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1 一阶微分方程的解法及应用一阶微分方程的解法及应用 习题课 一 习题课 一 第十章第十章第十章第十章 微分方程习题课微分方程习题课微分方程习题课微分方程习题课 一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容 二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题 一 基本概念 一 基本概念 微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程 微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶 微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解 通解通解如果微分方程的解中含有任意常数 并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的 解叫做微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数 并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的 解叫做微分方程的通解 特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解 叫做微分方程的特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解 叫做微分方程的特解 一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容 初始条件初始条件用来确定任意常数的条件 用来确定任意常数的条件 初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问 题 叫初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问 题 叫初值问题 0 0 yy yxfy xx 一阶初值问题 一阶初值问题 初始条件 二阶初值问题 初始条件 二阶初值问题 00 00 yyyy yyxfy xxxx 初始条件初始条件 g y dyf x dx 形如形如 1 可分离变量的微分方程1 可分离变量的微分方程 解法解法 dxxfdyyg 二 一阶微分方程的解法 二 一阶微分方程的解法 x y f dx dy 形如 形如2 齐次方程2 齐次方程 解法解法 x y u 作变量代换作变量代换 dxx f dyy 形如 形如 x v y 1 dy P x yQ x dx 0 xQ当当上方程称为上方程称为齐次的齐次的 上方程称为 上方程称为非齐次的非齐次的 0 xQ当当 y y 关于未知函数都是一次的 关于未知函数都是一次的 线性方程 线性方程 线性方程 线性方程 0 yxP dx dy 齐次方程的通解为齐次方程的通解为 1 P x dx C yCeCe 1 线性齐次方程 1 线性齐次方程 一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法 使用分离变量法 使用分离变量法 xQyxP dx dy 2 线性非齐次方程 2 线性非齐次方程 xQyxP dx dy 常数变易法 常数变易法 作变换作变换 P x dx yu x e CdxexQxu dxxP P x dxP x dxP x dx CeeQ x edx 对应齐次对应齐次对应齐次对应齐次 方程通解方程通解方程通解方程通解 非齐次方程特解非齐次方程特解非齐次方程特解非齐次方程特解 0 0 C P x dxP x dx yeQ x edxC 一阶线性非齐次微分方程一阶线性非齐次微分方程 xQyxP dx dy 的通解为 的通解为 2 R y dyR y dy xeS y edyC 2 dx R y xS y dy 的通解为 的通解为 或用常数变易法 或用常数变易法 伯努利 伯努利 Bernoulli 方程的标准形式 方程的标准形式 n yxQyxP dx dy 1 0 n 方程为线性微分方程 方程为非线性微分方程 方程为线性微分方程 方程为非线性微分方程 时 当时 当1 0 n 时 当时 当1 0 n 解法 解法 变量代换变量代换化为线性微分方程 化为线性微分方程 1 n zy 令 令 求出通解后 将代入即得求出通解后 将代入即得 n yz 1 1 1 1 1 n n P x dxn P x dx yz eQ xn edxC 伯努利方程 伯努利方程 伯努利方程 伯努利方程 解齐次方程 贝努利方程都用的是变量代换 事实 上 有很多微分方程都要用到变量代换 只是变量 代换灵活多样要根据具体的题目选择代换对象 解齐次方程 贝努利方程都用的是变量代换 事实 上 有很多微分方程都要用到变量代换 只是变量 代换灵活多样要根据具体的题目选择代换对象 1 齐次方程齐次方程 2 线性非齐次方程线性非齐次方程 3 伯努利方程伯努利方程 x y fy xuy 令令 dxxP exuy令令 1 zy n 令令 1 定义 1 定义 0M x y dxN x y dy 则则 du x yM x y dxN x y dy 若有全微分形式若有全微分形式 全微分方程 或恰当方程 