3a4=a7.2.提示:(1)109.(2)146.(3)-27.(4)b11.3.(1)24(2)35习题(教材第70页)A组1.提示:(1)1011.(2)211.(3)235.(4)159.(5)-37.(6)76.2.提示:(1)x12.(2)-d4.(3)am+n+1.(4)a9.3.提示:(1)a2n+3.(2)x3m+3.4.解:5.981024(3.3105)=1.97341030(kg).答:太阳的质量约为1.97341030 kg.B组1.提示:(1)(a+b)5.(2)-(x-y)7.2.提示:(1)2x6.(2)0.3.解:(1)2n+1-2n=2n2-2n=2n(2-1)=2n.(2)45n-5n+1=45n-5n5=5n(4-5)=-5n.同底数幂相乘的几点注意.(1)幂可以看做是代数式中的一类,是形如an的代数式.目前,在我们研究的这类式子中,可以是任何有理数,也可以是整式,而an中的n只能是整数.(2)35与155不是同底数幂,因为它们的底数一个是3,一个是15,是不一样的,这说明两个幂是不是同底数幂,与它们的指数是否相同毫无关系.(3)53与515是同底数幂,因为它们的底数相同(都是5).同理,x3与x5,(a+b)2与(a+b)5也都是同底数幂.同底数幂的乘法法则的关键在于底数,底数一定要相同,并且二者是相乘关系,这样指数才能相加,否则不能运用此法则.同底数幂的乘法法则的逆用:同底数幂的乘法法则用字母表示为aman=am+n,将公式倒过来就是am+n=aman,在解决有关问题时,公式的逆用会起到事半功倍的效果.已知am=4,an=3,求下列各式的值.(1)am+n;(2)a3m+n.解析同底数幂的乘法法则是可以逆用的,也可以把am+n=aman当成公式用.解:(1)am+n=aman=34=12.(2)a3m+n=amamaman=4443=192.8.2幂的乘方与积的乘方1.经历积的乘方和幂的乘方运算性质的获得过程,在计算、归纳和概括的活动中,发展学生归纳推理能力.2.掌握积的乘方和幂的乘方运算性质,能进行积的乘方和幂的乘方的有关计算,提高学生的运算能力.1.在探索性质的过程中让学生经历观察、猜想、创新、交流、验证、归纳总结的思维过程.2.在推理和运用的过程中,让学生理解由“特殊到一般,再到特殊”的思维方法和数学思想.1.在探索和训练的过程中,培养学生细心严谨的学习态度,积极进取的探索精神,团结协作的良好品质.2.引导学生自主探索,体验成功的快乐,增强对数学学习的兴趣,在轻松、和谐、有序的教学氛围中,培养学生健全的个性.【重点】幂的乘方、积的乘方的算理.【难点】幂的乘方、积的乘方的灵活应用.第课时学习幂的乘方的运算性质,进一步体会幂的意义,并能解决实际问题.经历探索幂的乘方运算性质的过程,发展推理能力和有条理的表达能力,提高解决问题的能力.体会学习数学的兴趣,培养学习数学的信心,感受数学的内在美.【重点】幂的乘方性质的推导及幂的乘方的应用.【难点】幂的乘方性质的逆运用.【教师准备】课堂中的提问问题设计.【学生准备】预习教材P7172.导入一:(1)有甲乙两个球,如果甲球的半径是乙球半径的n倍,那么甲球的体积是乙球体积的多少倍?(学生口答)n3倍.(2)引导学生计算.(102)3=,怎样计算?(102)3=106.方法一:(102)3=102102102=102+2+2=106.方法二:(102)3=(100)3=1000000=106.设计意图在独立思考的基础上,组织学生交流、讨论,培养学生思维的严密性,让学生体验在交流中获益的乐趣.并在此过程中,引导学生主动反思,回顾解决问题的方法,为进入新课做准备.导入二:填空.(1)(23)2=2323=2();(2)(72)3=72()()=7();(3)(a3)2=a3()=a().【处理方式】同学们仔细观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,想一想它们之间有什么关系,结果中的底数与原式的底数之间有什么关系.过渡语如果几个同底数幂的指数都相同,那么同底数幂相乘的结果可以用幂的乘方表示.活动1探究幂的乘方法则思路11.依据同底数幂乘法的性质计算:210210210=.(210+10+10=230)根据乘方的意义210210210可以表示为.(210)3=2310=230)由此,能得到什么结论?(相同底数和指数的幂相乘,底数不变,指数相加)2.(102)3表示3个102相乘,(102)3=106.(a3)4表示4个a3相乘,(a3)4=a12.观察上面各式中幂指数之间的关系,猜想:若m,n是正整数,则(am)n=.