线性代数练习题2.pdf

模拟题 1 模拟题 1 一 填空题 每小题 3 分 共 30 分 1 设 则 1 0 0 0 2 0 0 0 3 A 1 A 2 设 21 12 A E为二阶单位阵 且满足2BABE 则B 3 设 则 3400 4 300 0020 0022 A 2 A 4 方阵满足 则A 2 2AAE 0 1 A 5 若矩阵A与B等价 且 则 3R A R B 6 已知向量组 1 1 2 1 2 2 0 t 3 0 4 5 的秩为2 则t 7 向量空间V的维数为 则中任意mV1m 个向量 121 m 必线性 8 设四元非齐次线性方程组AXb 的系数矩阵的秩为3 且已知它的两个解为 则对应齐次方程的通解为 A 12 1 1 2 1 T 0AX X 9 两向量正交的条件是t 12 1 6 0 1 3t 10 已知三阶方阵A的特征值为1 2 3 则 32 57AAA 二 10分 求行列式 1222 2222 2232 2224 A 的值 三 10分 设 且满足 101 020 101 A 2 AXEAXX 求矩阵 四 16分 设线性方程组 123 123 2 123 1xxx xxx xxx 问 取何值时 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷解 并求其通解 五 15分 设 1211 0120 2211 3120 A 1 写出A的列向量组 1234 2 判断 1234 的线性相关性 3 求 123 4 的秩 和一个最大无关组 六 15分 已知二次型 222 12312323 2334f x x xxxxx x 1 写出f所对应的矩阵A 2 求A的特征值和特征向量 3 求一个正交变换将f化为标准形 七 4分 设为正交阵 且A1A 证明1 是的特征值 A 模拟题 2模拟题 2 一 填空题 每小题 3 分 共 30 分 1 设 则 3400 4 300 0020 0022 A AA 2 设A为阶方阵 且n5A 则 1T AA A 3 设阶方阵与nAB可逆 且 则ABAE 1 A 4 已知向量组 1 1 2 1 2 2 0 t 3 0 4 5 线性相关 则t 5 设 AB为4阶方阵 等价于AB 且0B 则 R A 6 向量空间 22 0 nn VxxxxxR 的维数为 7 设 四 元 非 齐 次 线 性 方 程 组AXb 的 系 数 矩 阵的 秩 为3 且 它 的 三 个 解 向 量 满 足 则 A 132 11 01 12 21 AXb 的通解是X 8 若为正交阵 且A0A 则A 9 若三阶方阵的三个特征值为1 则A2 3 1 A 的特征值为 10 设 则当 满足条件 222 20 20 At t t时 3R A 二 12分 求行列式 2310 421 2121 4321 D 1的值 AXAX 三 12分 求矩阵方程 a b 其中 220 213 010 A 四 16分 取什么值时 线性方程组 12345 12345 2345 12345 1 323 2263 5433 xxxxx xxxxxa xxxx xxxxx b 有解 在有解的情形 求一般解 五 15分 设 1234 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 TTT T A 1 求向量组的秩 2 判别向量组的线性相关性 3 求向量组的一个最大无关组 六 15分 设 1 写出的二次型 101 030 100 A f 2 求的特征值和特征向量 3 求一个 正交相似变换矩阵 将 A PA化为对角阵 模拟题 3模拟题 3 一 填空题 每小题4分 共40分 1 1 2 3 4 000 000 000 000 a a a a 2 设A是矩阵 且mm 3A B是n n 矩阵 且3B 则 0 0 A B 3 1 EAEAA 1 E是A的同阶单位方阵 4 已知是3元非齐次线性方程组 TT xx 5 4 3 2 0 1 21 bAx 的两个解向量 则对应齐次线性方程 组有一个非零解0 Ax 时 线性方程组 123 123 123 0 0 20 xxx xxx xxx 有非零解 或5 当 6 设向量组线性相关 则 1 2 2 4 T a T aa 7 设向量组 12 s 线性无关 则向量组 12 s 线性相关的充分必要条件是 8 设初等矩阵满足 