全微分方程 或恰当方程 MN yx 全微分方程全微分方程 全微分方程及其求法 全微分方程及其求法 全微分方程及其求法 全微分方程及其求法 2 解法 2 解法 0M x y dxN x y dy 应用曲线积分与路径无关 应用曲线积分与路径无关 通解为通解为 00 0 xy xy u x yM x y dxN xy dy 00 0 yx yx N x y dyM x y dx Cyxu 用直接凑全微分的方法 用直接凑全微分的方法 全微分方程全微分方程 不定积分法不定积分法 定义 定义 0 yx 连续可微函数 使方程 连续可微函数 使方程 0 x y M x y dxx y N x y dy 成为 全微分方程 则称 成为 全微分方程 则称 yx 为方程的为方程的积分因子积分因子 积分因子法 积分因子法 积分因子法 积分因子法 1 公式法 1 公式法 1 MN Nyx xf dxxf ex 1 NM Mxy yg dyyg ey 3 常用微分倒推公式常用微分倒推公式常用微分倒推公式常用微分倒推公式 ddd 1 yxyx ddd 2 xyyxyx ddd 3 yyxx 22 2 1 yx d dd 4 2 y yxxy y x d dd 5 2 x yxxy x y d dd 6 yx yxxy y x ln d dd 7 22 yx yxxy y x arctan d dd 8 22 yx yyxx 22 xy 22 22 1 9 ln 2 xdxydy dxy xy 2 观察法 2 观察法 凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到 yx 可选用的积分因子有可选用的积分因子有 1 1 1 1 2222222 等等 x y y x yxyxxyx 一 一 一 一 一阶微分方程求解一阶微分方程求解一阶微分方程求解一阶微分方程求解 1 1 一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解一阶标准类型方程求解 一阶微分方程一阶微分方程 g y dyf x dx 可分离变量 可分离变量 dyydxx dxxdyy 齐次方程 齐次方程 dy P x yQ x dx 线性方程 线性方程 0 1 n dy P x yQ x yn dx 贝努利方程 贝努利方程 dx R y xS y dy 全微分方程全微分方程全微分方程全微分方程 二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题 注 注 x可作为因变量可作为因变量 2 2 一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解一阶非标准类型方程求解 1 变量代换法变量代换法 2 积分因子法积分因子法 选积分因子选积分因子 解全微分方程解全微分方程 例例例例1 1 求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解 3 2 1 1 0 yx ye y 33 yxyx ee e 因 因故为分离变量方程故为分离变量方程 通解通解 3 2 dd yx y eyex 31 3 yx eeC 22 2 xyxyy 方程两边同除以方程两边同除以 x 即为齐次方程即为齐次方程 0时 x 时 0 x 2 1xuu 2 1xuu 2 1 yy y xx 2 1 yy y xx 令令 y u x 化为分 离变量方程 化为分 离变量方程 2 1 3 2 y xy 32 23 63 4 32 xxy y x yy 调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位 2 d 2 d x xy y 用线性方程通解公式求解 用线性方程通解公式求解 化为化为化为化为 方法方法 1 这是一个齐次方程这是一个齐次方程 方法方法 2 化为化为 3223 63 d 32 d0 xxyxx yyy 故这是一个全微分方程故这是一个全微分方程 x y u 令 6 PQ xy yx 2 5 2lnd ln1 0 xx yy yxx d d 3 d1 d2 ln2 yy y xxxx 伯努利方程 伯努利方程 2 zy 令令 6 ln ln1 xyxya xx 提示提示 这是一阶线性方程这是一阶线性方程 其中其中 1 ln P x xx 1 1 ln Q xa x 2 dyyxy dxxx 7 7 11 22 dyx y dxxxx 4 4 3 3 8 23 xyyx y 解解原式可化为原式可化为 3 2 3 4 2y xy x y 41 2 33 2 3 yyyx x 即即 1 3 zy 令 令 原式变为原式变为 3 2 3 2 xz x z 2 2 3 zzx x 即即 对应齐方通解为对应齐方通解为 3 2 Cxz 一阶线性非齐次方程 伯努利方程 一阶线性非齐次方程 伯努利方程 3 2 xxCz 设设代入非齐方程得代入非齐方程得 2 3 2 xxxC 7 3 3 7 CxxC 原方程的通解为原方程的通解为 7 3 3 2 3 7 3 1 xCxy 利用常数变易法利用常数变易法 22 34 23 9 0 xyx dxdy yy 解解 2 3 y x yy P 4 6x y 22 4 3 Qyx xxy 0 y x Q y P 方程为全微分方程 方程为全微分方程 1 利用原函数法求解 1 利用原函数法求解 2 3 y x x u yxu 则设原函数为则设原函数为 