(amn)事实上,根据乘方的意义及同底数幂乘法的性质,对于正整数m,n,有:(am)n=amamamn个am=am+m+mn个m=amn.(am)n=amn(m,n是正整数).幂的乘方,底数不变,指数相乘.运用这个性质可以直接进行幂的乘方运算.思路21.你知道(102)3等于多少吗?【学生展示】计算过程:(102)3=102102102=102+2+2=106=1023第步和第步推出的理由是什么呢?【点拨】第步的理由是利用了乘方的含义,(102)3表示3个102相乘;第步的理由是利用了我们刚学过的同底数幂的乘法:底数不变,指数相加.观察上面的运算过程,底数和指数发生了怎样的变化?【点拨】结果的指数刚好是原式中两个指数的积,而运算前后底数没变.2.做一做:计算下列各式并说明理由.(1)(62)4;(2)(a2)3;(3)(am)2;(4)(am)n.【处理方式】通过观察不难发现,上面的4个小题都是幂的乘方的运算,下面我们就请四位同学到黑板上板演,其余的同学观察他们做的有无错误.【师生活动】展示解答过程:(1)(62)4=62626262=62+2+2+2=68.(2)(a2)3=a2a2a2=a2+2+2=a6=a23.(3)(am)2=amam=am+m=a2m.(4)(am)n=amamamn个am=am+m+mn个m=amn.知识拓展由上面的“做一做”我们推出了幂的乘方的运算性质,即:(am)n=amn(m,n都是正整数).用语言表述为:幂的乘方,底数不变,指数相乘.思路31.x3表示什么意义?2.如果把x换成a4,那么(a4)3表示什么意义?3.怎样把a2a2a2a2=a2+2+2+2写成比较简单的形式?4.由此你会计算(a4)5吗?5.根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.(1)(53)2=5353=5();(2)(52)3=()()()=5();(3)(a3)5=a3()()()()=a().6.用同样的方法计算:(a3)4;(a11)9;(b3)n(n为正整数).这几道题学生都不难做出,在处理这类问题时,关键是如何得出3+3+3+3=12,教师应多举几例.(a11)9=(a11a11a11)9个=a11+11+11+119个=a99.(b3)n=(b3b3b3)n个=b3+3+3+3n个=b3n.教师应指出这样处理既麻烦,又容易出错,此时应让学生思考,有没有简捷的方法?引导学生认真思考,并得到:(23)2=232=26;(32)3=323=36;(a11)9=a119=a99;(b3)n=b3n=b3n.观察结果中幂的指数与原式中幂的指数及乘方的指数,猜想它们之间有什么关系,结果中的底数与原式的底数之间有什么关系.怎样说明你的猜想是正确的?(am)n=(amamamam)n个(乘方的意义)=am+m+m+mn个m(同底数幂的乘法)=amn(乘法定义),即(am)n=amn(m,n是正整数).这就是幂的乘方法则.你能用语言叙述这个法则吗?幂的乘方,底数不变,指数相乘.设计意图通过层层导入与渗透,让学生通过类比总结出幂的乘方的计算法则,整个过程由浅入深,体现了循序渐进的原则.活动2例题讲解计算.(1)(103)4;(2)(c2)3;(3)(a4)m.解:(1)(103)4=1034=1012.(2)(c2)3=c23=c6.(3)(a4)m=a4m=a4m.计算.(1)x(x2)3;(2)aa2a3-(a2)3.解:(1)x(x2)3=xx23=xx6=x7.(2)aa2a3-(a2)3=a6-a6=0.知识拓展1.幂的乘方的底数、指数可以是数,可以是字母,也可以是单项式或多项式.2.幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于一个是“指数相乘”,一个是“指数相加”.3.幂的乘方公式还可逆用:amn=(am)n=(an)m.(am)n=amn(m,n都是正整数).幂的乘方,底数不变,指数相乘.1.(长春中考)计算(a2)3的结果是()A.3a2B.a5C.a6D.a3解析:根据幂的乘方的法则,(a2)3=a23=a6.故选C.2.下列计算:(x5)2=x7;(x5)2=x25;x5x2=x7;x5x2=x10;x5+x2=2x5.其中错误的有()A.5个B.4个C.3个D.2个解析:(x5)2=x10,所以错;x5x2=x7,所以错;因为x5与x2不是同类项,所以不能合并,所以错.故选B.3.若(54)x=512,则x=.