数学北师大版七年级下册认识三角形3.doc

1.1 同底数幂的乘法教学目标(一)教学知识点1.经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义.2.了解同底数幂乘法的运算性质，并能解决一些实际问题.(二)能力训练要求1.在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力.2.学习同底幂乘法的运算性质，提高解决问题的能力.(三)情感与价值观要求在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心.教学重点同底数幂的乘法运算法则及其应用.教学难点同底数幂的乘法运算法则的灵活运用.教学方法引导启发法教师引导学生在回忆幂的意义的基础上，通过特例的推理，再到一般结论的推出，启发学生应用旧知识解决新问题，得出新结论，并能灵活运用.教具准备投影片第一张：问题情景，记作(1.1 A)第二张：做一做，记作(1.1 B)第三张：议一议，记作(1.1 C)第四张：例题，记作(1.1 D)第五张：随堂练习，记作(1.1 E)教学过程.创设问题情景，引入新课师同学们还记得“an”的意义吗？生an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方.乘方的结果叫幂，a叫做底数，n是指数.师我们回忆了幂的意义后，下面看这一章最开始提出的问题(出示投影片1.3 A):问题1：光的速度约为3108 m/s，太阳光照射到地球上大约需要5102秒，地球距离太阳大约有多远？问题2：光在真空中的速度大约是3108 m/s，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需4.22年.一年以3107秒计算，比邻星与地球的距离约为多少？生根据距离=速度时间，可得：地球距离太阳的距离为：31085102=35(108102)(米)比邻星与地球的距离约为：310831074.22=37.98(108107)(米)师108102，108107如何计算呢？生根据幂的意义：108102=1010108107=师很棒！我们观察108102可以发现108、102这两个因数是同底的幂的形式，所以108102我们把这种运算叫做同底数幂的乘法，108107也是同底数幂的乘法.由问题1和问题2不难看出，我们有必要研究和学习这样一种运算同底数幂的乘法.学生通过做一做、议一议，推导出同底数幂的乘法的运算性质1.做一做出示投影片(1.1 B)计算下列各式：(1)102103；(2)105108；(3)10m10n(m,n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言加以描述.(4)2m2n等于什么？()m()n呢，(m,n都是正整数).师根据幂的意义，同学们可以独立解决上述问题.生(1)102103=(1010)(101010)=105=102+3因为102的意义表示两个10相乘；103的意义表示三个10相乘.根据乘方的意义5个10相乘就表示105同样道理，可求得：(2)105108=1013=105+8(3)10m10n=10m+n从上面三个小题可以发现，底数都为10的幂相乘后的结果底数仍为10，指数为两个同底的幂的指数和.师很好！底数不同10的同底的幂相乘后的结果如何呢？接着我们来利用幂的意义分析第(4)小题.生(4)2m2n=2m+n()m()n=()m+n我们可以发现底数相同的幂相乘的结果的底数和原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和.2.议一议出示投影片(1.1 C)aman等于什么(m,n都是正整数)？为什么？师生共析aman表示同底的幂的乘法，根据幂的意义，可得aman=am+n即有aman=am+n(m,n都是正整数)用语言来描述此性质，即为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.师同学们不妨再来深思，为什么同底数幂相乘，底数不变，指数相加呢？即为什么aman=am+n呢？生am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，aman表示m个a相乘再乘以n个a相乘，即有(m+n)个a相乘，根据乘方的意义可得aman=am+n.师也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降低一级运算，变为相加.例题讲解出示投影片(1.1 D)例1计算：(1)(3)7(3)6；(2)()3()；(3)x3x5; (4)b2mb2m+1.例2用同底数幂乘法的性质计算投影片(1.1 A)中的问题1和问题2.师我们先来看例1中的四个小题，是不是都能用同底数幂的乘法的性质呢？