3 2 y y x yxu 求导两边对求导两边对y 331 4 2 4 2 2 y y x y x yy u 2 1 y y 解得解得 1 y y 故方程的通解为故方程的通解为 1 23 2 C yy x 2 利用分项组合法求解 2 利用分项组合法求解 原方程重新组合为原方程重新组合为 2 3 1 0 x dd yy 即即得得 0 1 32 24 2 3 dy y dy y x dx y x 故方程的通解为故方程的通解为 1 23 2 C yy x 3 利用曲线积分求解 3 利用曲线积分求解 32 4 22 1 0 3 Cdy y xy dx y x yx 22 34 01 23 1 xy xyx dxdyC y 即即 1 13 2 1 2 C y x y x yy 故方程的通解为故方程的通解为 1 23 2 C yy x 10 d2 ln yy xyx d d 提示提示 可化为关于可化为关于 x 的一阶线性方程的一阶线性方程d 22ln d xy x yyy 33 d 11 0 d y xyx y x 提示提示 为贝努里方程为贝努里方程 令令 2 zy 22 12 d0 y yx y x xy y xy dd d dd d 提示提示 为全微分方程为全微分方程 通解通解 22 1 arctan 2 x xyC y 42 13 3 d0yxyxy x d d 提示提示 可化为贝努里方程可化为贝努里方程 4 3 d xy yx yx d d 令令 2 zx 例例例例2 2 求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解求下列方程的通解 1 lnln xyyyxy 令令u x y 得得 d ln uu u xx d d ln xyyxy 分离变量方程分离变量方程 原方程化为原方程化为 22 2 sin1 sin2sincos1yyxyxxx 3 3 22 cos2 sin1 sin2sin1yxyxyxx 2 cos sin1 yxyx sin1uyx 令 令 2 uu 2 2xyyxy 提示提示 令令u x y 化成可分离变量方程化成可分离变量方程 2uu 令令y u t 22 363 4 22 xyx y xyy 22 d3 1 d2 1 yxy xy x 齐次方程齐次方程 22 d3 d2 yty tty 令令t x 1 则则 d dd dd yyty xtxt dddddd 可分离变量方程求解可分离变量方程求解 化方程为化方程为 5 22 5 3 d 13 d0yxyxxyy 变方程为变方程为 2 ddy x xy 两边乘积分因子两边乘积分因子 2 y 2d 3 dd 0 x xyyy xx y d d 用凑微分法得通解用凑微分法得通解 21 1 3 2 xyxyC 2 3 dd 0yy xx y 2222 6 2 2 0 xyy dxxyx dy 解解 22 y y P 22 x x Q x Q y P 非全微分方程 非全微分方程 利用积分因子法利用积分因子法 原方程重新组合为原方程重新组合为 2 22 xdyydxdydxyx 22 2 yx xdyydx dydx 1 2 2 x y x y d ln 1 1 lnC x y x y yx 故方程的通解为故方程的通解为 yx yx Ce yx 原方程化为原方程化为 2 10 yxxy 2 uxyx 即即 2 2 yxuu 则则 d d y x 22 d u uxuu x d d 故原方程通解故原方程通解 233 3 2 xyxxyC d2 2 d x x uu 2du u xe 2d 2d u u euC 2 2 1 2duuC u 2 2 2 3 C u u 2u 2 d u x x d d 2 d u u x d d 提示提示 令令 例例例例 3 3 设设F x f x g x 其中函数其中函数f x g x 在在 内满足以下条件内满足以下条件 0 0 fxg xg xf xf 且且 1 求求F x 所满足的一阶微分方程所满足的一阶微分方程 03考研考研 2 求出求出F x 的表达式的表达式 解解 1 Fxfx g xf x g x 22 gxfx 2 2 g xf xf x g x 2 2 2 x eF x 所以所以F x 满足的一阶线性非齐次微分方程满足的一阶线性非齐次微分方程 2 x f xg xe 2 由一阶线性微分方程解的公式得由一阶线性微分方程解的公式得 2d2d 2 4d xx x F xeeexC 24 4d xx eexC 0 0 0 0Ffg 代入上式代入上式 1C 得得 于是于是 22 xx F xee 2 2 4 x FxF xe 22xx eCe 求以求以 22 1xCy 为通解的微分方程为通解的微分方程 提示提示 22 1xCy 2 20 xCyy 消去消去C得得 22 1 1yy 例例例例 4 4 二 解微分方程应用问题 二 解微分方程应用问题 二 解微分方程应用问题 二 解微分方程应用问题 利用共性建立微分方程利用共性建立微分方程 利用个性确定定解条件利用个性确定定解条件 关键问题是正确建立数学模型关键问题是正确建立数学模型 要点要点 6 1 1 已已知某曲线经过点 它的切线在纵轴上知某曲线经过点 它的切线在纵轴上的的 截距等于切点的横坐标 求该曲线的方程截距等于切点的横坐标 求该曲线的方程 解解 yy x 设曲线的方程为设曲线的方程为 x y在点处的切线在点处的切线为为 Yyy Xx 该曲线在纵轴上的截距该曲线在纵轴上的截距为为 