数字信号处理习题集(附答案).pdf

第一章第一章 数字信号处理概述数字信号处理概述 简答题 简答题 1 在 A D 变换之前和 D A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器 它们分别起什么 作用 答 在 A D 变化之前让信号通过一个低通滤波器 是为了限制信号的最高频率 使其满足 当采样频率一定时 采样频率应大于等于信号最高频率 2 倍的条件 此滤波器亦称位 抗折 叠 滤波器 在 D A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器 是为了滤除高频延拓谱 以便把抽样保 持的阶梯形输出波平滑化 故友称之为 平滑 滤波器 判断说明题 判断说明题 2 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理 自己要增加一道采 样的工序就可以了 答 错 需要增加采样和量化两道工序 3 一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统 然后基于数字信号处理 理论 对信号进行等效的数字处理 答 受采样频率 有限字长效应的约束 与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定 能找到 因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析 再考虑幅度量 化及实现过程中有限字长所造成的影响 故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论 基础 第二章第二章 离散时间信号与系统分析基础离散时间信号与系统分析基础 一 一 连续时间信号取样与取样定理连续时间信号取样与取样定理 计算题 计算题 1 过滤限带的模拟数据时 常采用数字滤波器 如图所示 图中T表示采样周期 假设T足 够小 足以防止混迭效应 把从 tytx到 的整个系统等效为一个模拟滤波器 a 如果 kHzTradnh101 8 截止于 求整个系统的截止频率 b 对于 kHzT201 重复 a 的计算 采样 T nh nx tx ny D A 理想低通 T c ty 解 a 因为当0 8 j eHrad时 在数 模变换中 1 1 T j X T jX T eY aa j 所以 nh得截止频率 8 c 对应于模拟信号的角频率 c 为 8 T c 因此 Hz T f c c 625 16 1 2 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为 T 因此对 T8 没有影响 故整个系统的截止频 率由 j eH决定 是 625Hz b 采用同样的方法求得kHzT201 整个系统的截止频率为 Hz T fc1250 16 1 二 二 离散时间信号离散时间信号与系统频域分析与系统频域分析 计算题 计算题 1 设序列 nx 的傅氏变换为 j eX 试求下列序列的傅里叶变换 1 2 nx 2 nx 共轭 解 1 2 nx 由序列傅氏变换公式 DTFT n njj enxeXnx 可以得到 DTFT 2 2 2 nj nn jn enxenxnx 为偶数 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 22 2 2 2 2 2 jj jj nj nn jn nj n n eXeX eXeX enxenx enxnx 2 nx 共轭 解 DTFT j nn jnjn eXenxenxnx 2 计算下列各信号的傅里叶变换 a 2nu n b 2 4 1 nu n c 24 n d n n 2 1 解 a 0 2 2 n njnnj n n eenuX j n n j e e 2 1 1 1 2 1 0 b 2 4 1 2 4 1 n njnnj n n eenuX j j m m jm e e e 4 1 1 16 4 1 2 0 2 2 c 2 24 j n njnj n eenenxX d 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 jj nj n n ee eX 利用频率微分特性 可得 22 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 j j j j e e e e d Xd jX 3 序列 nx 的傅里叶变换为 jw eX 求下列各序列的傅里叶变换 1 nx 2 Re nx 3 nnx 解 1 jw n njw n jwn eXenxenx 2 n jwjwjwn n jwn eXeXenxnxenx 2 1 2 1 Re 3 dw edX jenx dw d j dw endx j ennx jw n jwn n jwn n jwn 1 4 序列 nx 的傅里叶变换为 jw eX 求下列各序列的傅里叶变换 1 nx 2 Im nxj 3 2 nx 解 1 jw n nwj n nwj n jwn eXenxenxenx 2 2 1 2 1 2 1 2 1 jwjw n nwjjw nn jwnjwnjwn n eXeX enxeX enxenxenxnx 3 2 1 2 1 2 1 2 jwj wjj nn nwjj n jwn eXeX deXeX enxdeXenx 5 令 nx 和 jw eX 表示一个序列及其傅立叶变换 利用 jw eX 