生(1)、(2)、(4)都能直接用同底数幂乘法的性质底数不变，指数相加.生(3)也能用同底数幂乘法的性质.因为x3x5中的x3相当于(1)x3,也就是说x3的底数是x,x5的底数也为x,只要利用乘法结合律即可得出.师下面我就叫四个同学板演.生解：(1)(3)7(3)6=(3)7+6=(3)13；(2)()3()=()3+1=()4；(3)x3x5=(1)x3x5=(1)x3x5=x8;(4)b2mb2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.师我们接下来看例2.生问题1中地球距离太阳大约为：31085102=151010=1.51011(m)据测算，飞行这么远的距离，一架喷气式客机大约要20年.问题2中比邻星与地球的距离约为：310831074.22=37.981015=3.7981016(m)想一想：amanap等于什么？生amanap=(aman)ap=am+nap=am+n+p;生amanap=am(anap)=aman+p=am+n+p;生amanap=am+n+p.练习出示投影片(1.1 E)1.随堂练习(课本P3)：计算(1)5257;(2)77372;(3)x2x3;(4)(c)3(c)m.解：(1)5257=59；(2)77372=71+3+2=76；(3)x2x3=(x2x3)=x5;(4)(c)3(c)m=(c)3+m.2.补充练习：判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)x3x5=x15( )(2)xx3=x3( )(3)x3+x5=x8 ( )(4)x2x2=2x4 ( )(5)(x)2(x)3=(x)5=x5 ( )(6)a3a2a2a3=0 ( )(7)a3b5=(ab)8 ( )(8)y7+y7=y14 ( )解：(1).因为x3x5是同底数幂的乘法，运算性质应是底数不变，指数相加，即x3x5=x8.(2).xx3也是同底数幂的乘法，但切记x的指数是1，不是0，因此xx3=x1+3=x4.(3).x3+x5不是同底数幂的乘法，因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算，同时x3+x5是两个单项式相加，x3和x5不是同类项，因此x3+x5不能再进行运算.(4).x2x2是同底数幂的乘法，直接用运算性质应为x2x2=x2+2=x4.(5).(6).因为a3a2a2a3=a5a5=0.(7).a3b5中a3与b5这两个幂的底数不相同.(8).y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项，因此应用合并同类项法则，得出y7+y7=2y7.课时小结师这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？生在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义.了解了同底数幂乘法的运算性质.生同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加.应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加.即aman=am+n(m、n是正整数).课后作业课本习题1.1 第1、2、3题.活动与探究计算：22223242526272829+210.过程注意到21029=292291=29(21)=29，同理，2928=28，2322=22，即2n+12n=22n2n=(21)2n=2n.逆用1.5 平方差公式(一)教学目标(一)教学知识点1.经历探索平方差公式的过程.2.会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.(二)能力训练要求1.在探索平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求在计算的过程中发现规律，并能用符号表达，从而体会数学语言的简捷美.教学重点平方差公式的推导和应用.教学难点用平方差公式的结构特征判断题目能否使用公式.教学方法探究与讲练相结合.使学生在计算的过程中发现规律，并运用自己的语言进行表达，用符号证明这个规律，并探索出平方差公式的结构特点，在老师的讲解和学生的练习中学会应用.教具准备投影片四张第一张：做一做，记作(1.5.1 A)第二张：例1，记作(1.5.1 B)第三张：例2，记作(1.5.1 C)第四张：练一练，记作(1.5.1 D)教学过程.创设情景，引入新课师你能用简便方法计算下列各题吗？(1)20011999；(2)9921生可以.在(1)中20011999=(2000+1)(20001)=200022000+200011=2000212=40000001=3999999,在(2)中9921=(1001)21=(1001)(1001)1=1002100100+11=10000200=9800.