yy x 由由题设得方题设得方程程 yy xx 1 1 又又曲线经过点 故得初始条件曲线经过点 故得初始条件 1 1 x y yxM y xo tanxxy x 例例例例 5 5 1 1 1 1 x yy x y 故得初值问题故得初值问题 11 dxdx xx yeedxC 方程的通解 1方程的通解 1 1 xdxC x ln x Cx 1 1 x y 代入初始条件代入初始条件1C 得得 故所求曲线方程故所求曲线方程为为 1ln yxx 二阶微分方程的解法及应用二阶微分方程的解法及应用 习题课 二 习题课 二 第十章第十章第十章第十章 微分方程习题课微分方程习题课微分方程习题课微分方程习题课 一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容 二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题 定义 设定义 设 n yyy 21 为定义在区间 内的为定义在区间 内的 n个函数 如果存在 个函数 如果存在 n个不全为零的常数 使得当 个不全为零的常数 使得当x在该区间内有恒等式成立 在该区间内有恒等式成立 0 2211 nny kykyk 那么称这 个函数在区间 内 那么称这 个函数在区间 内线性相 关 线性相 关 否则称否则称线性无关线性无关 I n I 1 1 线性相关与线性无关 线性相关与线性无关 线性相关与线性无关 线性相关与线性无关 特别地特别地 若在若在 I 上有上有常数 常数 2 1 xy xy 则函数则函数 1 xy与与 2 xy在在 I 上上线性无关线性无关 2 0 yx 一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容一 主要内容 1 1 1 1 二阶齐次方程解的结构 二阶齐次方程解的结构 二阶齐次方程解的结构 二阶齐次方程解的结构 定理 1 定理 1 如果函数如果函数 1 xy与与 2 xy是方程 1 的两个 解 那末 是方程 1 的两个 解 那末 2211 yCyCy 也是 1 的解 也是 1 的解 21 C C是常 数 是常 数 即它的解满足叠加原理即它的解满足叠加原理 1 0 yxQyxPy 2 2 线性微分方程的解的结构 线性微分方程的解的结构 线性微分方程的解的结构 线性微分方程的解的结构 定理 2定理 2 如果 如果 1 xy与与 2 xy是方程 1 的两个线性无关的 特解 即 是方程 1 的两个线性无关的 特解 即 1 2 yx yx 常数常数 那么 那么 2211 yCyCy 就是方程 1 的通解 就是方程 1 的通解 2 2 2 2 二阶非齐次线性方程的解的结构 二阶非齐次线性方程的解的结构 二阶非齐次线性方程的解的结构 二阶非齐次线性方程的解的结构 定理 3定理 3 设 设 y是二阶非齐次线性方程 是二阶非齐次线性方程 2 xfyxQyxPy 的一个特解 的一个特解 Y是与 2 对应的齐次方程 1 的通解 那么是与 2 对应的齐次方程 1 的通解 那么 yYy 是二阶非齐次线性微分方程 2 的通解 是二阶非齐次线性微分方程 2 的通解 定理 4 定理 4 设非齐次方程 2 的右端 设非齐次方程 2 的右端 xf是几个函数之和 如是几个函数之和 如 21 xfxfyxQyxPy 而而 1 y与与 2 y分别是方程 分别是方程 1 xfyxQyxPy 2 xfyxQyxPy 的特解 那么 的特解 那么 2 1 yy 就是原方程的特解 就是原方程的特解 解的叠加原理解的叠加原理 7 0 2 qprr 0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式 实根实根 21 rr 实根实根 21 rr 复根复根 ir 2 1 xrxr eCeCy 21 21 xr exCCy 2 21 sincos 21 xCxCey x 3 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 特征方程的根通解中的对应项特征方程的根通解中的对应项 若是重实根若是重实根kr 1 011 rxk k eCC xCx 若是 重共轭 复根 若是 重共轭 复根 k i 1 011 1 011 cos sin xk k k k eCC xCxx DD xDxx 单实根单实根r rx Ce 一对单复根一对单复根 12 cossin x eCxCx 1 11 0 nn nn yp ypyp y 特征方程为特征方程为 1 11 0 nn nn rp rprp 待定系数法 待定系数法 ypyqyf x 对应齐次方程对应齐次方程 0ypyqy 通解结构通解结构 1 2 yY是的一个特解 是的通解 是的一个特解 是的通解 yYy 0 2 qprr 特征根的情况特征根的情况 Y 实根实根 21 rr 实根实根 21 rr 复根复根 ir 2 1 12 12 r xr x YC eC e 2 12 r x YCC x e 12 cossin x YeCxCx 4 二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程 可以是复数 可以是复数 1 xPexf m x kx m yx eQx 是重根 是单根 不是根 是重根 是单根 不是根 2 1 0 k sin cos 2 xxPxxPexf nl x 1 2 cos sin kx mm yx eRxxRxx nlm