表示下面各序列的傅立 叶变换 1 2 nxng 2 为奇数 为偶数 n nnx ng 0 2 解 1 为偶数k k w k j n jnw n jnwjw ekxenxengeG 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 22 2 2 2 2 22 2 w j w j w j w j k w jk w j k w jk j k w jk k w k j k eXeX eXeX ekxeX eekxekx ekxkx 2 2 222wj r wjr r rwj n jnwjw eXerxergengeG 6 设序列 nx 傅立叶变换为 jw eX 求下列序列的傅立叶变换 1 0 nnx 0 n 为任意实整数 2 为奇数 为偶数 n nnx ng 0 2 3 2 nx 解 解 1 0 jwnjw eeX 2 2 nx n 为偶数 ng 2wj eX 0 n 为奇数 3 2 2 jw eXnx 7 计算下列各信号的傅立叶变换 1 2 3 2 1 nunu n 2 2sin 7 18 cos n n 3 其它 0 41 3 cos n n nx 解 解 1 n kn N j n enunukX 2 2 3 2 1 2 2 3 2 2 1 2 1 n kn N j n n kn N j n ee k N j k N j k N j k N j e e e e 2 2 2 2 2 3 2 1 1 4 1 2 1 1 8 k N j k N j k N j e e e 2 2 5 5 2 3 2 1 1 2 1 1 8 2 假定 7 18 cos n 和 2sin n的变换分别为 1 kX和 2 kX 则 k kk N kk N kX 2 7 182 2 7 182 1 k kk N kk Nj kX 22 2 22 2 2 所以 21 kXkXkX k kk N jkk N jkk N kk N 22 22 2 2 7 182 2 7 182 3 4 4 2 3 cos n k N jn nekX 4 4 2 33 2 1 n k N jnnjnj eee 9 0 2 3 3 2 4 9 0 2 3 3 2 4 2 1 2 1 n n N jk N j n nk N jk N j eeee 2 3 2 3 3 2 4 2 3 2 3 3 2 4 1 1 2 1 1 1 2 1 99 k N j k N j k N j k N j k N j k N j e e e e e e 8 求下列序列的时域离散傅里叶变换 nx Renx 0 nx 解 jnj eXenxnx 2 1 2 1 Re j e jjnj eXeXeXenxnxnx Im 2 1 0 jnjj eXjenxnxenx 三 三 离散时间系统系统函数离散时间系统系统函数 填空题 填空题 1 设 zH 是线性相位 FIR 系统 已知 zH 中的 3 个零点分别为 1 0 8 1 j 该系统阶 数至少为 解 由线性相位系统零点的特性可知 1 z的零点可单独出现 8 0 z的零点需成对出现 jz 1的零点需 4 个 1 组 所以系统至少为 7 阶 简答题 简答题 2 2 何谓最小相位系统 最小相位系统的系统函数 min ZH 有何特点 解 一个稳定的因果线性移不变系统 其系统函数可表示成有理方程式 N k k k M r r r Za Zb ZQ ZP ZH 1 0 1 他的所有极点都应在单位圆内 即1 k 但零点 可以位于 Z 平面的任何地方 有些应用中 需要约束一个系统 使它的逆系统 1 ZH ZG 也是稳定因果的 这就需要 ZH的零点也位于单位圆内 即1 r 一 个稳定因果的滤波器 如果它的逆系统也是稳定因果的 则称这个系统是最小相位 等价的 我们有如下定义 定义 一个有理系统函数 如果它的零点和极点都位于单位圆内 则有最小相位 一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值 jw eH唯一确定 从 jw e求 ZH的过 程如下 给定 jw e 先求 2 jw e 它是 cos kw的函数 然后 用 2 1 kk ZZ 替代 cos kw 我们得到 1 ZHZHZG 最后 最小相位系统由单位圆内的 ZG的极 零点形成 一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积 即 min ZHZHZH ap 完成这个因式分解的过程如下 首先 把 ZH的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内 的共轭倒数点 这样形成的系统函数 min ZH是最小相位的 然后 选择全通滤波器 ZHap 把与之对应的 min ZH中的零点映射回单位圆外 3 何谓全通系统 全通系统的系统函数 ZHap 有何特点 解 一个稳定的因果全通系统 其系统函数 ZHap对应的傅里叶变换幅值1 jw eH 该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现 即 N k k k N k k k M r r r ap Z Z Za Zb ZQ ZP ZH 1 1 1 1 0 1 1 因而 如果在 k Z 处有一个极点 则在其共轭倒数点 k Z 1 处必须有一个零点 4 有一线性时不变系统 如下图所示 试写出该系统的频率响应 系统 转移 函数 差 分方程和卷积关系表达式 nh nx ny 解 频率响应 njj enheH 