师很好！我们利用多项式与多项式相乘的法则，将(1)(2)中的2001，1999，99化成为整千整百的运算，从而使运算很简便.我们不妨观察第(1)题，2001和1999，一个比2000大1，于是可写成2000与1的和，一个比2000小1，于是可写成2000与1的差，所以20011999就是2000与1这两个数的和与差的积，即(2000+1)(20001)；再观察利用多项式与多项式相乘的法则算出来的结果为：2000212，恰为这两个数2000与1的平方差.即(2000+1)(20001)=2000212.那么其他满足这个特点的运算是否也有类似的结果呢？我们不妨看下面的做一做.使学生在计算的过程中，通过观察、归纳发现规律，并用自己的语言和符号表示其规律师出示投影片(1.5.1 A)做一做：计算下列各题：(1)(x+2)(x2);(2)(1+3a)(13a);(3)(x+5y)(x5y);(4)(y+3z)(y3z).观察以上算式，你发现什么规律？运算出结果，你又发现什么规律？再举两例验证你的发现？生上面四个算式都是多项式与多项式的乘法.生上面四个算式每个因式都是两项.生除上面两个同学说的以外，更重要的是：它们都是两个数的和与差的积.例如：算式(1)是“x”与“2”这两个数的和与差的积；算式(2)是“1”与“3a”这两个数的和与差的积；算式(3)是“x”与“5y”的和与差的积；算式(4)是“y”与“3z”这两个数的和与差的积.师我们观察出了算式的结构特点.像这样的多项式与多项式相乘，它们的结果如何呢？只要你肯动笔、动脑，相信你一定会探寻到答案.生解：(1)(x+2)(x2)=x22x+2x4=x24；(2)(1+3a)(13a)=13a+3a9a2=19a2；(3)(x+5y)(x5y)=x25xy+5xy25y2=x225y2；(4)(y+3z)(y3z)=y23yz+3zy9z2=y29z2(如有必要的话可以让学生利用乘法分配律将多项式与多项式相乘转化成单项式与多项式相乘，进一步体会乘法分配律的重要作用以及转化的思想)生从刚才这位同学的运算，我发现：即两个数的和与差的积等于这两个数的平方差.这和我们前面的一个简便运算得出同样的结果.即师你还能举两个例子验证你的发现吗？生可以.例如：(1)10199=(100+1)(1001)=1002100+10012=100212=100001=9999；(2)(x+y)(xy)=(x)(x)+xyxyy2=(x)2y2=x2y2.即上面两个例子，同样可以验证：两个数的和与差的积，等于它们的平方差.师为什么会有这样的特点呢？生因为利用多项式与多项式相乘的运算法则展开后，中间两项是同类项且系数互为相反数，所以相加后为零.只剩下这个数的平方差.师很好！你能用一般形式表示上述规律，并对规律进行证明吗？生可以.上述规律用符号表示为：(a+b)(ab)=a2b2其中a,b可以表示任意的数，也可以表示代表数的单项式、多项式.利用多项式与多项式相乘的运算法则可以对规律进行证明，即(a+b)(ab)=a2ab+abb2=a2b2师同学们确实不简单用符号表示和证明我们发现的规律简捷明快.你能给我们发现的规律(a+b)(ab)=a2b2起一个名字吗？能形象直观地反映出此规律的.生我们可以把(a+b)(ab)=a2b2叫做平方差公式.师大家同意吗？生同意.师好了！这节课我们主要就是学习讨论这个公式的.你能用语言描述这个公式吗？生可以.这个公式表示两数和与差的积，等于它们的平方差.师平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式.用它直接运算会很简单，但要注意必须符合公式的结构特点才能利用它进行运算.体会平方差公式的应用，感受平方差公式给多项式乘法运算带来的方便，进一步熟悉平方差公式.出示投影片(1.5.1 B)例1(1)下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是( )A.(x+1)(1+x)B.(a+b)(ba)C.(a+b)(ab)D.(x2y)(x+y2)E.(ab)(ab)F.(c2d2)(d2+c2)(2)利用平方差公式计算：(5+6x)(56x);(x2y)(x+2y);(m+n)(mn).生(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因为B.(a+b)(ba)利用加法交换律可得(a+b)(ba)=(b+a)(ba),表示b与a这两个数的和与差的积，符合平方差公式的特点；E.(ab)(ab),同样可利用加法交换律得(ab)(ab)=(ba)(b+a),表示b与a这两个数和与差的积，也符合平方差公式的特点；F.