中国海洋大学vhdl习题.pdf

习题七 1 写出下面方程的阶 判别它们是齐次还是非齐次的 线性还是非线性的 1 ut uxx 1 0 2 ut uxx xu 0 3 ut uxxt uux 0 4 utt uxx x2 0 5 ux eyuy 0 6 ut uxxxx 1 u 0 7 ux 1 u2 x 1 2 uy 1 u2y 1 2 0 2 求下面的一阶线性偏微分方程的通解 1 xux 2yuy 0 2 xux yuy 0 3 xux 3u x2 4 xux 2uy 2u 0 5 1 x2 ux uy 0 6 3uy uxy 0 7 ux uy 1 8 yux xuy 3x 9 x2ux y2uy x y u 10 aux buy cu 0 3 求解下面的初值问题 1 ut x2 x 0 u x 0 x2 x 2 2ut 3ux 0 x 0 u x 0 sinx x 3 ut aux 0 x 0 u x 0 x2 x 0 上满足条 件u x y sinx 8 试证明如果u1 x t 和u2 x t 分别是下面两个热传导方程初值问题 u1t a2u1xx x 0 u1 x 0 1 x x 和 u2t a2u2yy y 0 u2 y 0 2 y y 的解 则u x y t u1 x t u2 y t 是初值问题 ut a2 uxx uyy x y 0 u x y 0 1 x 2 y x y 1 的解 9 函数1 x 1 x和1 x x2是线性相关还是线性无关的 为什么 10 下面哪些算子是线性的 1 Lu ux xuy 2 Lu ux uuy 3 Lu ux u2 y 4 Lu ux uy 1 11 证明非齐次线性算子方程Lu f的任意两个解的差是齐次线性算子方 程Lu 0的解 12 判别下列方程的类型 并将其化为标准型 1 4uxx 5uxy uyy ux uy 2 2 uxx 4uxy 4uyy ey 3 uxx uxy uyy ux 0 13 求方程3uxx 10uxy 3uyy 0的通解 14 求方程uxx 2uxy uyy 0的通解 15 判断能否找到方程uxx 2uxy 5uyy ux 0的通解 为什么 16 对偏微分方程utt a2uxx bux 其中a b为常数 寻找合适的函数变 换u x t w x v x t 使得v满足的偏微分方程中不含一阶偏导数项 17 化简偏微分方程utt a2uxx bux cut du 其中a b c d为常数 18 试求满足方程utt a2uxx和u2 t a2u2 x的公共解 习题八 1 求解下列特征值问题 1 X X 0 0 x l X 0 X l 0 2 X X 0 0 x l X 0 X l 0 3 X X 0 a x b X a X b 0 4 X X 0 0 x l X 0 0 X l X l 0 2 一根长为l的弦 两端固定 初始位移为Asin x l 初始速度为零 求该弦 的振动规律 3 求解混合问题 utt a2uxx 0 x 0 u 0 t u l t 0 t 0 u x 0 sin x l ut x 0 sin x l 0 x l 2 4 求解混合问题 utt a2uxx 0 x 0 u 0 t u l t 0 t 0 u x 0 sin 3 x l ut x 0 x l x 0 x l 5 求解混合问题 utt a2uxx 0 x 0 ux 0 t u l t 0 t 0 u x 0 cos x 2l 0 x l ut x 0 cos 3 x 2l cos 5 x 2l 0 x l 6 一根长为l的均匀细杆 它的初始温度为常数u0 两端温度恒为零 试求杆 上的温度分布情况 7 求解混合问题 ut uxx 0 x 0 ux 0 t ux 1 t 0 t 0 u x 0 1 cos x 0 x 1 8 用分离变量法求解梁振动方程混合问题 utt a2uxxxx 0 0 x 0 u 0 t uxx 0 t u l t uxx l t 0 t 0 u x 0 x ut x 0 x 0 x l 9 求解阻尼弦振动方程混合问题 utt a2uxx 2hut 0 x 0 u 0 t u l t 0 t 0 u x 0 x ut x 0 x 0 x l 其中0 h a l 是一个常数 10 求解混合问题 ut a2uxx b2u 0 x 0 u 0 t u l t 0 t 0 u x 0 x 0 x l 其中b为已知常数 3 11 求解混合问题 utt a2uxx g 0 x 0 u 0 t 0 ux l t 0 t 0 u x 0 ut x 0 0 0 x l 其中g为已知常数 12 求解混合问题 ut uxx sin x 0 x 0 u 0 t u 1 t 0 t 0 u x 0 0 0 x 1 13 求解具有放射性衰变的热传导方程混合问题 ut a2uxx Ae x 0 x 0 u 0 t u l t 0 t 0 u x 0 T0 0 x l 其中A T0均为已知常数 14 求解混合问题 utt uxx 0 x 0 u 0 t E u 1 t 0 t 0 u x 0 ut x 0 0 0 x 1 其中E为已知常数 15 求解混合问题 ut a2uxx 0 x 0 ux 0 t 0 u l t u0 t 0 u x 0 u0 l x 0 x l 其中u0为已知常数 16 