数学人教版八年级下册勾股定理的应用.doc

勾股定理的应用教学设计 吉林省公主岭市吉林省公主岭市 大岭镇中学校大岭镇中学校 王雪王雪 勾股定理的应用 第一课时 教学目标教学目标 1 知识与技能目标 能运用勾股定理及直角三角形的判别条件 即勾股定理的逆定理 解决简单的实 际问题 2 过程与方法目标 1 学会观察图形 勇于探索图形间的关系 培养学生的空间观念 2 在将实际问题抽象成几何图形过程中 提高分析问题 解决问题的能力及渗 透数学建模的思想 3 情感态度与价值观目标 1 通过有趣的问题提高学习数学的兴趣 2 在解决实际问题的过程中 体验数学学习的实用性 体现人人都学有用的数 学 教学重点难点 教学重点难点 重点 探索 发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理 并用它们解决生活 实际问题 难点 利用数学中的建模思想构造直角三角形 利用勾股定理及逆定理 解决 实际问题 教学过程 1 创设问题情境 引入新课 前几节课我们学习了勾股定理 你还记得它有什么作用吗 在直角三角形 ABC 中 已知 AB AC BC 中的任意两边可以求出第三边的长 若直角三角形的三边长分别为 2 4 x 则 x 的值是多少 2 讲授新课 1 甲 乙两位探险者到沙漠进行探险 某日早晨 8 00 甲先出发 他以 6 km h 的速度向正东行走 1 时后乙出发 他以 5 km h 的速度向正北行走 上午 10 00 甲 乙两人相距多远 B C A 分析 首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型 解 如图 根据题意 可知 A 是甲 乙的出发点 10 00 时甲到达 B 点 则 AB 2 6 12 千米 乙到达 C 点 则 AC 1 5 5 千米 在 Rt ABC 中 BC2 AC2 AB2 52 122 169 132 所以 BC 13 千米 即甲 乙两人相 距 13 千米 2 在我国古代数学著作 九章算术 中记载了一道有趣的问题 这个问题 的意思是 有一个水池 水面是一个边长为 10 尺的正方形 在水池正中央有一 根新生的芦苇 它高出水面 1 尺 如果把这根芦苇垂直拉向岸边 它的顶端恰好 到达岸边的水面 请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少 我们可以将这个实际问题转化成数学模型 解 如图 设水深为 x 尺 则芦苇长为 x 1 尺 由勾股定理可求得 x 1 2 x2 52 x2 2x 1 x2 25 解得 x 12 则水池的深度为 12 尺 芦苇长 13 尺 3 一棵与地面垂直的大树 在台风中咔嗒一下 从树中间折断了 一棵与地面垂直的大树 在台风中咔嗒一下 从树中间折断了 树断后 断了的部分到地面为树断后 断了的部分到地面为 3m 3m 树根所处地到树顶为树根所处地到树顶为 4m4m 问 大树 问 大树 原来多高 原来多高 分析 首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型 B A C D 大树的原来高度是 AB 折断之后 BC CD AB 设大树原来有设大树原来有 x x m m 则树顶到折断部分为则树顶到折断部分为 x 3x 3 m m 由勾股定理得 由勾股定理得 32 42 x 3 232 42 x 3 2 9 16 x 3 29 16 x 3 2 25 x 3 225 x 3 2 x 3 5 x 3 5 x 8x 8 3 2 20 B A 答 大树原来高答 大树原来高 8m 8m 4 一架长一架长 25m25m 的梯子斜靠在一竖直的墙上的梯子斜靠在一竖直的墙上 这时梯子的底端距墙这时梯子的底端距墙 7m7m 当梯子的顶端 当梯子的顶端 A A 沿沿 墙壁下滑墙壁下滑 4m4m 至至 C C 处时 梯子的底端处时 梯子的底端 B B 是否也向外滑动是否也向外滑动 4m 4m 说明你的理由 说明你的理由 由图可知 OB 7 AB CD 25 AC 4 在直角三角形 ABO 中 由勾股定理得 OA 24 OC OA AC 24 4 20 在直角三角形 ODC 中 由勾股定理得 222 DCODOC 222 2520 OD OD 15 BD OD OB 17 7 8 梯子的底端 B 向外滑动 8m 7m A C D 25 m 25m 5 如图 有一张直角三角形状纸片ABC 两直角边AC 6 cm BC 8 cm 现将直角边 AC沿直线AD折叠 使它落在斜边AB上 且与AE重合 你能求出CD的长吗 解 解 设CD x cm 由题意知DE x