则P 111213212223 212223111213 313233313233 aaaaaa aaaaaaP aaaaaa P 9 设 0 是n阶可逆阵的一个特征值 则逆矩阵A 1 A 必有一个特征值 10 设4元 二 次 型 1234 T f x x x xX AX 的 秩 为4 正 惯 性 指 数 为3 则 其 规 范 形 为 12 12 12 n n n n abaa aaba D aaab 二 10分 计算n阶行列式 1 三 10分 解矩阵方程 X 120 012 121 21 10 02 四 10分 求向量组的秩和一个极大无关组 1234 1211 0120 221 3120 五 12分 a为何值时 方程组 123 123 123 1 0 1 3 1 a xxx xa xx xxa xa 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多个解 并求其通解 六 12分 求一个正交变换把下列二次型化为标准形 222 12312313 32f x x xxxxx x 七 6分 设A为方阵 且 证明 2 32AAE 02AE 可逆 并求其逆阵 模拟题 4模拟题 4 一 填空题 每小题4分 共40分 1 对于矩阵 当a 21 1 A a 时 A不可逆 2 设A是阶方阵 且n 1 2AaA 则 3 设矩阵 则行列式 56 78 A T AA 4 设是矩阵 Amn B是pm 矩阵 则 T BA 是 矩阵 5 设A是矩阵 且秩为2 则4 5 A的三阶子式的值为 6 设 1104 1321 0 1105 1106 ij AAA ij a 11213141 AAAA是的代数余子式 则 7 设 二 次 型 222 12312312231 3 222f x x xxxxax xbx xx x 经 正 正 交 变 换XPY 化 成 2 2 2 2 3 fyy 则二次型的矩阵A的特征值为 8 向量空间 n R中任何个向量1n 12 n1 必线性 9 设向量组 22 1 22 T 与 22 22 T a 正交 则a 10 设 222 12312323 22f x x xxxxkx x 是正定二次型 则的取值范围为 k 二 10分 计算4阶行列式 4 1111 1111 1111 1111 a a D b b 三 10分 设 110 011 101 A A2XXA 求X 四 12分 a为何值时 方程组 123 123 2 123 22 2 2 xxx xxxa xxxa 1 有唯一解 2 无解 3 有无穷多个解 并求其通解 五 10分 设向量组 求向量组的秩 该向量组是否线性相关 求向量组的一个极大无关组 1234 112 0 1 1 1 123 1 3 六 12分 设二次型 222 12312323 32 f x x xxxxx x 1 写出二次型f的矩阵A 2 求A的特征值和特征向量 3 求一个正交变换把二次型f化为标准形 七 6分 证明 如果向量组 123 线性无关 则向量组 1223 31 也线性无关 模拟题 5模拟题 5 一 填空题 每题 3 分 共 30 分 1 设有阶方阵4A 且B2 A 1 B 则BA 2 设A BC为同阶方阵 且ACAB 则当 A时 必有CB 3 设 则 222 111 cba cba cba A 100 001 010 P PA 4 11 EAAEAE为与A同阶的单位矩阵 5 设A 为 3 3 阶方阵 BA等价于B且0 B 则 AR 6 设 向 量 组 T 2 1 1 1 3 3 2 2 1 0 3 线 性 无 关 则 应 满 足 条 件 7 设有齐次线性方程组oxA A是nm 矩阵 rAR 且 1 是方程组的 一个基础解系 则 2 k k 又当 r时方程组只有零解 8 若A为正交矩阵 则A A与 对 角 方 阵相 似 则 n 2 1 A为阶 方 阵 n 9 设A的个 特 征 值 为 n 10 设3 是方阵A的一个特征值 则方阵EA 2 2 1 必有一个特征值为 二 8 分 计算阶行列式n xaa axa aax Dn 三 12 分 设 113 122 214 A 1 2 3 3 2 1 B 求使XAXB 四 18 分 设有非齐次线性方程组 问当 224 222 022 321 321 321 xxx xxx xxx 为何值时方程组有唯一解 