系统函数 n ZnhZH 差分方程 1 ZX ZY Z 卷积关系 nxnhny 第三章第三章 离散傅立叶变换离散傅立叶变换 一 一 离散傅立叶级数离散傅立叶级数 计算题 计算题 1 如果 nx 是一个周期为N的周期序列 那么它也是周期为2N的周期序列 把 nx 看 作周期为N的周期序列有 1 kXnx 周期为N 把 nx 看作周期为2N的周期序列 有 2 kXnx 周期为2N 试用 kX1 表示 kX2 解 1 0 1 0 2 1 N n N n kn N j kn N enxWnxkX n k N j N Nn N n N n n k N j kn N enxenxWnxkX 2 2 1212 0 1 0 2 2 22 对后一项令Nnn 则 1 0 1 0 2 2 2 2 2 N n N n Nn k N jn k N j eNnxenxkX 2 1 1 1 0 2 2 k Xe enxe jk N n n k N j jk 所以 0 2 2 1 2 k X kX 为奇数 为偶数 k k 二 二 离散傅立叶变换定义离散傅立叶变换定义 填空题填空题 2 某 DFT 的表达式是 1 0 N k kl M WkxlX 则变换后数字频域上相邻两个频率样点之 间的间隔是 解 M 2 3 某序列DFT的表达式是 1 0 N k kl M WkxlX 由此可看出 该序列的时域长度是 变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 解 N M 2 4 如 果希望 某信 号序 列的离 散谱 是实偶的 那么 该时 域序列应 满足条 件 解 纯实数 偶对称 5 采样频率为HzFs的数字系统中 系统函数表达式中 1 z代表的物理意义是 其中时域数字序列 nx的序号n代表的样值实际位置是 nx的N点 DFT kX 中 序号k代表的样值实际位置又是 解 延时一个采样周期FT1 FnnT k N k 2 6 用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样 为进行频谱分析 计算了512点的DFT 则频域 抽样点之间的频率间隔 f 为 数字角频率间隔 w 为 和模拟角频率间隔 解 15 625 0 0123rad 98 4rad s 判断说明题判断说明题 7 一个信号序列 如果能做序列傅氏变换对它进行分析 也就能做DFT对它进行分析 解 错 如果序列是有限长的 就能做 DFT 对它进行分析 否则 频域采样将造成时域信 号的混叠 产生失真 计算题计算题 8 令 kX 表示N点的序列 nx 的N点离散傅里叶变换 kX 本身也是一个N点的序 列 如果计算 kX 的离散傅里叶变换得到一序列 1 nx 试用 nx 求 1 nx 解 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 N n N k nnk N nk N N k N n nk N N k nk N WnxWWnxWkXnx 因为 1 0 0 N k nnk N N W 其他 Nlnn 所以 1 1 N n NN nRnNxNlnNxnx 9 序列 0 0 1 1 nx 其4点DFT kx 如下图所示 现将 nx 按下列 1 2 3 的方法扩展成8点 求它们8点的DFT 尽量利用DFT的特性 nx n kX k 1 4 1 nx nx ny 7 4 3 0 n n 2 0 2 nx ny 7 4 3 0 n n 3 0 2 3 n x ny 奇数 偶数 n n 解 1 012 30 22 1 1 kY kkXkY 2 30 70 2 2 11 1 12 kkkkkX k XkY 3 4mod 30 70 11 4113 kkkk kXkXkY 10 设 nx是一个 2N 点的序列 具有如下性质 nxNnx 另设 1 nRnxnx N 它的 N 点 DFT 为 1 kX 求 nx的 2N 点 DFT kX和 1 kX的关系 解 2 2 1 k XkX推导过程略 11 试求以下有限长序列的N点DFT 闭合形式表达式 1 nRanx N n 2 nnRnx N 解 1 因为 nRanx N n 所以 k N j N N n nk N j n ae a eakX 2 1 0 2 1 1 2 由 nnRnx N 得 1 0 N n N nk N kRnWkX 1 0 1 N n N kn N k N kRnWkXW 1 0 1 1 0 1 N n N kn N N n nk N k N kRnWnWWkX 1 1 2 2 1 32 1 1 1 32 1 32 kRWN kRNWNWWWNWWW N N n nk N N kN N k N k N kN N k N k N k N 1 1 1 kNRkR W W N NN k N k N 所以 1 kR W N kX N k N 12 计算下列序列的N点DFT 116 P 1 10 Nnanx n 2 nx nm N 2 cos Nn 0 Nm 0 解 1 k N N k N NK N N N n nk N n aW a aW Wa WakX 1 1 1 1 1 0 10 Nk 2 1 0 222 1 0 2 12 cos N n nk N jmn N jmn N j N n nk N eeeWmn N kX 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 mk N j mkj mk N j mkj e e e e 1 1 2 1 