设弹簧的一端固定 另一端在外力作用下作周期振动 此时归结为混合问 题 utt a2uxx 0 x 0 u 0 t 0 u l t Asin t t 0 u x 0 ut x 0 0 0 x l 其中A 0为已知常数 试求解 4 17 求解混合问题 ut a2uxx 0 x 0 u 0 t Asin t u l t 0 t 0 u x 0 0 0 x l 其中A 0为已知常数 18 试证明如果w x t 是混合问题 wt a2wxx 0 x w 0 t w l t 0 t w x f x 0 x l 的解 其中 0表示初始时刻 则 u x t t 0 w x t d 是混合问题 ut a2uxx f x t 0 x 0 u 0 t u l t 0 t 0 u x 0 0 0 x l 的解 这是热传导方程混合问题的齐次化原理 19 考察由下列定解问题描述的矩形平板上的温度分布 uxx uyy 0 0 x a 0 y b u 0 y 0 u a y 0 0 y b u x 0 f x u x b 0 0 x a 其中f x 为已知的连续函数 20 求解定解问题 uxx uyy 0 0 x a 0 y b ux 0 y A ux a y A 0 y b uy x 0 B uy x b B 0 x a 其中A B为已知常数 21 求解单位圆上的拉普拉斯方程狄利克雷边值问题 urr 1 r ur 1 r2 u 0 0 r 1 u 1 f 5 其中f 分别为 1 f Acos 2 f A 0 这里A和 都是常数 22 求解定解问题 urr 1 r ur 1 r2 u 0 0 r l 0 u r 0 0 u r 0 0 r l u l f 0 其中f 为已知的连续函数 而 0 2 1 x2 a2 3 sin x2 cos x2 0 4 xe ax 2 a 0 2 已知 f d x 2 a2 1 x2 b2 0 a b 求未知函数f x 3 用傅里叶变换求解下列定解问题 1 ut aux f x t x 0 u x 0 x x 2 utt a2uxx f x t x 0 u x 0 0 x ut x 0 0 x 3 ut uxx tu x 0 u x 0 f x x 4 utt 2ut uxx u x 0 u x 0 0 x ut x 0 x x 5 utt a2uxxxx 0 x 0 u x 0 x x ut x 0 0 x 4 试证明若w x t 是齐次初值问题 wt wxx x w x f x x 6 的解 则 u x t t 0 w x t d 是非齐次初值问题 ut uxx f x t x 0 u x 0 0 x 0 t 0 ux 0 t 0 t 0 u x 0 x x 0 6 利用延拓法求解弦振动半无界问题 utt a2uxx x 0 t 0 u 0 t 0 t 0 u x 0 x ut x 0 x x 0 7 求下列函数的拉普拉斯变换 1 f t e 2t 2 f t t2 3 f t sintcost 4 f t cosht 5 f t cos2kt 6 f t sin2tcos3t 8 求函数f t t 1 H t 1 H t 2 的拉普拉斯变换 其中H t 是单 位阶跃函数 9 求下列函数的拉普拉斯变换 1 f t t 1 2et 2 f t e 2tsin3t 3 f t H 3t 5 4 f t te 3tsin2t 5 f t t 0 te 3tsin2tdt 6 f t t t 0 e 3tsin2tdt 10 按定义10 4计算下列卷积 1 t t 2 t et 3 t sint 4 cost cost 5 sint cost 6 ektsint ektcost 11 求下列函数的拉普拉斯逆变换 7 1 1 s 5 2 2 s4 3 1 s2 9 4 2s 3 s2 4 5 s 2 s 1 s 3 6 s 1 s2 s 6 7 s s2 1 2 8 1 s3 s2 4 9 s2 2s 1 s s 1 2 10 s s2 1 s2 4 11 s 8 s2 4s 5 12 s 2 s2 4s 5 2 13 s s2 1 2 14 2s2 3s 3 s 1 s 3 3 15 1 s 1 s 2 s 3 12 利用拉普拉斯变换公式计算如下积分 1 0 e tsin2tdt 2 0 te 3tcos2tdt 13 求解下列微分方程 1 y y 1 t 0 y 0 0 2 y y 3e2t t 0 y 0 2 3 y 6y 9y e3t t 0 y 0 y 0 0 4 y 3y 2y 5 t 0 y 0 1 y 0 2 5 y 2y 2y 2etcost t 0 y 0 y 0 0 6 y 2y 5y etsin2t t 0 y 0 0 y 0 7 4 7 y 3y 3y y 6e t t 0 y 0 y 0 y 0 0 8 y 2y y 2e 2t t 0 y 0 2 y 0 y 0 0 14 求解下列微分方程组 1 x 2x 2y 10e2t y y 2x 7e2t x 0 1 y 0 3 2 3x y 2x 1 x 4y 3y 0 x 0 y 0 0 15 求解积分方程 f t sint 2 t 0 cos t f d 16 利用拉普拉斯变换求解下列定解问题 1 uxy 1 x 0 y 0 u 0 y y 1 u x 0 1 2 utt