无解 有无穷多组解 在有无穷多组解时求它的通解 五 12 分 已知向量组 3 1 2 1 1 6 5 1 4 2 7 4 3 1 3 1 求向量组的秩 2 判别向量组的线性相关性 3 求向量组的一个最大无关组 4 用最大无 关组表示不属于最大无关组的向量 六 20 分 设有矩阵 101 030 101 A 1 求矩阵A的二次型f 2 求A的特征值和特征向量 3 求一个正交相似变换矩阵P 将A 化为对角矩阵 4 试问f是否是正定二次型 模拟题 6模拟题 6 一 填空题 每题3分 共30分 1 设矩阵 则行列式 43 21 A T AA 2 设有阶方阵3A B且2 A 3 B 则BA 3 已知 若 1 31 k A A不可逆 则 k 4 E 是 A 的同阶单位方阵 11 AAEAE 5 若向量组 线性无关 则向量组 321 aaa 21 aa 32 aa 13 aa 为线性 关的向量组 6 已知向量组 T1 1 2 1 1 Tt0 0 2 2 T 2 5 4 0 3 的秩为 2 则 t 7 设有齐次线性方程组oxA A是nm 矩阵 rAR 且 1 2 是方程组的一个 基础解系 则 k k 又当 r时方程组只有零解 8 设A为n阶正交方阵 则 T AA 9 若三阶方阵A的特征值为 1 2 3 则矩阵 2 A的特征值为 A与对角方阵相似 则 200 010 001 A 10 若三阶方阵 二 8分 计算4阶行列式 01 01 01 1110 xx xx xx D 三 12分 113 122 214 A 1 2 3 3 2 1 B 求使XAXB 四 18分 设有非齐次线性方程组问当 2 321 321 321 1 xxx xxx xxx 为何值时方程组有唯一解 无解 有无穷 多组解 在有无穷多组解时求它的通解 五 12分 已知向量组 3 2 0 1 1 1 3 2 1 2 9 5 6 5 3 1 求向量组的秩 2 判别向量组的线性相关性 3 求向量组的一个最大无关组 六 20分 设有矩阵 求 1 矩阵 320 230 002 A f 2 求A的二次型A的特征值和特征向量 3 求一个正交相似变换矩阵P 将A化为对角矩阵 4 试问f是否是正定二次型 模拟题 7模拟题 7 一 填空题 每题3分 共30分 1 设矩阵 则行列式 120 221 011 A T AA 2 设A为四阶方阵 且2 A 则行列式 T A 2 3 已知 则当满足 01 100 01 b a A ba 时 A可为逆阵 4 设n阶方阵A与可逆且满足BEAAB E为与A同阶的单位方阵 则 1 A 5 向量 T a 2 2 2 2 1 1 T a 2 2 2 2 0 2 是否正交 6 设 T2 5 0 1 1 T 4 3 2 3 2 T a3 1 1 3 线性相关 则 a 7 设A是秩为的矩阵 则齐次线性方程组243 oxA 的任意一个基础解系中所含的解向量个数 均为 8 若三阶方阵与矩阵相似 则B 300 020 321 A B 9 若三阶方阵A有一个特征值为 则矩阵EAA 23 2 必有一个特征值为 10 若是正定二次型 则参数k的取值范围为 32 2 3 2 2 2 1 22xkxxxxf 三 8分 计算行列式 44321 43321 43221 43211 4321 1 1 1 1 1 baaaa abaaa aabaa aaaba aaaa D 三 12分 设 求解矩阵方程 321 011 324 A AXAX 四 18分 非齐次线性方程组当 2 321 321 321 2 2 22 xxx xxx xxx 为何值时有解 并求它的解 五 12分 设有向量组 T0 2 3 1 1 T 3 14 0 7 2 1 求向量组的秩 2 判别向量组的线性相关性 3 求向量组的一个最大无 关组 T1 0 1 2 3 T 2 6 1 5 4 六 20分 已知二次型 1 求二次型 32 2 3 2 2 2 1 4332xxxxxf f的矩阵A 2 求A的特 征值和特征向量 3 求一个正交变换 使化二次型f成标准形 4 试问f是否是正定二次型 模拟题 8模拟题 8 一 填空题 每题3分 共30分 1 已知三阶方阵A 且2 A 则A 2 设矩阵 12 1a A 则当 a时 A可为逆矩阵 3 已知矩阵 则 220 112 011 A A的秩 A R 4 11 AAEAEE为