全等三角形与旋转问题.doc

1 七年级数学下七年级数学下 全等三角形全等三角形 1 如图 点为线段上一点 是等边三角形 CABACM CBN 请你证明 平分 ANBM DEAB CFAFB M D N E CB F A 2 如图 点为线段上一点 是等边三角形 是中点 是中点 CABACM CBN DANEBM 求证 是等边三角形 CDE MD N E CBA 3 如下图 在线段同侧作两个等边三角形和 点与点分别AEABC CDE 120ACE PM 是线段和的中点 则是 BEADCPM A 钝角三角形 B 直角三角形 C 等边三角形 D 非等腰三角形 P M B C D E A D E C B A 4 如图 等边三角形与等边共顶点于点 求证 ABC DEC CAEBD 2 5 如图 是等边内的一点 且 问的度数是DABC BDAD BPAB DBPDBC BPD 否一定 若一定 求它的度数 若不一定 说明理由 P D CB A 6 如图 等腰直角三角形中 为中点 求证 ABC90B ABa OACEOOF 为定值 BEBF O B E CF A 7 在等腰的斜边上取两点 使 记 Rt ABC ABMN45MCN AMm MNx BNn 则以 为边长的三角形的形状是 A 锐角三角形 B 直角三角形xmn C 钝角三角形 D 随 的变化而变化xmn MN C BA N M D CB A 9 如图所示 是边长为 的正三角形 是顶角为的等腰三角形 以为顶点作ABC 1BDC 120 D 一个的 点 分别在 上 求的周长 60 MDN MNABACAMN 3 8 请阅读下列材料 已知 如图 1 在中 点 分别为线Rt ABC 90BAC ABAC DE 段上两动点 若 探究线段 三条线段之间的数量关系 BC45DAE BDDEEC 小明的思路是 小明的思路是 把绕点顺时针旋转 得到 连结 使问题得到解决 请你AEC A90 ABE E D 参考小明的思路探究并解决下列问题 猜想 三条线段之间存在的数量关系式 BDDEEC 并对你的猜想给予证明 当动点在线段上 动点运动在线段延长线上时 如图EBCDCB 2 其它条件不变 中探究的结论是否发生改变 请说明你的猜想并给予证明 图 1 A B C D E 图 2 A B C DE 12 平面上三个正三角形 两两共只有一个顶点 求证 与平分 ACFABDBCEEFCD F E D B C A 4 10 在等边的两边AB AC所在直线上分别有两点M N D为外一点 且ABC ABC 探究 当点M N分别爱直线AB AC上移动时 60MDN 120BDC BDCD BM NC MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系 AMN ABC 如图 当点M N在边AB AC上 且DM DN时 BM NC MN之间的数量关系式 此时 Q L 如图 当点M N在边AB AC上 且时 猜想 1 问的两个结论还成立吗 写出你DNDM 的猜想并加以证明 如图 当点M N分别在边AB CA的延长线上时 若AN x 则Q 用x L表示 13 已知 如图 都是等边三角形 且 共线 ABC CDE EHK ADKADDK 求证 也是等边三角形 HBD E K H C D B A M A B D C H K E 5 11 1 如图 在四边形ABCD中 AB AD B D E F分别是边BC CD上的点 90 且 EAF BAD 求证 EF BEFD 1 2 F E D CB A 2 如图 在四边形ABCD中 AB AD B D E F分别是边BC CD上的点 180 且 EAF BAD 1 中的结论是否仍然成立 不用证明 1 2 F E D C B A 14 如图所示 在五边形中 求此五边形ABCDE90BE ABCDAE 1BCDE 的面积 E D C B A 15 在五边形中 已知 连接 ABCDEABAE BCDECD 180ABCAED AD 求证 平分 ADCDE E DC B A 6 16 如图 已知和都是等边三角形 在一条直线上 试说明与ABC ADE BCDCE 相等的理由 ACCD E D C B A 17 在梯形中 是中点 试判断ABCDABCD 90A 2AB 3BC 1CD EAD 与的位置关系 并写出推理过程 ECEB AB C D E 18 在等腰直角中 是的中点 点从出发向运动 ABC 90ACB ACBC MABPBC 交于点 试说明的形状和面积将如何变化 MQMP ACQMPQ A P M C Q B 19 等边和等边的边长均为 1 是上异于的任意一点 是上ABD CBD EBEAD AD FCD 一点 满足 当移动时 试判断的形状 1AECF EF BEF D F E C B A 7 答案 答案 1 是等边三角形 ACM CBN MCAC CNCB ACNMCB 由易推得 所以 又ACNMCB ANBM ACNMCB NDCBEC CDCE 进而可得为等边三角形 易得 过点作于 60MCN DEC DEAB CCGAN G 于 由 利用进而再证 可得 故CHBM HACNMCB AASBCHNCD AFCBFC 平分 CFAFB 2 又 分别是 的中点 ACNMCB ANBM ABMANC DEANBM BCENCD CECD BCENCD 是等边三角形60DCENCDNCEBCENCENCB CDE 3 易得 所以可以看成是绕着点顺时针旋转而得到的 又为ACDBCE BCE ACD C60 M 线段中点 为线段中点 故就是绕着点顺时针旋转而得 所以且 ADPBECPCMC60 CPCM 故是等边三角形 选 C 60PCM