max 1 0 是单根 不是根 是单根 不是根 i i k ypyqyf x 5 可降阶微分方程的解法 可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法 n yf x 令令 d d y p x x d d p f x p x 令令 d d y p y x d d p pf y p y 逐次积分求解逐次积分求解 yf x y yf y y 二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题二 典型例题 2 1 2 y y y 求通解求通解例1例1 解解 x方程不显含方程不显含 dp ypyp dy 令令 代入方程 得代入方程 得 2 1 2 dpp p dyy 2 1 1 pC y 解得 解得 1 1 pC y 1 1 dy C y dx 即即 故方程的通解为故方程的通解为 1 2 21 1 CxyC C 8 2 1 1 1 xx yyyxeeyy 求特解求特解 例2例2 解解特征方程特征方程 012 2 rr 特征根特征根 1 21 rr 对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为 21 x exCCY 设原方程的特解为设原方程的特解为 2 x ebaxxy 2 3 23 x ebxxbaaxy 则则 2 46 6 23 x ebxbaxbaaxy yyy 将代入原方程比较系数得将代入原方程比较系数得 2 1 6 1 ba 原方程的一个特解为原方程的一个特解为 26 23 xx e x e x y 故原方程的通解为故原方程的通解为 26 23 21 xxx e x e x exCCy 1 1 y 1 3 1 21 eCC 6 1 3 221 x e x xCCCy 1 1 y 1 6 5 2 21 eCC 3 11 21 e CC 6 51 2 21 e CC 由 解得 由 解得 1 2 1 6 12 2 1 e C e C 所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为 26 1 2 1 6 12 23 xxx e x e x ex ee y 1 4 cos2 2 yyxx 求解方程求解方程例3例3 解解特征方程特征方程 04 2 r 特征根特征根 2 2 1 ir 对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为 2sin2cos 21 xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为 2 1 yyy 1 1 baxy 设设 1 ay 则则 0 1 y 得代入 得代入xyy 2 1 4 xbax 2 1 44 由由 04 b 2 1 4 a 解得解得 0 b 8 1 a 8 1 1 xy 2sin2cos 2 2 xdxcxy 设设 2sin 2 2cos 2 2 xcxdxdxcy 则则 2sin 44 2cos 44 2 xdxcxcxdy 1 4cos2 2 yyx 代入 得代入 得 故原方程的通解为故原方程的通解为 2sin 8 1 8 1 2sin2cos 21 xxxxCxCy 2cos 2 1 2sin42cos4xxcxd 由由 04 c 2 1 4 d 即即 8 1 d 0 c 2sin 8 1 2 xxy 12 cossinyCxCxx 特征根特征根 1 2 ri 例例例例 4 4 求微分方程求微分方程求微分方程求微分方程 2 yyxx 0 0 x y 0 0 x y 提示提示 2 时当 x 故通解为故通解为 2 sin yxxx 2 40 yyx 满足条件满足条件 2 x 在在 解满足解满足 yyx 0 0 x y 0 0 x y 处连续且可微的解处连续且可微的解 设特解设特解 yAxB 代入方程定代入方程定A B 得得yx 00 0 0 xx yy 利利用用得得 2 x 由由处的衔接条件可知处的衔接条件可知 2 时当 x 40yy 2 2 1 x y 2 1 x y 解满足 故所求解为 解满足 故所求解为 y sin xx 1 222 sin2 1 cos2 xxx 2 x 12 sin2cos2yCxCx 其通解其通解 定解问题的解定解问题的解 1 222 sin2 1 cos2 yxxx 9 例例例例 5 5 二阶导数连续设xf且满足方程且满足方程 0 sin x f xxxt f t dt f x求求 提示提示 00 sin xx f xxxf t dtt f t dt 则则 cosfxx sin fxxf x 0 x f t dt x f x x f x 问题化为解初值问题问题化为解初值问题 sinfxf xx 0 0 f 0 1 f 最后求得最后求得 1 sincos 22 x f xxx 思考思考 设设 0 d 0 0 x x xexx uu x 如何求如何求 提示提示 对积分换元对积分换元 tx u 令令则有则有 0 d x x xett x xex 解初值问题解初值问题 x xxe 0 0 0 1 答案答案 11 21 44 xx xexe 的解的解 例例例例 6 6 设函数设函数 yy x 在 在 0的函数是xyyyxxy 内具有连续二阶导内具有连续二阶导 1 试将试将x x y 所满足的微分方程 变换为 所满足的微分方程 变换为y y x 所满足的微分方程所满足的微分方程 