cm BD 8 x cm AE AC 6 cm 在 Rt ABC中 由勾股定理得AB 10 cm AC2 BC2 于是BE 10 6 4 cm 在 Rt BDE中 由勾股定理得 42 x2 8 x 2 解得x 3 故CD的长为 3 cm 6 如图 台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物 它怎么走最近 并求出 最近距离 222 ABOBOA 222 257 OA 解答 2222 152062525AB 7 如图 在一个圆柱石凳上 若小明在吃东西时留下了一点食物在B处 恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息 于是它想从A处爬向B处 你们想一 想 蚂蚁怎么走最近 学生分为 人活动小组 合作探究蚂蚁爬行的最短路线 充分讨论后 汇 总各小组的方案 在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法 通过具体计算 总结出最短路线 让学生发现 沿圆柱体母线剪 开后展开得到矩形 研究 蚂蚁怎么走最近 就是研究两点连线 最短问题 引导学生体会利用数学解决实际问题的方法 学生很容易算出 情形 1 中A B的路线长为 AAd 情形 2 中A B的路线长为 2 d AA 所以情形 1 的路线比情形 2 要短 学生在情形 3 和 4 的比较中出现困难 但还是有学生提出用剪刀沿 母线AA 剪开圆柱得到矩形 情形 3 A B是折线 而情形 4 是线段 故 根据两点之间线段最短可判断 4 较短 最后通过计算比较 1 和 4 即 可 如图 1 中A B的路线长为 AAd 2 中A B的路线长为 AAA B AB 3 中A B的路线长为 AO OB AB 4 中A B的路线长为 AB 得出结论 利用展开图中两点之间 线段最短解 决问题 在这个环节中 可让学生沿母线剪开圆柱体 具体观察 接下来后提问 怎样计算AB 8 如图 一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发 沿长 方体的表面爬到对角顶点C1处 三条棱长如图所示 问怎样走路线最短 最短路线长为多 少 解 解 蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点 有三种方式 分别展成平面图形如下 如图 在 Rt ABC1中 AC AB2 BC 42 32 52 25 2 12 1 故AC1 5 如图 在 Rt ACC1中 AC AC2 CC 62 12 37 2 12 1 如图 在 Rt AB1C1中 AC AB B1C 52 22 29 2 12 12 1 25 29 37 沿图 的方式爬行路线最短 最短的路线是 5 点技巧点技巧 巧展长方体 求解此类问题时只需对长方体进行部分展开 画出局部的展开图 若将长方体全部展 开 不仅没有必要反而会扰乱视线 2 圆柱体 或圆锥体 面上的两点间的最短距离 圆柱体 或圆锥体 是立体图形 从其表面看两点之间的连线绝大部分是曲线 那么怎 样确定哪一条是最短的呢 解决问题的方法是将圆柱 或圆锥 的侧面展开 转化为平面图 形 应用勾股定理解决 而不能盲目地凭感觉来确定 9 圆柱形玻璃杯高为圆柱形玻璃杯高为 12cm12cm 底面周长为 底面周长为 18cm18cm 在杯内离杯底 在杯内离杯底 4cm4cm 的点的点 C C 处有一滴处有一滴 蜂蜜 此时一只蚂蚁正好在杯外壁 离杯上沿蜂蜜 此时一只蚂蚁正好在杯外壁 离杯上沿 4cm4cm 与蜂蜜相对的点与蜂蜜相对的点 A A 处 则蚂蚁到达蜂蜜处 则蚂蚁到达蜂蜜 的最短距离为多少厘米 的最短距离为多少厘米 F D E B A CM A 由题可知 BD EF 12 AB A B CE 4 CM DE 9 A M 12 在直角三角形 A MC 中 A C 15 最短距离为 15cm 师生相互交流总结 1 解决实际问题的方法是建立数学模型求解 2 在寻求最短路径时 往往把空间问题平面化 利用勾股定理及其逆定理 解决实际问题 课堂练习课堂练习 1 轮船在大海中航行 它从 A 点出发 向正北方向航 20 遇到冰山后 又折向 东航行 15 则此时轮船与 A 点的距离为 2 学校有一块长方形花圃 有极少数人为了避开拐角走 捷径 在花圃内走出 了一条 路 他们仅仅少走了 步路 假设 2 步为 1 米 却踩伤了花草 B E F D 225912 2222 MCMACA 3 校园内有两棵树 相距 12m 一棵树高 13m 另一棵树高 8m 一只小鸟从一棵 树的顶端飞到另一棵树的顶端