mk N N j mk N jmk N j mkjmkj mk N N j mk N jmk N j mkjmkj e ee ee e ee ee 1 1 sin sin sin sin 2 1 mk N N jmk N N j e N mk mk e N mk mk 2 N k m 或 k m 0 其它 13 已知一个有限长序列 5 2 nnnx 1 求它的 10 点离散傅里叶变换 kX 2 已知序列 ny的 10 点离散傅立叶变换为 2 10 kXWkY k 求序列 ny 3 已知序列 nm的 10 点离散傅立叶变换为 kYkXkM 求序列 nm 解 1 1 0 9 0 10 5 2 N nn nknk N WnnWnxkX 1 2 k W 5 10 1 2 kj e 5 10 2 1 2 k 1 9 1 0 k 2 由 2 10 kXWkY k 可以知道 ny是 nx向右循环移位 2 的结果 即 7 2 2 2 10 nnnxny 3 由 kYkXkM 可以知道 点循环卷积 的与是10 nynxnm 一种方法是先计算的线性卷积与 nynx l lnylxnynxnu 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 1 0 0 然后由下式得到 10 点循环卷积 7 4 2 50 0 4 0 0 0 0 5 0 0 10 10 nnnRlnunm l 另一种方法是先计算 ny的 10 点离散傅立叶变换 kk n nk N n nk N WWWnnWnykY 7 10 2 10 9 0 10 1 0 2722 再计算乘积 kkk WWWkYkXkM 7 10 2 10 5 10 221 kkkk WWWW 12 10 7 10 7 10 2 10 422 kk WW 7 10 2 10 45 由上式得到 7425 nnnm 14 1 已知序列 10 2 sin Nnn N nx 求 nx的 N 点 DFT 2 已 知 序 列 2 1 01 0 n nx 其它 则 nx的9点DFT是 8 2 1 0 9 sin 3 sin 9 2 k k k ekX kj 正确否 用演算来证明你的结论 345 P 解 1 kX kn N j N n en N 2 1 0 2 sin 1 0 222 2 1 N n kn N jn N jn N j eee j 1 0 1 2 1 2 2 1 N n nk N jnk N j ee j 1 2 k N j 1 2 k N j 0 其它 2 kjkjkj kjkjkj kj kj n knj eee eee e e ekX 999 333 9 2 9 6 2 0 9 2 1 1 8 1 0 9 sin 3 sin 9 2 K k k e kj 可见 题给答案是正确的 15 一个 8 点序列 nx的 8 点离散傅里叶变换 kX如图 5 29 所示 在 nx的每两个取样 值之间插入一个零值 得到一个 16 点序列 ny 即 2 n x n为偶数 ny 0 n为奇数 1 求 ny的 16 点离散傅里叶变换 kY 并画出 kY的图形 2 设 kX的长度 N 为偶数 且有1 2 1 0 1 N kkNXkX 求 2 N x 01234 567 1 kX 1 2 3 4 解 1 因 n 为奇数时0 ny 故 14 2 0 16 15 0 16 2 n nk n nk W n xWnykY 7 0 8 m mk Wmx 150 k 另一方面 其它 0 70 7 0 8 kWmx kX m mk 因此 其它 0 158 8 7 0 8 8 kWmx kX m km 其它 0 150 7 0 8 kWmx m mk 所以 kY 其它 0 150 7 0 8 kWmx m mk 其它 0 158 8 70 kkX kkX 按照上式可画出 kY的图形 如图 5 34 所示 16 计算下列有限长序列 nx 的DFT 假设长度为N 1 n anx 10 Nn 2 1 3 2 1 nx 解 1 1 0 1 0 N n n k N N n nk N n aWWakX k N N k N N k N aW a aW aW 1 1 1 1 10 Nk 2 3 0 4 n nk WnxkX 1 0 1 2 3456 7 8 9 k 2 kY kkk kkk WWW WWWW 3 424 3 4 2 44 0 4 321 32 kkk jj 1 3 21 30 k 17 长度为 8 的有限长序列 nx的 8 点 DFT 为 kX 长度为 16 的一个新序列定义为 2 nx 14 2 0 n ny 0 15 3 1 n 试用 kX来表示 nyDFTkY 解 15 0 16 n nk WnykY 7 0 12 16 7 0 2 16 12 2 r kr r rk WryWry 7 0 8 r rk Wrx 15 1 0 k 而 7 0 8 n nk WnxkX 7 1 0 k 因此 当7 1 0 k时 kXkY 当15 9 8 k时 令 7 1 0 8 llk 得 到 8 7 0 8 7 0 8 8 lXWrxWrxlY r rl r lr 即 8 kXkY 于是有 kX 7 1 0 k kY 8 kX 15 9 8 k 18 30 4 21 1 02 n Nn n nx若试 计 算 nx 的 离 散 傅 里 叶 变 换 kX 的 值 3 2 1 0 k 解 14 0 k kn N WkxnX 所以 50122 0 000 3 0 NNN k kn N WWWWkxX j jjj NNN