解析:(54)x=54x=512,所以4x=12,所以x=3.故填3.4.计算.(1)-(xm)3;(2)(b3)4b;(3)2(y6)2-(y4)3.解:(1)-(xm)3=-xm3=-x3m.(2)(b3)4b=b34b=b12b=b13.(3)2(y6)2-(y4)3=2y62-y43=2y12-y12=y12.第1课时活动1探究幂的乘方法则活动2例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第72页习题A组的第1,2题.【选做题】教材第73页习题B组的第2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列计算,正确的是()A.x2+x3=x5B.x2x3=x6C.(a2)3=a6D.(-a2)3=a52.计算(a3)2a3的结果是()A.a8B.a9C.a10D.a113.计算:(a3)2=,(x2)m=.4.若4x=2x+3,则x=.5.计算.(1)(am)2;(2)(-m)34;(3)(a3-m)2.【能力提升】6.计算(-x3)4+(-2x6)2的结果是()A.-3x12B.x12+4x8C.5x12D.3x127.已知2445=22n,则n的值为()A.4B.7C.5.5D.6.58.若(x2)mx3=x9,则m=.9.若10m=2,10n=3,则103m+2n=.10.(1)若(9m+1)2=316,求正整数m的值;(2)若28n16n=222,求正整数n的值.【拓展探究】11.已知a5n=3,求13a10n-19a15n的值.12.试比较3555,4444,5333的大小.【答案与解析】1.C(解析:A不能合并,错误;B指数相加,为x2x3=x5,错误;C指数相乘,应为(a2)3=a6,正确;D,(-a2)3=-a6,错误.)2.B(解析:(a3)2a3=a6a3=a9.)3.a6x2m(解析:(a3)2=a6,(x2)m=x2m.)4.3(解析:4x=22x=2x+3,2x=x+3,x=3.)5.解:(1)(am)2=a2m.(2)(-m)34=(-m)12=m12.(3)(a3-m)2=a2(3-m)=a6-2m.6.C(解析:原式=x12+4x12=5x12.)7.B(解析:2445=24210=214=22n,所以2n=14,n=7.)8.3(解析:因为x2mx3=x2m+3=x9,所以2m+3=9,所以m=3.)9.72(解析:103m+2n=103m102n=(10m)3(10n)2=2332=89=72.)10.解:(1)(9m+1)2=92m+2=(32)2m+2=34m+4=316,所以4m+4=16,解得m=3.(2)28n16n=2(23)n(24)n=223n24n=21+3n+4n=222,所以有1+3n+4n=22,解得n=3.11.解:因为a5n=3,所以13a10n-19a15n=13(a5n)2-19(a5n)3=1332-1933=3-3=0.12.解:3555=(35)111=243111,4444=(44)111=256111,5333=(53)111=125111.因为256111243111125111,所以444435555333.学生在探索练习的指引下,自主完成有关的练习,并在练习中发现幂的乘方的法则,从猜测到探索到理解法则的实际意义,从而从本质上认识、学习幂的乘方的来历.鼓励学生自己发现幂的乘方的性质特点,如底数、指数发生了怎样的变化,并运用自己的语言进行描述,然后再让学生回顾这一性质的得来过程,进一步体会幂的意义.对于逆用幂的乘方法则,学生的理解有一定困难,需要老师进一步指导.课时教学中只是纯计算类习题,没有补充实际应用类的计算问题.以实际问题引入幂的乘方的运算,体会幂的乘方运算的必要性,根据幂的意义,同底数幂的乘法运算性质,引导学生探索幂的乘方的运算性质,并用它进行计算.练习(教材第72页)1.提示:(1)不正确,应为a6.(2)不正确,应为a5. (3)不正确,应为2a3.(4)正确.2.提示:(1)76.(2)b12.(3)a8.(4)x4m+3.(5)m3n+1.(6)x7m.习题(教材第72页)A组1.(1)9(2)12(3)8(4)152.提示:(1)58n.(2)75m.(3)98n.(4)2mn.(5)m3n.(6)y2n+3m.3.提示:(1)3a10.(2)2x7.B组1.提示:(1)(a+b)8.(2)(2x+y)6.2.提示:(1)m=4.(2)a2m+3n=a2ma3n=(am)2(an)3=4283=8192.对幂的乘方一般规律的探索.