(c2d2)(d2+c2)利用加法和乘法交换律得(c2d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2d2)，表示c2与d2这两个数和与差的积，同样符合平方差公式的特点.师为什么A、C、D不能用平方差公式呢？生A、C、D表示的不是两个数的和与差的积的形式.师下面我们就来做第(2)题，首先分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式.生(5+6x)(56x)是5与6x这两个数的和与差的形式；(x2y)(x+2y)是x与2y这两个数的和与差的形式；(m+n)(mn)是m与n这两个数的和与差的形式.师很好！下面我们就来用平方差公式计算上面各式.生(5+6x)(56x)=52(6x)2=2536x2;(x2y)(x+2y)=x2(2y)2=x24y2;(m+n)(mn)=(m)2n2=m2n2.师这位同学的思路非常清楚.下面我们再来看一个例题.出示投影片(记作1.5.1 C)例2利用平方差公式计算：(1)(xy)(x+y);(2)(ab+8)(ab8);(3)(m+n)(mn)+3n2.师同学们可先交流、讨论，然后各小组派一代表到黑板上演示.然后再派一位同学讲评.生解：(1)(xy)(x+y)(x)与y的和与差的积=(x)2y2利用平方差公式得(x)与y的平方差=x2y2运算至最后结果(2)(ab+8)(ab8)ab与8的和与差的积=(ab)282利用平方差公式得ab与8的平方差=a2b264运算至最后结果(3)(m+n)(mn)+3n2据运算顺序先计算m与n的和与差的积=(m2n2)+3n2利用平方差公式=m2n2+3n2去括号=m2+2n2合并同类项至最简结果生刚才这位同学的运算有条有理，有根有据，我觉得利用平方差公式计算必须注意以下几点：(1)公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式.(2)要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.(3)有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式.生还需注意最后的结果必须最简.师同学们总结的很好！下面我们再来练习一组题.投影片(1.5.1 D)1.计算：(1)(a+2)(a2);(2)(3a+2b)(3a2b);(3)(x+1)(x1);(4)(4k+3)(4k3).2.把下图左框里的整式分别乘(a+b),所得的积写在右框相应的位置上.解：1.(1)(a+2)(a2)=a222=a24;(2)(3a+2b)(3a2b)=(3a)2(2b)2=9a24b2;(3)(x+1)(x1)=(x)212=x21;(4)(4k+3)(4k3)=(4k)232=16k29.2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;(ab)(a+b)=a2b2;(a+b)(a+b)=(b+a)(ba)=b2a2;(ab)(a+b)=a(a+b)b(a+b)=a2ababb2=a22abb2(教师在让学生做练习，可巡视练习的情况，对确实有困难的学生要给以指导).课时小结师同学们有何体会和收获呢？生今天我们学习了多项式乘法运算中的一个重要公式平方差公式即(a+b)(ab)=a2b2.生应用这个公式要明白公式的特征：(1)左边为两个数的和与差的积；(2)右边为两个数的平方差.生公式中的a、b可以是数，也可以是代表数的整式.生有些式子表面上不能用公式，但通过适当变形实质上能用公式.师同学们总结的很好！还记得刚上课的一个问题吗？计算9921，现在想一想，能使它运算更简便吗？生可以.9921可以看成99与1的平方差，从右往左用平方差公式可得：9921=99212=(99+1)(991)=10098=9800.师我们发现平方差公式的应用是很灵活的，只要你准确地把握它的结构特征，一定能使你的运算简捷明了.课后作业课本习题1.9，第1题.活动与探究有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用x1,y1顺次表示第1号选手胜与负的场数，用x2,y2顺次表示第2号选手胜与负的场数，用x10,y10顺次表示第10号选手胜与负的场数.则10名选手胜的场数的平方和与他们负的场数的平方和相等，即x12+x22+x102=y12+y22+y102,为什么？经过：由于是单循环赛，每名运动员恰好参加9局比赛，即xi+yi=9(其中i=1、2、3、10)，在比赛中一人胜了，另一人自然败了，则x1+x2+x10=y1+y2+y10,这两个隐含条件是解题的关键，从作差比较入手.