k kn N eeeeWWWWkxX 2 2 4 2 4 2 210 3 0 22220122 1 2420 3 0 220122 2 jj NNN k kn N eeWWWWkxX 3 2 3 630 3 0 220122 3 j j NNN k kn N eeWWWWkxX 证明题 证明题 19 设 kX表示长度为 N 的有限长序列 nx的 DFT 1 证明如果 nx满足关系式 1 nNxnx 则0 0 X 2 证明当 N 为偶数时 如果 1 nNxnx 则0 2 N X 解 1 1 2 1 2 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 N N n N n N n N n N N n nk N nNxnxnxWnxX WnxkX 令mnN 1 0 1 2 1 2 0 0 N n N n mxnxX 显然可得 0 0 X 2 1 0 1 0 1 2 N n n N n jk nxenx N X 将 n 分为奇数和偶数两部分表示 1 2 0 12 1 2 0 2 1 12 1 2 N r r N r r rxrx 1 2 0 1 2 0 12 2 N r N r rxrx 1221 12 21 1 2 0 1 2 0 krNrxrNx N r N r 令 1 2 0 0 2 12 12 N r N k rxrx 显然可得 0 2 N X 简答题 简答题 21 在离散傅里叶变换中引起混迭效应的原因是什么 怎样才能减小这种效应 解 因为为采样时没有满足采样定理 减小这种效应的方法 采样时满足采样定理 采样前进行滤波 滤去高于折叠频率2 s f的 频率成分 22 试说明离散傅里叶变换与Z变换之间的关系 解 离散傅立叶变换是 Z 变换在单位圆上的等间隔采样 三 三 离散傅立叶变换性质离散傅立叶变换性质 填空题 填空题 1 已知序列 3 2 1 0 1 3 2 2 kkx 序列长度 4 N 写出序列 2 4 kRkx N 的值 解 3 2 1 0 1 2 2 33 2 1 0 3 0 1 2 2 4 kkxxxxkRkx N 2 已知 4 3 2 1 0 0 1 1 0 1 4 3 2 1 0 1 2 3 2 1 knhknx 则 nx 和 nh 的 5 点循环卷积为 解 3 2 kkkkxkhkx 4 3 2 1 0 2 3 3 1 0 3 2 55 kkxkxkx 3 已知 3 2 1 0 1 1 2 4 3 2 1 0 2 0 2 3 knhknx 则 nhnx和 的 4点循环卷积为 解 7 3 4 6 2 0 2 3 4211 1421 1142 2114 3 2 1 0 0 1 2 3 3 0 1 2 2 3 0 1 1 2 3 0 x x x x hhhh hhhh hhhh hhhh 证明题 证明题 4 试证N点序列 nx 的离散傅立叶变换 kX 满足Parseval恒等式 2 1 0 2 1 0 1 N m N k kX N nx 证 1 0 2 1 0 1 1 N m N m mXmX N mX N 2 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 N k N k N m mk N N k N m N k mk N kxkxkx WmX N kx WkxmX N 5 nXkx和 是一个离散傅里叶变换对 试证明离散傅里叶变换的对称性 1 nxkX N 证明略 6 nx 长为N的有限长序列 nxnx oe 分别为 nx 的圆周共轭偶部及奇部 也 即 2 1 nNxnxnNxnx ee 2 1 nNxnxnNxnx oo 证明 Im Re KXjnxDFT KXnxDFT o e 证 2 1 2 1 Nee nxnxnNxnxnNxnx Re 2 1 kXkXkX 2 1 2 1 Noo nxnxnNxnxnNxnx Im 2 1 kXjkXkX 7 若 N kNxnXDFTkXnxDFT 求证 证 1 0 1 N k kn N WkX N nx 1 1 0 N k kn N WnxkX 2 由 2 1 0 N k kn N WnxkX 将nk与互换 则有 1 0 N n kn N WkxnX 这应该是反变换公式 1 0 1 N k kn N WkNx N 用kk 代替 且求和取主值区 1 0 1 N k nk N WkNx N 与 1 比较 所以 N kNxnX 8 若 kXIDFTnx 求证 1 nRnX N kxIDFT NN 证 1 0 1 N k kn N Wkx N kxIDFS 1 0 1 0 2 1 0 1 0 1 11 N r N r nrk N N k kn N N r rk N WrX N WWrX NN 而 N lNnr 1 0 N k nrk N W l为整数 0 lNnr 所以 1 1 2 nX N NnlNX N kxIDFS 于是 1 1 nRnX N nRnX N kxIDFT NNN 9 令 kX表示 N 点序列 nx的 N 点 DFT 试证明 a 如果 nx满足关系式 1 nNxnx 则0 0 X b 当 N 为偶数时 如果 1 nNxnx 则0 2 N X 证 1 0 N n nk N WnxkX 1 1 0 Nk a 1 0 0 N n nxX N 为偶数 1 2 0 1 2 0 1 0 N n N n nNxnxX 0 1 1 2 0 1 2 0 N n N n nxnx nNxnx N 为奇数 2 1 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 