在教学中,教师要注意引导学生对幂的乘方一般规律的探索和表达,在利用具体数进行试验论证上多用点儿时间,让学生习惯于对具体数的操作,教师可以通过提出“你发现的规律对任意一个数都成立吗?”等问题加以引导,并重视同伴之间的相互启发,在运算过程中,体会幂的乘方.因此,教师在教学中应提供丰富有趣的问题,鼓励学生通过独立思考与讨论发现关系,给学生留下充分探索和交流的空间,使学生经历从具体问题中抽象规律,用符号进行表示的过程.正确区分幂的乘方与同底数幂的乘法法则的异同.运算名称运算形式运算法则底数指数同底数幂的乘法aman=am+n不变相加幂的乘方(am)n=amn不变相乘第课时1.经历探索积的乘方的运算性质的过程,发展推理能力和有条理的表达能力.2.了解积的运算性质,并能解决一些实际问题.1.体会数学的价值及在解决问题的过程中与他人合作的重要性.2.在探究过程中体会由特殊到一般的规律,积累解决数学问题的经验和方法.调动学生参与数学学习的积极性,培养学生对学习数学的良好的情感态度,主动参与、合作、交流的意识.【重点】理解并正确运用积的乘方的运算性质.【难点】积的乘方的运算性质的探究过程及应用方法.【教师准备】预设学生理解积的乘方易错的地方.【学生准备】复习同底数幂的乘法、幂的乘方法则.导入一:地球可以近似地看做是球体,地球的半径约为6103 km,它的体积大约是多少立方千米?(球的体积计算公式是V=43r3)【处理方式】共同列出算式V=43r3=43(6103)3.使学生发现(6103)3=?,它是幂的乘方吗?(6103)3有怎样的结构特征?从而引出本节课研究和探索积的乘方.设计意图对于球体积的计算公式前面已经接触过,在实际的计算过程中,会遇到积的乘方的计算问题,使学生感受到探索和掌握新知识的必要性,同时也可感受到数学无处不在,它来源于生活,又服务于生活.激起学习兴趣.导入二:师:提出问题:若已知一个正方体的棱长为1.1103 cm,你能计算出它的体积是多少吗?预设 生1:它的体积应是V=(1.1103)3 cm3.师:这个结果是幂的乘方形式吗?生2:不是,底数是1.1与103的乘积,虽然103是幂,但总体来看,我认为应是积的乘方才有道理.师:积的乘方如何运算呢?能不能找到一个运算法则?用前两节课的探究经验,请同学们自己探索,发现其中的奥妙.设计意图通过对实际问题的设计,让学生联系以前学过的知识进行解答,体现了知识间的必然联系,使学生产生了学习的兴趣,为下面的学习做了铺垫.过渡语计算460.256.小明认为460.256=(40.25)6,马上得出结果为1.你认为他这样计算有道理吗?活动1探究积的乘方运算性质思路一1.观察下面的运算过程,指出每步运算的依据.(37)2=(37)(37)(乘方的定义)=(33)(77)(乘法交换律和结合律)=3272.(乘方的定义)2.按照上面的方法,完成下面的填空.(ab)2=;(ab)(ab)=(aa)(bb)=a2b2)(ab)3=.(ab)(ab)(ab)=(aaa)(bbb)=a3b3)3.公式推导.一般地,若n是正整数,则有:(ab)n=(ab)(ab)(ab)n个ab=(aaa)n个a(bbb)n个b=anbn.(ab)n=anbn(n是正整数).积的乘方,等于各因式乘方的积.注意:运用这个性质可以直接进行积的乘方运算.追问:对三个或三个以上因式积的乘方,积的乘方的性质是否也成立?思路二列出自学提纲,引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳.1.填空,看看运算过程中用到哪些运算律,从运算结果看能发现什么规律?(1)(ab)2=(ab)(ab)=(aa)(bb)=a()b();(2)(ab)3=a()b();(3)(ab)n=a()b()(n是正整数).2.把你发现的规律先用文字语言表述,再用符号语言表达.3.若已知一个正方体的棱长为1.1103 cm,你能计算出它的体积是多少吗?学生探究的经过:1.(1)(ab)2=(ab)(ab)=(aa)(bb)=a2b2,其中第步是用乘方的意义;第步是用乘法的交换律和结合律;第步是用同底数幂的乘法法则.同样的方法可以算出(2)(3)题.(2)(ab)3=(ab)(ab)(ab)=(aaa)(bbb)=a3b3;(3)(ab)n=(ab)(ab)(ab)(ab)n个ab=(aaaa)n个a(bbbb)n个b=anbn.2.积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘,也就是说积的乘方等于幂的乘积.