a2uxx x 0 t 0 u x 0 0 ut x 0 b u 0 t 0 8 3 ut a2uxx 0 x 0 ux 0 t 0 u l t u0 u x 0 u1 u0 u1为常数 4 utt a2uxx cos t x 0 t 0 u x 0 0 ut x 0 b u 0 t 0 习题十一 1 求出下列弦振动方程初值问题的解 1 utt a2uxx 0 u x 0 0 ut x 0 1 2 utt a2uxx 0 u x 0 sinx ut x 0 x2 3 utt a2uxx 0 u x 0 x3 ut x 0 x 4 utt a2uxx 0 u x 0 cosx ut x 0 e 1 2 求解无限长弦的自由振动 设弦的初始位移为 x 初始速度为 a x 3 对方程utt 4uxx x R t 0 写出点 4 1 的依赖区间 区间 2 4 的决 定区域 4 求解弦振动问题的古尔萨问题 utt uxx x 0 u x x x x u x x x x 0时左端点作微小振动Asin t 试求弦的振动规律为 u x t 0 t x a Asin t x a t x a 其中A 为已知常数 9 7 求解定解问题 uxx 2uxt 3utt 0 x 0 u x 0 sinx x ut x 0 x x 8 求解下列非齐次弦振动方程初值问题 1 utt a2uxx x at x 0 u x 0 0 x ut x 0 0 x 2 utt uxx tsinx x 0 u x 0 0 x ut x 0 sinx x 3 utt uxx 1 x 0 u x 0 sinx x ut x 0 x x 4 utt a2uxx x x 0 u x 0 0 x ut x 0 3 x 习题九 1 在点x x0处用幂级数方法求解下列微分方程 1 y xy 0 x0 0 1 2 y xy y 0 x0 0 1 3 1 x y y 0 x0 0 4 1 x2 y xy 4y 0 x0 0 2 试判别x 1 0 1是下面方程的什么点 常点 正则奇点或非正则奇点 1 xy 1 x y xy 0 2 1 x2 y 2xy n n 1 y 0 3 2x4 1 x2 y 2xy 3x2y 0 4 x2 1 x2 y 2 xy 4y 0 3 写出下列方程的指标方程及其根 1 x3y cos2x 1 y 2xy 0 2 4x2y 2x4 5x y 3x2 2 y 0 3 x2y 3xy 4xy 0 4 x3y 4x2y 3xy 0 4 求出下列方程的两个线性无关的弗罗贝尼乌斯级数解 1 xy 2y xy 0 2 xy y 4x3y 0 3 x2y x2y x2 2 y 0 4 4xy 2y y 0 5 证明勒让德多项式Pn x 满足 1 Pn 1 1 n 2 P2m 1 0 0 3 P2m 0 1 m 2m 22m m 2 10 6 证明勒让德多项式有如下的积分表示公式 即施列夫利公式 Pn x 1 2n2 i I C z2 1 n z x n 1 dz 1 其中C是围绕x的任意周线 7 利用上题中的施列夫利公式 取积分路径为圆周C z x 1 x2 证 明勒让德多项式的拉普拉斯积分表示公式 Pn x 1 0 x i 1 x2cos nd 2 设x cos 进一步证明 Pn x Pn cos 1 8 证明Pn x 在开区间 1 1 内有n个单零点 9 证明Pn x n k 0 n k n k k 22k x 1 k 10 证明勒让德多项式满足递推关系式 Pn x P n 1 x 2xP n x P n 1 x n 1 2 11 证明 n k 0 2k 1 Pk x P n x P n 1 x n 0 1 2 12 证明 1 1 Pn x dx 0 n 1 2 13 证明 1 1 1 x2 P n x 2 dx 2n n 1 2n 1 n 0 1 2 14 计算下列积分 1 1 1 xPn x Pn 1 x dx 2 1 1 x2Pn x Pn 2 x dx 3 1 1 xPn x 2dx 15 将函数f x 5x3 3x2 x 1展开成F L级数 16 将单位阶跃函数 f x 0 1 x 0 1 0 x 1 u 1 cos2 lim r u r 0 2 u 0 1 r 2 u 1 cos u 2 1 cos2 3 u 0 r a 0 2 u a u0 u n 2 0 19 试求半径为R的球体的定常温度分布 假定球面上的温度分布恒为u R u0cos 20 有一个单位球 使其上半球面温度恒为1 下半球面温度恒为0 试求球内 的温度分布 21 在半径为a的接地金属球壳内 在到球心的距离为b的位置处放置一个点 电荷4 0q 求球内的电势分布 22 设半径为a的半球球面保持恒温u0cos 底面保持零度 求半球内的温度 分布 23 在电场强度为E0的均匀电场中放进一个接地导体球 球的半径为a 设球 心即球坐标系的原点处的电势为u0 求球外的电势分布 24 用分离变量法求偏微分方程 2u t2 x 1 x2 u x 0 1 x r0 0 u r0 u0 sin2 cos2 1 3 0 lim r u r 0 31 分别在半径为r0的球体的内部区域和外部区域求解 3u 0 u r0 4sin2 cos sin 1 2 32 分别在半径为r0的球体的内部区域和外部区域求解 3u 0 ur r0 sin2 co