2 求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 2 3 2 dd sin 0 dd xx yx yy 0 0 y 数数 且且 3 0 2 y 解解 d1 d x yy d 1 d x y y 即即 上式两端对上式两端对x求导求导 得得 1 由反函数的导数公式知由反函数的导数公式知 2 2 2 dd 0 dd xx yy yy 2 22 d dd d x y xy yy 3 y y 代入原微分方程得代入原微分方程得 sinyyx 2 方程 的对应齐次方程的通解为方程 的对应齐次方程的通解为 12 xx YC eC e 设 的特解为设 的特解为cossin yAxBx 代入 得代入 得A 0 1 2 B 1 sin 2 yx 故故从而得 的通解从而得 的通解 12 1 sin 2 xx yC eC ex 由初始条件由初始条件 3 0 0 0 2 y y 得得 12 1 1CC 故所求初值问题的解为故所求初值问题的解为 1 sin 2 xx yeex yx yf x 有特有特 1 y x 解解而对应齐次方程有解而对应齐次方程有解 2 xy xf x 求及求及 微分方程的通解微分方程的通解 解解 0 2 yxyxy 代入将 x x 1 得 代入再将 x y 1 1 xfy x y 3 3 x xf 得 故所给二阶非齐次方程为故所给二阶非齐次方程为 3 31 x y x y xpy 令方程化为方程化为 3 31 x p x p 设二阶非齐次方程设二阶非齐次方程 一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程 例7例7 3 31 x p x p 故故py x x e d 1 xC x 1 2 1 再积分得通解再积分得通解 2 2 1 1 CxC x y 1 2 1 1 CC 1 d 1 3 d 3 Cxe x x x 10 例例例例8 8 8 8 已知微分方程已知微分方程 yp x yq x yf x 个解个解 2 123 e e xx yx yy 求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件 0 1 0 3yy 的特解 的特解 解 解 2131 yyyy 与 与是对应齐次方程的解 且是对应齐次方程的解 且 21 2 31 e e x x yyx yyx 常数 因而线性无关 故原方程通解为 常数 因而线性无关 故原方程通解为 2 12 e e xx yCxCx x 代入初始条件代入初始条件 0 1 0 3 yy 12 1 2 CC 得得 2 2ee xx y 故所求特解为 有三 故所求特解为 有三 00 xx x xxett dtxt dtx 设连续 且满足 求设连续 且满足 求 解解 0 x x xexxt dtxx 0 x x et dt x xex 0 1 0 1 又又 0 1 0 1 x xxe 练习 1 练习 1 初值问题初值问题 方程的通解方程的通解为为12 1 cossin 2 x xCxCxe 12 1 sincos 2 x xCxCxe 又又 代入初始条件代入初始条件得得 12 1 1 2 x CCe 11 1 cossin 22 xx xexxe 所以所以 2 求以求以 2 12 xx yC eC e 为通解的微分方程为通解的微分方程 提示提示 由通解式可知特征方程的根为由通解式可知特征方程的根为 2 1 21 rr 故特征方程为故特征方程为 0 2 1 rr 023 2 rr即 因此微分方程为因此微分方程为023 yyy 3求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解 2 1 10 yyy 2 25sin2 yyyx 提示提示 1 令令 ypy 则方程变为则方程变为 01 d d 2 p y p py y y p ppd 1 d 2 即 特征根特征根特征根特征根 2 25sin2yyyx 21 2 1 ir 齐次方程通解齐次方程通解 2sin2cos 21 xCxCeY x 令非齐次方程特解为令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos 代入方程可得代入方程可得 17 4 17 1 BA 思 考 若 思 考 若 2 中非齐次项改为中非齐次项改为 sin2x 提示提示 sin 2 2cos12x x xBxAy2sin2cos 故D 原方程通解为原方程通解为 xx2sin2cos 17 4 17 1 2sin2cos 21 xCxCey x 特解设法有何变化特解设法有何变化 4 4 求解求解求解求解 0 2 yay 0 0 x y 1 0 x y 提示提示 令令 xpy 则方程变为则方程变为 2 d d pa x p 积分得积分得 1 1 Cxa p 利用利用1 00 xx yp1 1 C得 再解再解 1 1 d d xax y 并利用并利用 0 0 x y定常数定常数 2 C 思考若问题改为求解思考若问题改为求解 0 3 2 1 yy 0 0 x y1 0 x y 则求解过程中得则求解过程中得 1 1 2 x p 问开方时正负号如何确定问开方时正负号如何确定 常数 则该方程的通解是 常数 则该方程的通解是 123 yyy 5 设线性无关函数都是二阶非齐次线 性方程 5 设线性无关函数都是二阶非齐次线 性方程 yP x yQ x yf x 的解 的解 21 