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第三章 解析延拓与孤立奇点 根据零点与极点的关系 即 如果b点是函数f x 的一个m阶零点则b点就是函数的一个m阶极点 反之亦然 来寻找函数的极点 并判断极点的阶数 无穷远点的性质 复变函数 单值函数多值函数本节研究复变函数中的多值函数 一 多值函数w f Z 定义 对于自变量z的每一个值 一般有两个或者两个以上的函数值w与之对应 注意 复变函数的多值性源于函数幅角的多值性 多值函数有 根式函数 对数函数 反三角函数 定义 支点 对于每一个特定的多值函数 都存在一些特殊的点 当Z 环绕该点转一圈回到原处时 w z 的值将由一个单值分支变到 另一个单值分支 这些特殊的点就称为多值函数的支点 二 多值函数函数值的确定 多值函数的研究方法 首先将多个单值分支分开 在多值函数的两个支点之间做割缝 并规定 Z在连续变化过程中不能跨越割缝 下一步是规定割缝上下岸的幅角值 这样就完全确定了函数的单值分支 1 根据以上方法确定那个函数的单值分支后 在一个单值分支中研究函数 先确定函数的模 再通过变量Z的变化路径可求得相应的函数值的幅角值 2 在已知函数在某一点Z的值的情况下 也可以不做割缝 而是规定Z由参考点到终点的变化路径 因为上一种方法做割缝的作用就是限制Z的变化路径 2020 3 12 9 可编辑 三 多值函数的解析性与黎曼面 1 由于多值函数的多值性 不存在 因此多值函数不具有解析性 但是对于它的每一个单值分支 我们可以像前面一样讨论函数的解析性 2 为了把多值函数的多个分枝作为整体来研究 我们引入一个概念 黎曼面 假定某个多值函数只有两个单值分枝 使一个单值分枝确定的z平面的割缝下岸得幅角值与第二个单值分枝确定的平面的割缝上岸幅角值相等 分别使两者的上下面两两粘接起来 这样形成一个完整的双页面 称为该多值函数的黎曼面 在黎曼面的每一页上 函数单值 而在上下两叶的同一位置处 函数值不同 黎曼面 二维调和函数 用u x y 表示两个实变量x和y的二元函数 方程 称为二维拉普拉斯方程 具有连续的二阶导数并满足二维拉普拉斯方程的函数称为二维调和函数 定理一 设复变函数w f z f x iy u x y iv x y 在复平面的区域D内解析 则它的实部u x y 和虚部v x y 都是 x y 平面的区域D内的调和函数 定理二设由 x y 到 u v 的变换为保角变换 即w w z 在区域D内解析 则 如果U x y 满足拉普拉斯方程 则 u v 也满足拉普拉斯方程 且 几种常用的保角变换 1 线性变换其中 a和b是复常数 线性变换只是把图形变为它的相似形 2 幂函数和根式幂函数常用于使的角域变为上半平面 根式常用于使的角域变为上半平面 3 指数函数和对数函数指数函数将的带域变为的角域 对数函数将的角域变为的带域 4 分式线性变换常用于将圆变成圆 而且对于圆的对称点保持为对称点 总结一下保角变换的解题步骤 1 选择适当的保角变换 使问题的边界条件化难为易 2
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