N xnNxnxX N n N n 2 1 0 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 0 1 2 1 0 N x N x nxnx N x nNxnx N x N n N n 而 nx中间的一项应当满足 2 1 2 1 1 2 1 n x N Nx N x 因此必然有 0 2 1 n X 这就是说 当 N 为奇数时 也有0 0 X b 当 N 为偶数 1 0 1 0 2 1 2 N n n N n N n N nxWnx N X 1 2 0 1 1 2 0 1 2 0 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 N n nN N n n N n nN N n n nxnx nNxnx 当 N 为偶数时 1 N为奇数 故1 1 1 N 又由于 1 1 nn 故有 0 1 1 2 1 2 0 1 2 0 N n n N n n nxnx N X 10 设 kXnxDFT 求证 nNNxkXDFT 解解 因为 nk N nNk N WW 根据题意 1 0 1 N k nk N WkX N nx 1 0 N k nNk N WkXnNNx 因为 nk N nNk N WW 所以 1 0 kXD FTWkXnNNx N k kn N 11 证明 若 nx为实偶对称 即 nNxnx 则 kX也为实偶对称 解 根据题意 1 0 N n nk N WnxkX 的周期性质再利用 nk N N n kn N WWnNx 1 0 1 0 N n kNnN N WnNx 下面我们令mnN 进行变量代换 则 1 Nm mkN N WmxkX 又因为 nx为实偶对称 所以0 0 Nxx 所以 0 0 0 0 kN N mkN N kN N WxWNxWx 可将上式写为 0 1 0 kN N mkN N N m WxWmxkX N m mkN N Wmx 0 NkN N N m mkN N WNxWmx 0 1 0 N m mkN N Wmx 所以 1 0 kNXWmxkX N m mkN N 即证 注意 若 nx为奇对称 即 nNxnx 则 kX为纯虚数并且奇对称 证明方法 同上 计算题 计算题 12 已知 30 1 30 1 nnynnnx n 用圆周卷积法求 nx和 ny的 线性卷积 nz 解 4 3 2 1 nx 30 n 1 1 1 1 ny 30 n 因为 nx的长度为4 1 N ny的长度为4 2 N 所以 nynxnz 的长度为71 21 NNN 故应求周期7 N的圆周卷 积 nynx 的值 即 1 0 nRmnymxnynxnz N N m 所以 60 4 1 3 2 2 1 1 nnynxnz 13 序列 3 2 1 为na 序列 1 2 3 为nb 1 求线性卷积 nbna 2 若用基 2 FFT 的循环卷积法 快速卷积 来得到两个序列的线性卷积运算结果 FFT 至少应取多少点 解 1 n mnbmanbnanw 所以 3 8 14 8 3 nbnanw 40 n 2 若用基 2FFT 的循环卷积法 快速卷积 来完成两序列的线性卷积运算 因为 na的 长度为3 1 N 所以 nbna 得长度为51 21 NNN 故 FFT 至少应取823 点 14 有限长为 N 100 的两序列 0 1 nx 9911 100 n n 1 0 1 ny 9990 891 0 n n n 做出 nynx示意图 并求圆周卷积 nynxnf 及做图 解 nynx示意图略 圆周卷积 nynxnf 90100 90 101 91 92 92 83 93 74 94 65 95 56 96 47 97 38 98 29 99 110 011 n n n n n n n n n n n n nf 15 已知 nx是长度为 N 的有限长序列 nxDFTkX 现将 nx的每两 点之间补进1 r个零值 得到一个长为rN的有限 长序列 ny 0 r n x ny 1 1 0 1 1 0 Niirn Niirn 求 DFT ny 与 kX的关系 解 因为 0 1 0 N l lk N Wlx kX 10 Nk kn rN N rrl rN n kn rN W r n xWnykY 1 2 0 1 0 令 l r n 1 0 1 2 0 0 1 r m N rrl lk N mNkX NrkX NkX kX Wlx 10 1 1 12 10 10 rNk rNkNr NkN Nk rNk 其他 16 已知 nx是 N 点有限长序列 nxDFTkX 现将长度变成rN点的有限长序 列 ny 0 nx ny 1 10 rNnN Nn 试求rN点 DFT ny 与 kX的关系 解 由10 1 0 2 NkenxnxDFTkX N n nk N j 可得 1 0 1 0 N n nk rN rN n nk rN WnxWnynyDFTkY 1 1 0 1 0 2 Nllrk r k Xenx N n r k n N j 所以在一个周期内 kY的抽样点数是rkX的 倍 相当于在 kX的每两个值之间插 入1 r个其他的数值 不一定为零 而当rk为的整数l倍时 r k XkY与 相等 17 已知 nx是 N 点有限长序列 nxDFTkX 现将 nx的每两点之间补进1 r 个零值点 得到一个rN点的有限长序列 ny 0 rnx ny n Niirn 其他 1 1 0 试求rN点 DFT ny 与 kX的关系 解 由10 