CPM 4 是等边三角形 ABC 60ACB ACBC 同理 60BCDDCA 60ACEDCA DCEC BCDACE 在与中 BCD ACE BCAC BCDACE DCEC BCDACE BDAE 5 连接 将条件 这两个条件 易得 得CDBDAD BPAB ACDBCD SSS 由 公共边 知 1 30 2 BCDACDACB BPABBC DBPDBC BDBD 故的度数是定值 BDPBDC SAS30BPDBCD BPD A BC D P 4 3 2 1 O B E CF A M D N C BA 6 连结由上可知 而 OB1290 2390 13 445C OBOC OBEOCF BEFC BEBFCFBFBCa 7 如图 将绕点顺时针旋转 得 连结 则 CBN C90 CAD MDADBNn CDCN ACDBCN MCDACMACD ACMBCN 904545MCN 又易得 在中 MDCMNC MDMNx 454590DAM Rt AMD 8 有 故应选 B 222 mnx 8 证明 根据绕点顺时针旋转得到 222 DEBDEC AEC A90 ABE AECABE 在中 BEEC AEAE CABE EACE AB Rt ABC ABAC 即 45ABCACB 90ABCABE 90E BD 222 E BBDE D 又 即 45DAE 45BADEAC 45E ABBAD 45E AD AE DAED DE DE 222 DEBDEC E E D C B A F ED C B A 关系式仍然成立 证明 将沿直线对折 得 连 222 DEBDEC ADB ADAFD FE AFDABD AFAB FDDB FADBAD AFDABD 又 ABAC AFAC 45FAEFADDAEFAD 9045EACBACBAEDAEDABDAB FAEEAC 又 AEAE AFEACE FEEC 45AFEACE 180135AFDABDABC 1354590DFEAFDAFE 在中 即 Rt DFE 222 DFFEDE 222 DEBDEC 9 如图所示 延长到使 在与中 ACECEBM BDM CDE 因为 所以 故 BDCD 90MBDECD BMCE BDMCDE MDED 因为 所以 又因为 120BDC 60MDN 60BDMNDC BDMCDE 所以 在与中 60MDNEDN MND END DNDN 60MDNEDN DMDE 所以 则 所以的周长为 MNDEND NEMN AMN 2 N M E D C B A 10 BM NC MN 2 3 Q L 9 2 猜想 仍然成立 证明 如图 延长AC至E 使CE BM 连接DE 120BDCDBDC 且 由是等边三角形 30DBCDCB ABC 90MBDNCD MBDECD SAS 在与中 DMDEBDMCDE 60EDNBDCMDN MDN EDN DMDE MDNEDN DNDN MDNEDN SAS MNNENCBM 的周长 AMN QAMANMN AMBMANNC 2ABACAB 而等边的周长 3 ABC 3LAB 2 3 Q L 2 2 3 xL 11 证明 延长EB到G 使BG DF 联结AG ABG ABC D AB AD 90 AG AF ABGADF 12 1 1323 2 EAFBAD GAE EAF 又 AE AE EG EF EG BE BG EF BE FD AEGAEF 2 1 中的结论仍然成立 EFBEFD 12 连接与 DEDFDBAEBC BADCAF DBEABC BACDAF 在与中 DBE ABC DBAB DBEABC BEBC SAS DBEABC DECAFC 在与中 DFA BCA DABA DAFBAC AFAC SAS DFABCA DFBCEC 为平行四边形 互相平分 DECFEFCD 13 连结 所以 并且与的夹角为 EBCECD CEEA BEAD BEAD BEAD60 延长交于 则EBAKM360300EBHBHDHDEBEDHDMMDEMEDDMMDEMEDHDMHDK 又因为 所以 所以 HKADBE BHHD BEHDKH HKHE EHDEHDDHKBHE 14 连接 则发现 且 是底 高各为 的AFABC AEF 1FD AFAC AEAB ADF 1 三角形 其面积为 而与全等 从而可知此五边形的面积为 1 2 ACD AFD 1 15 连接 由于 我们以为中心 将逆时针旋转到ACABAE 180ABCAED AABC 的位置 因 所以点与点重合 而 AEF ABAE BE180AEFAEDABCAED 10 所以 在一条直线上 点旋转后落在点的位置 且 DEFCFAFAC EFBC 所以 在与中 因为 DFDEEFDEBCCD ACD AFD ACAF CDFD ADAD 故 因此 即平分 ACD AFD ADCADF ADCDE F E D C B A F E DC B A F E D C BA 16 答案 ACAB CAEBAD AEAD AECADB 又 CEBD BDBCCDACCD CEACCD 17 答案 延长交延长线于点 是中点 BECDFE ADDEAE 在和中 ABCD 90A 90EDFEAB ABEDFE AEB FED 又 ABEDFE EABEDF AEDE AEBFED FEBE 2 3 1ABBCCD CFBC 在和中 FCE BCE FCBC CECE FEBE FCEBCE CEEB 18 答案 连接 因为且 所以 CMACBC 90ACB 45B 因为是的中点 所以 且 则 MAB90AMCBMC 45ACM CMBM ACMB 因为 所以 所以 MQMP