C C是任意是任意 11223 AC yC yy 1122123 BC yC yCCy 1122123 1 CC yC yCCy 1122123 1 DC yC yCCy D 提示 提示 1323 yyyy 都是对应齐次方程的解 二者线性无关 都是对应齐次方程的解 二者线性无关 反证法可证 反证法可证 1132233 CCyyCyyy 1132233 DCyyCyyy 11 6 设设 1 1 xxxxxx eeexeexe yP x yQ x yf x 1 xxxx eeexe 都是方程 的解 求该方程通解 都是方程 的解 求该方程通解 解 解 易知易知 1 x xe 常数 均为方程 的特解 且 常数 均为方程 的特解 且 0yP x yQ x y 所以 所以 12 xx yYycc xee 是原方程通解 则 是原方程通解 则 12 x Ycc xe 为 的通解 为 的通解 0yP x yQ x y 7 7 求解定解问题求解定解问题求解定解问题求解定解问题 0 0 0 0 123 yyy yyy 解 本题特征方程为解 本题特征方程为 32 320 rrr 其根为 设非齐次方程特解为 其根为 设非齐次方程特解为 xby 代入方程得代入方程得 12 b故故 2 1 xy 0 321 CCC 2 1 32 2 CC 2 1 0 321 rrr 故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为 1 CY x C e 2 x C 2 3e 原方程通解为 原方程通解为 x 2 1 1 Cy x C e 2 x C 2 3e 由初始条件得 由初始条件得 04 32 CC 0 解得解得 4 1 1 4 3 3 2 1 C C C 于是所求解为于是所求解为 xy xx 2 1 e 4 1 e 4 3 2 ee423 4 1 2xx x 8 8 xyyysin2 1 4 解解 1 特征方程特征方程 012 24 rr 0 1 22 r即 有二重根有二重根i r所以设非齐次方程特解为所以设非齐次方程特解为 2 xy sincosxbxa 2 特征方程特征方程 0 24 rr0 1 22 rr即有根有根 i 0 4 32 1 rr xxyy x sin3e 2 4 利用叠加原理利用叠加原理 可设非齐次方程特解为可设非齐次方程特解为 2 baxxy x ce sincos xkxdx 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式 二 微分方程的应用 二 微分方程的应用 二 微分方程的应用 二 微分方程的应用 1 建立数学模型建立数学模型 列微分方程问题 建立微分方程 列微分方程问题 建立微分方程 共性共性 利用物理规律 利用几何关系 确定定解条件 利用物理规律 利用几何关系 确定定解条件 个性个性 初始条件 边界条件 可能还要衔接条件 初始条件 边界条件 可能还要衔接条件 2 解微分方程问题解微分方程问题 3 分析解所包含的实际意义分析解所包含的实际意义 一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子 上 运动开始时 链条的一边下垂 米 另一边 下垂 米 试问整个链条滑过钉子需多少时间 一质量均匀的链条挂在一无摩擦的钉子 上 运动开始时 链条的一边下垂 米 另一边 下垂 米 试问整个链条滑过钉子需多少时间 解解 例1例1 米链条下滑了经过时间 设链条的线密度为 米链条下滑了经过时间 设链条的线密度为 xt 则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得 2 2 18 10 8 d x xgxg dt 0 0 0 0 99 gg xxxx 即即 o x m8 m10 解此方程得解此方程得 11 33 1 1 2 gtgt x tee 8 x即整个链条滑过钉子 即整个链条滑过钉子代入上式得代入上式得 809ln 3 秒 秒 g t 例2例2 00 0 1 0 oxA v voy v 位于坐标原点的我舰向位于轴上点位于坐标原点的我舰向位于轴上点处处 的的敌舰发射导弹 导弹始终对准敌舰 设敌舰以敌舰发射导弹 导弹始终对准敌舰 设敌舰以最最 大大速度 为常数 沿平行于的直线行驶 又设速度 为常数 沿平行于的直线行驶 又设导导 弹弹的速度为2 求导弹的航行轨迹方程 的速度为2 求导弹的航行轨迹方程 x y o p x y 1 0 A 0 1 Qv t 解解 0 1 yy x t p x y Qv t 设航行轨迹方程为 则轨迹上每点的切线方 设航行轨迹方程为 则轨迹上每点的切线方向向 就是导弹的方向 如图就是导弹的方向 如图 设经过时间 后 导弹位设经过时间 后 导弹位于于 点 处 此时敌舰点 处 此时敌舰位位 于于点点 12 由由题意得题意得 0 2 0 0 1 21 x v tydy dxx v ty dx t两两式消掉式消掉 得得 2 0 1 1 1 2 x x yyy dx x两两边对 求导并整理边对 求导并整理得得 2 1 1 1 2 x yy yf x y 为为型型 0 0 0 0 x x yy 初始条件 初始条件 2 2 1 1x pp yp 令方程化 令方程化为为 分离变量分离变量得得 2 2 1 1 dpdx x p 2 1 1 ln 1 ln 1 ln 2 ppxC 2 1 1 1 C pp x 即即 0 0 0 x x py 由由得得1 1 C 从从而而 2 