结果由题意知xi+yi=9(i=1、2、3、10)且x1+x2+x10=y1+y2+y10(x12+x22+x102)(y12+y22+y102)=(x12y12)+(x22y22)+(x102y102)=(x1+y1)(x1y1)+(x2+y2)(x2y2)+(x10+y10)(x10y10)=9(x1y1)+(x2y2)+(x3y3)+(x10y10)=9(x1+x2+x10)(y1+y2+y10)=0所以，x12+x22+x102=y12+y22+y102.板书设计1.5.1 平方差公式(一)做一做解：(1)(x+2)(x2)=x22x+2x4=x24;(2)(1+3a)(13a)=13a+3a9a2=19a2;(3)(x+5y)(x5y)=x25xy+5xy25y2=x225y2;(4)(y+3z)(y3z)=y23yz+3zy9z2=y29z2.归纳、猜想规律(a+b)(ab)=a2b2两数和与这两数差的积，等于它们的平方差.用符号运算证明(a+b)(ab)=a2ab+abb2=a2b2.应用、升华例1.(抓住平方差公式的特征，准确地利用平方差公式计算)例2.(对公式中a、b含义的理解，既可以是具体的数也可以是整数)随堂练习(熟悉平方差公式).备课资料参考例题例1用简便方法计算：(1)7981 (2)9910110001解：(1)原式=(801)(80+1)=8021=6399;(2)原式=(1001)(100+1)(10000+1)=(100212)(10000+1)=(100001)(10000+1)=10000212=1000000001=99999999.例2计算：(1)(b2)(b2+4)(b+2)(2)2a2(a+b)(ab)(ca)(a+c)+(c+b)(c+b)分析：(1)题可利用乘法交换律和结合律，先求(b2)与(b+2)的积，所得结果再与(b2+4)相乘，可两次运用平方差公式；(2)题根据混合运算的运算顺序，先算括号里的其中(a+b)(ab),(ca)(a+c),(c+b)(c+b)都可直接运用平方差公式计算.解：(1)(b2)(b2+4)(b+2)=(b2)(b+2)(b2+4)=(b24)(b2+4)=(b2)242=b416(2)2a2(a+b)(ab)(ca)(a+c)+(c+b)(c+b)=2a2(a2b2)(c+a)(ca)+(bc)(b+c)=2a2a2+b2c2a2+b2c2=(a2+b2)(b2a2)=(b2)2(a2)2=b4a4例3计算：(1)(+y)(+y)(2)(a+bc)(ab+c)(3)(x+3y)2(x3y)2(x2+9y2)2分析：(1)题中，可把相同的项放在对应的位置上，再把互为相反数的项放在对应的位置上，使之满足(a+b)(ab),然后用平方差公式；(3)题先逆用积的乘方公式，然后用平方差公式.解：(1)(+y)(+y)=(y+)(y)=(y)2()2=y2x2(2)(a+bc)(ab+c)=a+(bc)a(bc)=a2(bc)2=a2(b22bc+c2)=a2b2+2bcc2(3)(x+3y)2(x3y)2(x2+9y2)2=(x+3y)(x3y)(x2+9y2)2=(x29y2)(x2+9y2)2=x481y42=x8162x4y4+6561y8.同底数幂的1.6完全平方公式（1）课时课题：第一章 第六节 完全平方公式（第1课时）课型：新授课授课时间： 教学目标：知识与技能：理解完全平方公式的本质，并会运用公式进行简单的计算；了解完全平方公式的几何背景.过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识.情感与态度： 体验数学活动充满着探索性和创造性，并在数学活动中获得成功的体验与喜悦，树立学习的自信心.教学重点：完全平方公式及其应用.教学难点：完全平方公式的应用.教法及学法指导：本节课采用自主探索、启发引导、合作交流的模式展开教学，引导学生主动地进行观察、归纳、猜测和验证.考虑到学生的认知方式、思维水平和学习能力的差异进行分层次教学，让不同层次的学生都能主动参与并都能得到充分的发展.边启发、边探索、边归纳，突出以学生为主体的探索性学习活动. 遵循知识的产生过程，从特殊一般特殊，将所学的知识用于实践中.课前准备：教师：多媒体课件.学生：课前进行预习工作.教学过程：一 前置诊断，开辟道路师：上一节课，我们学习了平方差公式，知道了应用平方差公式可以进行某些多项式乘法的简便运算.那位同学能说一下平方差公式是什么？它的结构特征是什么？生：（积极踊跃，争先恐后）生：平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2 ；公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积. 右边是两数的平方差.师：应用平方差公式要注意什么问题？生1：弄清在什么情况下才能使用平方差公式.生2：（补充）把两个因式中相同的部分看作a，互为相反的部分看作b.师：很好.还记得我们是怎样用图形解释平方差公式的吗？生：利用图形变化前后的面积相等来解释的.