1 0 NkWnxnxDFTkX N n nk N 可得 1 0 rN n nk rN WnynyDFTkY 10 1 0 1 0 rNkWixWrirx N n ik N N i irk rN 而 kRkXkY rNN 所以 kY是将 kX 周期为 N 延拓r次形成的 即 kY周期为rN 18 已知序列 3 2 2 1 3 4 nnnnnx 和它的 6 点离散傅立叶变换 kX 1 若有限长序列 ny的 6 点离散傅立叶变换为 4 6 kXWkY k 求 ny 2 若有限长序列 nu的 6 点离散傅立叶变换为 kX的实部 即 Re kXkU 求 nu 3 若有限长序列 nv的 3 点离散傅立叶变换 2 kXkV 2 1 0 k 求 nv 解 1 由 4 6 kXWkY k 知 ny是 nx向右循环移位 4 的结果 即 6 4 nxny 1 2 5 3 4 4 nnnn 2 5 0 6 3 2 2 1 3 4 n nk WnnnnkX kkk WWW 3 6 2 66 234 kkk WWWkX 3 6 2 66 234 2 1 RekXkXkX kkkkkk WWWWWW 3 6 2 66 3 6 2 66 234234 2 1 kkkKkk WWWWWW 3 6 4 6 5 6 3 6 2 66 23238 2 1 kkkkk WWWWW 5 6 4 6 3 6 2 66 322238 2 1 由上式得到 5 2 3 4 3 2 1 2 3 4 nnnnnnnu 3 5 3 3 2 0 3 5 0 5 0 3 2 6 2 n nk n nk nn nknk WnxWnxWnxWnxkX 2 1 0 3 3 3 2 0 3 2 0 3 3 3 2 0 3 2 0 3 3 2 0 3 kWnxnx WnxWWnx WnxWnx n nk n nkk n nk n nk n nk 由于 2 2 0 3 kXWnvkV n nk 2 1 0 3 2 0 3 kWnxnx n nk 所以 2 1 0 3 nnxnxnv 即 2 5 2 2 3 4 1 1 5 3 0 0 xxv xxv xxv 或 2 2 1 3 5 nnnnv 19 令 kX表示 N 点的序列 nx的 N 点离散傅里叶变换 kX本身也是一个 N 点的序 列 如果计算 kX的离散傅里叶变换得到一序列 1 nx 试用 nx求 1 nx 解 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 N n N k nnk N nk N N k N n nk N N k nk N WnxWWnxWkXnx 因为 1 0 0 N k nnk N N W 其他 Nlnn 所以 1 1 N n NN nRnNxNlnNxnx 20 为了说明循环卷积计算 用 DFT 算法 分别计算两矩形序列 nRnx N 的卷积 如果 6 nRnx 求 1 两个长度为 6 点的 6 点循环卷积 2 两个长度为 6 点的 12 点循环卷积 解 这是循环卷积的另一个例子 令 其他0 101 21 Ln nxnx 图 3 6 中6 L N 定义为 DFT 长度 若LN 则 N 点 DFT 为 其他0 0 1 0 21 kN WkXkX N n kn N n 1 nx N 1 a 如果我们将 1 kX和 2 kX直接相乘 得 其他0 0 2 213 kN kXkXkX 由此可得 Nnx 3 10 Nn 这个结果绘在图 3 6 中 显然 由于序列 N mnx 2 是对于 1 mx旋转 则乘积 N mnxmx 21 的和始终等于 N 当然也可以把 1 nx和 2 nx看作是 2L 点循环卷积 只要给他们增补 L 个零即可 若我们 计算增长序列的 2L 点循环卷积 就得到图 3 7 所示序列 可以看出它等于有限长序列 1 nx 和 2 nx的线性卷积 注意如图 3 7 所 LN2 时 k N Lk N W W kXkX 1 1 21 所以图 3 7 e 中矩形序列 3 nx的 DFT 为 LN2 2 3 1 1 k N Lk N W W kX 循环卷积的性质可以表示为 2121 kXkXnxnx DFT 考虑到 DFT 关系的对偶性 自然两个 N 点序列乘积的 DFT 等于他们对英的离散傅里叶变换 的循环卷积 具体地说 若 213 nxnxnx 则 1 0 213 1 N l N lkXlX N kX 或 1 2121 kXkX N nxnx DFT 21 设 nx是一个 2N 点序列 具有如下性质 nxNnx 10 Nn 另设 1 nRnxnx N 它的 N 点 DFT 为 1 kX 求 nx得 2N 点 DFT kX和 1 kX的关系 答案 2 2 1 k XkDFTX 22 已知某信号序列 2 1 2 3 kf 2 4 3 2 kh 试计算 1 kf和 kh的循环卷积和 khkf 2 kf和 kh的线性卷积和 khkf 3 写出利用循环卷积计算线性卷积的步骤 答案 1 3 21 2 20 1 13 6 khkhkhkhky 2 6 4 5 10 4 14 3 21 2 20 1 13 6 khkhkh khkhkhkhky 3 略 23 如图表示一个5点序列 nx 1 试画出 nxnx 2 试画出 5 nxnx 01234 1 2 3 nx 解 01234 1 2 3 n nxnx 5678 1 4 2 10 4 13 69 0 12 3 4 5 13 10 1110 5 nxnx 简答题 简答题 24 试述用DFT计算离散线性卷积的方法 解 计算长度为 M N 