用符号语言叙述便是:(ab)n=anbn(n是正整数).3.正方体的体积V=(1.1103)3,它不是最简形式,根据发现的规律可作如下运算:V=(1.1103)3=1.13(103)3=1.131033=1.13109=1.331109(cm3).通过上述探究,我们可以发现积的乘方的运算法则:(ab)n=anbn(n是正整数).积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.活动2例题讲解(教材第74页例3)计算.(1)(2x)2;(2)(3ab)3;(3)(-2b2)3;(4)(-xy3)2;(5)(2a2)3+(-3a3)2+(a2)2a2.解:(1)(2x)2=22x2=4x2.(2)(3ab)3=33a3b3=27a3b3.(3)(-2b2)3=(-2)3(b2)3=-8b6.(4)(-xy3)2=(-1)2x2(y3)2=x2y6.(5)(2a2)3+(-3a3)2+(a2)2a2=23(a2)3+(-3)2(a3)2+(a2)2a2=8a6+9a6+a4a2=8a6+9a6+a6=18a6.(教材第74页例4)球体表面积的计算公式是S=4r2.地球可以近似地看成一个球体,它的半径r约为6.37106 m.地球的表面积大约是多少平方米?(取3.14)解:S=4r2=43.14(6.37106)2=43.146.37210125.101014(m2).答:地球的表面积大约是5.101014 m2.知识拓展(1)无论是应用积的乘方的性质,还是应用同底数幂相乘的性质或幂的乘方的性质,都要注意符号问题.(2)三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质,即(abc)n=anbncn(n是正整数).(3)积的乘方法则可以进行逆运算,即:anbn=(ab)n(n是正整数),推导过程:anbn=(aaaa)n个a(bbbb)n个b幂的意义=(ab)(ab)(ab)(ab)n个ab乘法交换律、结合律=(ab)n乘方的意义.1.积的乘方运算法则:(ab)n=anbn(n是正整数).积的乘方,等于每一个因数乘方的积.2.推广:(abc)n=anbncn(n是正整数).3.积的乘方法则逆用:anbncn=(abc)n(n是正整数).1.(泉州中考)计算(ab2)3的结果是()A.3ab2B.ab6C.a3b6D.a3b2解析:先利用积的乘方法则,再运用幂的乘方法则.(ab2)3=a3(b2)3=a3b6.故选C.2.(贺州中考)下列运算正确的是()A.(x2)3+(x3)2=2x6B.(x2)3(x2)3=2x12C.x4(2x)2=2x6D.(2x)3(-x)2=-8x5解析:A.原式=x6+x6=2x6,故A正确;B.原式=x6x6=x12,故B错误;C.原式=x44x2=4x6,故C错误;D.原式=8x3x2=8x5,故D错误.故选A.3.若x3=-8a6b9,则x=.解析:因为x3=-8a6b9=(-2a2b3)3,所以x=-2a2b3.故填-2a2b3.4.计算.(1)-13a23;(2)(-5ab)2;(3)(-xy)4.解:(1)-13a23=-133a6=-127a6.(2)(-5ab)2=25a2b2.(3)(-xy)4=x4y4.第2课时活动1探究积的乘方运算性质活动2例题讲解例1例2一、教材作业【必做题】教材第75页习题A组的第1,2题.【选做题】教材第75页习题B组的第2题.二、课后作业【基础巩固】1.(广东中考)(-4x)2等于()A.-8x2B.8x2C.-16x2D.16x22.(怀化中考)下列运算正确的是()A.aa3=a3B.(ab)3=ab3C.a3+a3=a6D.(a3)2=a63.计算a2(a2b2)2的结果是()A.a4b4B.a6b4C.a8b4D.a6b24.计算(3a)2a5=,9a6b2=()2.5.计算.(1)aa5+(2a3)2+(-2a2)3;(2)(-2a2b)3+8(a2)2(-a)2(-b)3.【能力提升】6.(潜江、天门、仙桃、江汉油田中考)计算(-2a2b)3的结果是()A.-6a6b3B.-8a6b3C.8a6b3D.-8a5b37.若(anbmb2)3=a9b15,则有()A.m=9,n=4B.m=3,n=4C.m=3,n=3D.m=5,n=48.计算(-4103)2(-4103)3的正确结果是.9.若x2n=2,(yn)3=3,则(xy)6n=.10.计算.(1)-13ab2c2;(2)0.12516(-8)17.【拓展探究】11.计算.(1)0.12562646;(2