从一个边长为a大正方形中割掉一个边长为b的小正方形，剩下图形的面积可以用a2-b2表示，也可以用(a+b)（a-b）表示，就可以得到：(a+b)（a-b）=a2-b2.师：（出示多媒体课件，使学生数形结合起来，帮助其理解.）师：平方差公式实质上是特殊的多项式乘法的一种简便运算，是我们由一些特殊的多项式乘法的计算中分析得到的数学规律，应用它可以进行一些数或式乘法的简便计算.数学中，还有很多规律等待我们去探索、去发现. 设计意图：本堂课的学习方向仍是引导鼓励学生通过已学习的知识经过个人思考、小组合作等方式推导出本课新知，进一步发展学生的符号感和推理能力.而这个过程离不开旧知识的铺垫，平方差公式的学习有很多教学环节和形式与本节的学习是类似的，其中包含的基本知识与基本能力也仍是本节的精神主旨，因而复习很有必要.二 设问质疑，探究尝试师：（出示多媒体课件）1.观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？（m+3）2 （2+3x）2= (m+3)(m+3) =(2+3x)(2+3x)=m2+3m+3m+9 =4+23x+23x+9x2=m2+23m+9 =4+223x+9x2=m2+6m+9 =4+12x+9x22.再举两例验证你的发现.请同学们观察屏幕上两个算式及其运算结果，你有什么发现？生：（观察、思考、交流、讨论、争相举手发表自己的发现）.生1：我发现两个算式都是两个数和的平方，结果是三项，都有这两个数的平方.师：很好.生：我发现算式都是两个数和的平方，结果是这两个数的平方和，再加上这两个数的乘积的2倍.师：太好了.同学们看一下是这么回事吗？生：（齐声）是.师：你能再举两例验证你的发现吗？生:(积极动手、动脑，验证结论，派代表发言.)师：同学们是否都验证了这个发现？生：是.师：你能用式子表示这个规律吗？生：能.（举手）生1：(a+b)2=a2+2ab+b2 .师：（板书，进而问）你能验证这个规律吗？生：（用多项式乘法验证了正确性）师：用语言怎样叙述？生：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍.师：（板书）（出示课件）bbaa图1-7你能用图1-7解释这一公式吗？生：（思考、讨论后，积极举手）生1：和验证平方差公式一样，用两种方法表示图中大正方形的面积为：(a+b)2和a2+2ab+b2，这两个算式相等，就得到(a+b)2=a2+2ab+b2.师：太棒了！刚才，我们从数和形两个方面验证了这个规律的正确性，今后遇见形如(a+b)2的式子，就可以用这个公式来计算.如：（m+3）2=m2+23m+9=m2+6m+9.比较一下两种做法，哪一种较简单？生：用公式简单.师：试着用公式计算：（2+3x）2 .生：（动手计算，体会公式可以使运算简便.）设计意图：通过特例的探索，引入完全平方公式，再让学生自己举例加深对公式的体会.而在计算图形的面积时，通过对比这些表示方式可以使学生对于公式有一个直观的认识.通过自主探究和交流学到了新的知识，学生的学习积极性和主动性得到大大的激发.三 探究规律、形成结论1.初识完全平方公式.师：（出示课件）你能计算：(ab)2 吗？生：（思考、积极动脑，在练习本上试着计算.）师：（巡视，发现两种不同解法，让这两名学生板演.）生1：(ab)2 = (ab) (ab)=a22ab+b2.生2：(ab)2=a+(b) 2=a22a(b)+b2=a22ab+b2.师：看这两个同学的做法是否正确？他们是怎样做的？生：一个是利用多项式的乘法，一个是利用公式，把差的形式化成了和的形式，都正确.师：很好！你能用语言描述一下这个结果吗？生：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍.师：我们把这个规律也当成公式，和前面的公式合起来称为完全平方公式.请你体会一下“完全”的含义.生：（七嘴八舌，最后形成统一意见）“全部”的意思.师：我们把(a+b)2=a2+2ab+b2称为和的完全平方公式，(ab)2 =a22ab+b2称为差的完全平方公式.2. 再识完全平方公式.师：你能分析一下完全平方公式的结构特点，并用语言进行完整地描述吗？生：（讨论，争相回答）生1: 结构特点：左边是二项式（两数和或差）的平方； 右边是两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的2倍.生2：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的2倍.师：很好. 学的东西多了，有的同学可能会记混，教你一个口诀便于记忆：首平方，尾平方，积的2倍放中央，是加是减看前方.生：理解口诀，记忆公式.设计意图：让学生从代数运算的角度，推导出两数差的完全平方公式，并在此基础上加以总结，从而完善了完全平方公式，同时培养学生有条理的思考和语言表达能力.最后以口诀的形式，加深学生对公式的理解. 