11 6 yyx 2 1 1 5 1 yy x 11 1 21 yx x 5 6 得得 3 2 2 1 1 1 3 yxxC 0 0 x y 由由得得 2 2 3 C 于于是导弹的运动轨迹是导弹的运动轨迹为为 3 2 12 1 1 33 yxx 例例例例3 3 解解 欲向宇宙发射一颗人造卫星欲向宇宙发射一颗人造卫星 为使其摆脱地球 引力 为使其摆脱地球 引力 初始速度应不小于第二宇宙速度初始速度应不小于第二宇宙速度 试计算此速度试计算此速度 设人造地球卫星质量为设人造地球卫星质量为 m 地球质量为地球质量为 M 卫星 的质心到地心的距离为 卫星 的质心到地心的距离为 h 由牛顿第二定律得由牛顿第二定律得 22 2 d d h mMG t h m 0 0 d d v t h Rh t 0 v为 G 为引力系数为引力系数 则有初值问题则有初值问题 22 2 d d h MG t h 又设卫星的初速度又设卫星的初速度 已知地球半径 5 1063 R d d hv t h 设 d d d d 2 2 h v v t h 则 代入原方程代入原方程 得得 2 d d h MG h v v h h MG vvdd 2 两边积分得两边积分得 C h MG v 2 2 1 利用初始条件利用初始条件 得得 R MG vC 2 0 2 1 因此因此 Rh MGvv 11 2 1 2 1 2 0 2 2 2 1 limv hR MGv 1 2 1 2 0 注意到注意到 为使为使 0 v应满足 0 v R MG v 2 0 因为当因为当h R 在地面上在地面上 时时 引力引力 重力重力 sm81 9 2 2 ggm h mMG 即即 2g RMG 故 代入代入 即得即得 81 9106322 5 0 gRv s m102 11 3 这说明第二宇宙速度为这说明第二宇宙速度为 skm2 11 求质点的运动规求质点的运动规 例例例例4 4 上的力上的力 F 所作的功与经过的时间所作的功与经过的时间 t 成正比成正比 比例系数比例系数 00 vs初始速度为初始位移为 tss 律 提示提示 d 0 tksF s s 由题设两边对两边对 s 求导得求导得 s t kF d d 牛顿第二定律牛顿第二定律 s t k t s m d d d d 2 2 m k t s t s 2 2 d d d d td d 2 d d t s m k2 2 d d t s 1 2 Ct m k 为为 k 开方如何定开方如何定 已知一质量为已知一质量为 m 的质点作直线运动的质点作直线运动 作用在质点作用在质点 13 y o y 从船上向海中沉放某种探测仪器从船上向海中沉放某种探测仪器 按探测 要求 按探测 要求 需确定仪器的下沉深度需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度与下沉速度 v 之间的函 数关系 之间的函 数关系 设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用在下沉过程中还受到阻力和浮力作用 设仪器质量为设仪器质量为 m 体积为体积为B 海水比重为海水比重为 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 比例系数为比例系数为 k k 0 试建立试建立 y 与与 v 所满足的微分 方程 所满足的微分 方程 并求出函数关系式并求出函数关系式 y y v 95考研考研 提示提示 建立坐标系如图建立坐标系如图 质量质量 m 体积体积 B 由牛顿第二定律由牛顿第二定律 B 2 2 d d t y mvk 重力浮力 阻力重力浮力 阻力 mg t v t y d d d d 2 2 t y y v d d d d y v v d d 注意注意 例例例例5 5 5 5 Bgm vkBgm k Bgmm v k m y ln 2 vkBgm y v vm d d 初始条件为初始条件为0 0 y v 用分离变量法解上述初值问题得用分离变量法解上述初值问题得 y o y 质量质量 m 体积体积 B 得得 3 9 6 3 1 3963 n xxxx xy n 1 验证函数验证函数 x 满足微分方程满足微分方程 x eyyy 2 利用利用 1 的结果求幂级数的结果求幂级数 3 3 0 n x n n 的和的和 解解 1 3 9 6 3 1 3963 n xxxx xy n 13 8 5 2 13852 n xxxx xy n 23 7 4 2374 n xxx xxy n 例例例例6 6 6 6 0 n xn n 所以所以 yyy x e 2 由由 1 的结果可知所给级数的和函数满足的结果可知所给级数的和函数满足 x eyyy 1 0 y0 0 y 其特征方程其特征方程 01 2 rr特征根特征根 ir 2 3 2 1 2 1 齐次方程通解为 齐次方程通解为 2 3 sin 2 3 cos 21 2 1 xCxCeY x 设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为 x eAy 代入原方程得代入原方程得 3 1 A 故非齐次方程通解为故非齐次方程通解为 x e 3 1 2 3 sin 2 3 cos 21 2 1 xCxCey x 代入初始条件可得代入初始条件可得 0 3 2 21 CC 故所求级数的和故所求级数的和 3 1 2 3 cos 3 2 2 1 xexe x x 3 3 0 n x n n 为曲边的