两序列的线性卷积 可将两序列补零至长度为 M N 1 而后求补零后两 序列的 DFT 并求其乘积 最后求乘积后序列的 IDFT 可得原两序列的线性卷积 25 已知 kYkX 是两个N点实序列 nynx 的DFT值 今需要从 kYkX 求 nynx 的值 为了提高运算效率 试用一个N点IFFT运算一次完成 解 依据题意 kYnykXnx 取序列 kjYkXkZ 对 kZ作 N 点 IFFT 可得序列 nz 又根据 DFT 性质 njynxkYjIDFTkXIDFTkjYkXIDFT 由原题可知 nynx 都是实序列 再根据 njynxnz 可得 Im Re nzny nznx 四 四 频域取样频域取样 填空题 填空题 1 从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号 采用的方法 从时 域角度看是 从频域角度看是 解 采样值对相应的内插函数的加权求和加低通 频域截断 2 由频域采样 kX 恢复 j eX 时可利用内插公式 它是用 值对 函数加权后求和 解 kX 内插 3 频域N点采样造成时域的周期延拓 其周期是 解 NT 频域采样点数 N时域采样周期T 简答题 简答题 4 已知有限长N序列 nx 的z变换为 zX 若对 zX 在单位圆上等间隔抽样M点 且 NM 试分析此M个样点序列对应的 IDFT 1 nx 与序列 nx 的关系 解 如果 1 1 0 2 1 MmzXmX m M j ez 即 1 mX是 zX在 单 位 圆 上M点 等 间 隔 抽 样 根 据 频 域 抽 样 定 理 则 存 在 l M kRlMkxmXIDFTkx 11 上式表明 将序列 kx以M为周期进行周期延拓 取其主值区间 10 M 上的值 即 得序列 1 kx 由于NM 故在对 kx以M为周期进行周期延拓时 必然存在重叠 5 FFT算法的基本思想是什么 解 答案略 6 简述时域取样定理和频域取样定理的基本内容 解 答案略 计算题 计算题 7 设 nx 是长度为M的有限长序列 其Z变换为 1 0 M n n ZnxZX 今 欲 求 ZX 在 单 位 圆 上 N 个 等 距 离 点 上 的 采 样 值 k ZX 其 中 1 1 0 2 NkeZ k N j k 解答下列问题 用一个N点的FFT来算出全部的值 1 当 MNMN 和 时 写出用一个N点FFT分别算出 k ZX 的过程 2 若求 k ZX 的IDFT 说明哪一个结果和 nx 等效 为什么 解 1 MN 对序列 nx末尾补零至 N 个点得序列 nx 计算 nx的 N 点 FFT 即可得到 k ZX MN 时 对序列 nx以 N 为周期进行周期延拓得到一个新的序列 nx 求序列 nx 的前 M 点的 FFT 即可得 k ZX 2 MN 时得到的结果与 nx等效 因为其满足频域取样定理 8 已知 10 anuanx n 今对其 z 变换 zX 在单位圆上等分采样 采样值为 k N Wz zXkX 求有限长序列 IDFT kX 解 方法一 1 1 1 az zX k N N Nk NWz Wz aW a aaWaz zXkX k N k N 1 1 1 1 1 1 1 1 1 kn N N n n N n N n k N N Wa a aW a 1 0 1 0 1 1 1 1 IDFT 1 1 nRa a kX N n N 方法二 1 0 1 1 az zazX n nn l kl N l Wz l ll Wz WluazazXkX k N k N 0 1 0 1 0 1 1 1 N Kl nk N kl N l N K nk N WWlua N WkX N nx交换求和次序 l N k nlk N l Wlua N 1 0 1 因为 0 1 0 N W N k nlk N mNnl mNnl 2 1 0 m 所以 m mNnxnx 1 10 Nn 00 m mNn m mNn aamNnua 10 Nn 1 1 nRa a N n N 9 研究一个长度为 M 点的有限长序列 nx n Mnnx nx 其他 0 10 我们希望计算求 z 变换 1 0 M n n znxzX 在单位圆上 N 个等间隔点上的抽样 即在 1 1 0 2 Nkez k N j 上的抽样 当MN 时 试找出只用一个 N 点 DFT 就能计算 zX的 N 个抽样的方法 并证明之 解 若MN 可将 nx补零到 N 点 即 1 0 10 0 NnM Mnnx nx 则 10 1 0 2 0 2 NkenxeX N n nk N jk N j 10 对有限长序列 1 0 1 1 0 1 nx的 Z 变换 zX在单位圆上进行 5 等份取样 得到取样 值 kX 即 4 3 2 1 0 5 kzXkX k Wz 求 kX的逆傅里叶变换 1 nx 解 k Wz n n zXkX zzzznxzX 5 1 532 5 0 4 0 51 3 5 2 5 5 5 3 5 2 5 21 n kn Wnx WWWWW 0 1 1 0 2 1 nx 11 设如图所示的序列 nx的 Z 变换为 zX 对 zX在单位圆上等间隔的 4 点上取样得 到 kX 即 3 2 1 0 4 2 kzXkX kj ez 试求 kX的 4 点离散傅里叶逆变换 1 nx 并画出 1 nx的图形 379 P 01234 567 1 2 1 nx 解 因为对 zX在单位圆上等间隔的 4 点上取样 将使 nx以 4 为周期进行周期延拓 所 以 r rnxnx 4 1 根据上式可画出 1 nx的图形 如下图所示 01234 567