四 学以致用、巩固新知师：完全平方公式和平方差公式一样，也是整式乘法中的重要公式，应用它们可以使运算简便.（出示多媒体课件）例1 用完全平方公式计算：(1) (2x3)2 ； (2) (4x+5y)2 ; (3) (mna)2 生：分析算式的特点，找准谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b，试着用公式解题.师：派两名同学板演，师生共同评价.巩固练习.1.计算：（1） ； （2） ； （3）(2x23y2)2 ； （4）(n+1)2n2 .生：板演，师生共同评价.师：发现学生有新解法，指名板演.生：(n+1)2n2（n +1+ n)( n +1 n) （2n +1) 师：给出肯定，建议学生试着用这种解法做一做.2.纠错练习：指出下列各式中的错误，并加以改正： （1） (2a1)22a22a+1; （2） (2a+1)24a2 +1； （3）(-a1)2-a22a1.生：分析错误原因，并改正.设计意图：对照公式，进行独立的简单计算，体会公式在解题中的应用，进一步熟悉公式.并通过小组交流，自我检验，巩固反馈.考察个人的实际运用能力，并及时查漏补缺.例2 利用完全平方公式计算： (1) (-2x+1)2 ； (2) (-1-2x)2师：指导学生分析算式特点.生：找出相当于公式中a与b的数或式，试着解答.设计意图：例2是对课本内容的补充，使学生从更深的一个角度来认识完全平方公式，防止解题时中间项的符号出现问题，并能在解题中通过灵活的变形来运用公式，解决问题.教学时，首先放手让学生独立来解决第一个题目，学生可能出错较多，且都集中在中间项的符号上，由此引出有进一步认识公式的必要，从而教师引导学生再次观察题目，仔细分析题目当中谁相当于公式当中的a与b，从而运用不同的方法和思路，解决问题.在解题过程中学生认识到了解决问题之前恰当选择公式和正确分析题目的必要性，学习的积极性再次被激发. 五 知识迁移、变式训练、师：我们把形如a2 2ab+b2 的式子称为完全平方式，请思考： 1.若(x -1)2=2，则代数式x22x+5的值为 .2. （1）已知9x2-12x+m是一个完全平方式，则m的值是 （2）已知x2+mx+25是一个完全平方式，则m的值是 .生：组内交流，探究尝试.师：巡视，发现有程度较好的同学已解出答案，指名，让其说出自己的解法. 设计意图：这两题都是常考题型，其中第一题是整体代入法求代数式的值，第二题是考查学生对完全平方式概念的理解，学生解决起来可能会有困难，教师可以给予适当的指导使其掌握这种题型的解法.课上如果时间不允许，可以放到课下进行探索.六 总结串联，纳入系统师：引导学生从完全平方公式和平方差公式不同和解题过程中要注意的事项两方面总结本节课所学内容.生：分析.1.完全平方公式和平方差公式不同：（1）形式不同（2）结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 (a b)2a2 2ab+b2；平方差公式的结果是两项， 即(a+b)(ab)a2b2.2. 解题过程中要准确确定a和b，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2. 设计意图：课堂小结并不只是课堂知识点的回顾，要尽量让学生畅谈自己的切身感受，教师对于发言进行鼓励，进一步梳理本节所学，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的.七 达标检测，评价矫正1.用完全平方公式计算： (1) (mna)2 (2) (3xb)2 (3) (m4n)22.已知2x -1=3，求代数式(x -3 )2+2 x(3x)7 的值.设计意图：设计两个题目，由简单到复杂，对不同程度的学生分层要求.程度稍好的学生都完成，一般的学生只要完成第一题即可.学生限定时间独立完成，师生纠错.使学生了解自己学习的掌握情况 ，也便于教师的学情分析.八 课后作业、巩固提高1. 基础训练：课本习题1.11 .2. 拓展练习： （1）试着用图形解释(ab)2 =a22ab+b2.（2）(ab)2与(ab)2有怎样的联系？能否用一个等式来表示两者之间的关系，并尝试用图形来验证你的结论？设计意图：设计两组题目，第一组为基础题，巩固本节所学；第二组题目为下一节课的学习做准备.九 板书设计1.6 完全平方公式（1）完全平方公式： (a b)2a2 2ab+b2 两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍.例题练习教学反思有前面平方差公式的学习做基础，绝大多数学生能够很顺利地进行自主探究和用图形验证和的完全平方公式，并从中建立了数形结合的意识.关于差的完全平方公式的几何解释，本节课没有让学生给出验证方法，放到课下进行探索，是为了降低难度.这节课的探究活动较多，学生的自主性得到了充分的体现，课堂气氛平等融洽，激情高涨，更可喜的是在完全平方公式的探求和应用过程中，特别是在解决例2的问题时，有些学生观察入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力和分析问题、解决问题的能力，此时，作为教师，我们要善于抓住这个契机，及时地对学生提出表扬和鼓励，进一步激发他们的学习兴趣.而对于表现较差的学生，绝不可轻言放弃，则要适时地进行学法指导，使其领会数学的化归思想，学会用一般方法解决问题，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质.本节课的不足之处在于，处理达标检测题目的时间有些紧，原因是学生对完全平方式的理解不是很好，变式训练题用的时间稍多一些，建议把变式训练放到课下探究，本节课练好完全平方公式的有关计算即可.乘课 时第一章第7节第2课时课 题整式的除法（2）课 型新授课时 间节 次第一节课授 课 人教学目标1.理解整式除法运算的算理，会进行简单的整式除法运算；2经历探索整式除法运算法则的过程，发展有条理的思考及表达能力.重点多项式除以单项式的法则；运用多项式除以单项式的法则进行计算.难点运用多项式除以单项式的法则进行计算.教法及学法让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程，能够在实际情境中，抽象概括出所要研究的数学问题，增强学生的数感符号感.发展学生的合作交流能力、推理能力和有条理的表达能力.课前准备准备课件，学生课前进行相关预习工作.第一章 的乘除第整式7节 整式的除法（2）教学过程：一、 激趣导入，提出问题师：你会计算 吗？(学生观察后再口答)生：师：那么，如何计算(学生观察后口答)生：师：如果给上式加个系数(变式训练)生：师：你是怎么做出的答案？生1：我是利用乘除法的互逆，因为所以生2：我是类比有理数的除法，师：同学们答的非常好.这就是我们今天要学习的多项式除以单项式.（点题并板书课题）（设计意图：通过让学生经历观察、计算、推理、想象等探索过程，获得数学活动的经验；发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己计算的正确性，培养学生合情说理的能力；并在这个过程中，培养学生总结归纳知识的能力.） 二、 自主合作，解决问题师：计算下列各题，说说你的理由. （直接出示问题，由学生独立探究，再进行小组内合作交流.）师：你是如何进行多项式除以单项式的计算的？生1：类比小学的除法运算，除以一个单项式可以转化成乘以它的倒数，再利用多项式乘以单项式法则进行计算.师：这种做法的依据是哪些？生：除法法则和乘法分配律。师：还有别的方法吗？生2：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.（要求学生在独立思考的基础之上，尝试得出，随后进行交流，比较两种方法哪种更简便.）（设计意图：通过让学生经历观察、计算、推理、想象等探索过程，获得数学活动的经验；发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己计算的正确性，培养学生合情说理的能力；并在这个过程中，培养学生总结归纳知识的能力.）三、展示汇报，反馈点拨 例2 计算：（学生先独立探究，再开展小组交流，互批互评.）生1：生2：生3：生4：（设计意图：巩固多项式除以单项式法则，提高学生的计算能力.此处要鼓励学生独立完成问题，其中的常见错误教师应在点评中给学生指出，避免学生在计算时出现类似错误.）四、巩固练习，拓展提高1想一想，下列计算正确吗？（让学生先圈出错误，并改正.）2.做一做：小明在爬一小山时，第一阶段的平均速度为 v，所用时间为 t1；第二阶段的平均速度为 v，所用时间为 t2.下山时，小明的平均速度保持为 4 v已知小明上山的路程和下山的路程是相同的，问小明下山用了多长时间？（学生先独立完成，然后同桌之间相互纠正.）生：时间=路程速度.上山路程=下山路程= 下山所用时间为：（设计意图：通过完成判断正误的练习，让学生进一步认识到在进行多项式除以单项式时应注意避免出现的错误.进一步巩固落实多项式除以单项式的运算.） 五、回顾小结同学之间交流本节课的学习收获和体会.教师帮助学生归纳必要的内容1. 你学到了哪些知识点？2. 你学到了哪些方法？3. 你还有哪些困惑？（设计意图：通过小结让学生进一步把握重点，明确学习的方向.）六、当堂达标1.长方形的面积是，若它的一边长为2a，则它的周长为（ ） A. B. C. D. 2.计算的结果是（ ）A. B. C. 1 D. 3.计算：（设计意图：在规定时间内，独立完成测验，最后通过答案测评自己，巩固、加深对法则的理解，并提高运算能力.） 七、布置作业A组：课本：31页 习题1.14 知识技能1 B组：（选做题）已知一个多项式与的乘积为则求这个多项式.八、板书设计 1.7整式的除法-多项式除以单项式多项式