第11章独立性及二项分布.doc

学案64独立性及二项分布导学目标： 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.3.能解决一些简单的实际问题自主梳理1条件概率对于两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为P(A|B)2相互独立事件(1)设A，B为两个事件，若P(A|B)P(A)，则称_(2)若A与B相互独立，则P(B|A)_，P(AB)_.(3)若A与B相互独立，则A与，与B，与也都相互独立3二项分布(1)由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种_的状态，即A与，每次试验中P(A)p0.我们将这样的试验称为n次独立重复试验，也称为_(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.此时称随机变量X服从二项分布记作_自我检测1两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为，则密码被译出的概率为_2一学生通过一种英语听力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是_3已知随机变量X服从二项分布XB，则P(X2)_.4已知P(AB)，P(A)，则P(B|A)_.5一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，在5次测量中至少3次出现正误差的概率是_.探究点一条件概率例1在100件产品中有95件合格品，5件不合格品现从中不放回地取两次，每次任取一件试求：(1)第一次取到不合格品的概率；(2)在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率变式迁移11号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2)从2号箱取出红球的概率是多少？探究点二相互独立事件例2甲、乙两名射击运动员，分别对一目标射击一次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求(1)两人都射中的概率；(2)两人中恰有一人射中的概率；(3)两人中至少一人射中的概率；(4)两人中至多一人射中的概率变式迁移2甲、乙、丙三人分别独立做一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人全做错的概率是.(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率探究点三独立重复试验与二项分布例3(2010天津汉沽一中月考)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落，小球在下落过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中，已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是.(1)求小球落入A袋中的概率P(A)；(2)在容器入口处依次放入4个小球，记为落入A袋中小球的个数，试求3的概率变式迁移3粒子A位于数轴x0处，粒子B位于数轴x2处，这两颗粒子每隔1秒钟向左或向右移动一个单位，设向右移动的概率为，向左移动的概率为.(1)求4秒后，粒子A在点x2处的概率；(2)求2秒后，粒子A、B同时在x2处的概率探究点四综合应用例4甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每次射击是否击中目标相互之间没有影响(1)求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设某人连续2次未击中目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？变式迁移4甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约甲表示只要面试合格就签约；乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响求：(1)至少有1人面试合格的概率；(2)签约人数的分布列1一般地，每一个随机试验都在一定的条件下进行，而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的基础上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率求条件概率，必须理解条件概率的定义及公式，公式中的P(AB)是指事件A、B同时发生的概率2一般地，事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)P(B)，这时，我们称两个事件A、B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件事件的独立是一种对等的性质如果事件A对事件B独立，那么就可以说事件A与B相互独立显然，必然事件与任何事件是相互独立的3独立重复试验概率公式的特点：关于Pn(k)Cpk(1p)nk，它是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率其中，n是重复试验次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n、p、k的意义，才能正确运用公式(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2010湖北改编)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是_2位于坐标原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是_3设每门高射炮击中飞机的概率为0.6，今有一架飞机来犯，需要_门高射炮射击，才能至少以99%的概率击中它4(2011无锡模拟) 一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是_5同时抛掷三颗骰子：设A“三个点数都不相同”，B“至少有一个6点”，则P(B|A)_.6一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为_(用数字作答)7(2010重庆)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为、，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为_8(2010福建)某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_二、解答题(共42分)9(14分)一名学生骑车从家到学校的途中有6个路口，假设他在每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都为.求：(1)这名学生在途中遇到红灯次数的概率分布；(2)这名学生首次遇到红灯或到达目的地而停车时所经过了的路口数的概率分布；(3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率10(14分)设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示方程x2bxc0实根的个数(重根按一个计)(1)求方程x2bxc0有实根的概率；(2)求的概率分布；(3)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2bxc0有实根的概率11(14分)甲、乙两个乒乓球选手进行比赛，他们的水平相当，规定“七局四胜”，即先赢四局者胜，若已知甲先赢了前两局，求：(1)乙取胜的概率；(2)比赛打满七局的概率；(3)设比赛局数为，求的概率分布学案64独立性及二项分布答案自主梳理2(1)事件A、B独立(2)P(B)P(B|A)P(A)P(A)P(B)3.(1)对立伯努利试验(2)XB(n，p)自我检测10.4解析P0.4或P110.4.2解析P(X1)C11.3解析P(X2)C24.4解析P(B|A).5解析PC5C5C5.课堂活动区例1解题导引求条件概率的通常方法是利用条件概率公式P(B|A).这就需要求P(AB)和P(A)如果事件具有等可能特点，还可以看作是基本事件空间改变后的古典概型，利用P(B|A)来计算解设A第一次取到不合格品，B第二次取到不合格品(1)P(A).(2)方法一根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB的概率：P(AB)，所以有P(B|A).方法二事件A发生的条件下，事件空间包含的基本事件个数为nA100199个事件A发生的条件下，事件B包含4个基本事件P(B|A).变式迁移1解记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球则P(B)，P()1P(B)，(1)P(A|B).(2)P(A|)，P(A)P(AB)P(A)P(A|B)P(B)P(A|)P().例2解题导引(1)审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰好有一个发生”等(2)复杂事件的概率拆分为几个互斥事件的和事件，然后利用互斥事件的概率加法公式进行求解(3)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式；正面计数较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算解(1)记事件A：甲射中目标；事件B：乙射中目标两人都射中的概率为P(AB)P(A)P(B)0.80.90.72.(2)两人中恰有一人射中包括“甲中乙不中”、“甲不中乙中”两种情况，其对应事件为互斥事件，则P(A)P(B)P(A)P()P()P(B)0.8(10.9)(10.8)0.90.080.180.26.(3)方法一两人至少有一人射中包括“两人都射中”和“两人有一人射中”两种情况，其概率为P(AB)P(B)P(A)P(A)P(B)P()P(B)P(A)P()0.720.260.98.方法二因为“两人至少有一人射中”与“两人都未射中”互为对立事件所以“两人至少有一人射中”的概率为：1P( )1P()P()10.20.10.98.(4)方法一至多有一人射中包括“有一人射中”和“两人都未射中”，故所求概率为P( )P(A)P(B)P()P()P(A)P()P()P(B)0.020.080.180.28.方法二“至多有一人射中”的对立事件为“两人都射中”，故所求概率为1P(AB)1P(A)P(B)10.720.28.变式迁移2解(1)设甲、乙、丙三人各自做对这道题分别为事件A、B、C，则P(A)，由题意得，解得P(B)，P(C)或P(B)，P(C)，所以乙、丙两人各自做对这道题的概率为和或和.(2)设“甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题”为事件D，则P(D)P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C)，所以甲、乙、丙三人恰有一人做对这道题的概率是.例3解题导引因为小球每次遇到黑色障碍物相互独立，且每次向左(或向右)的概率都是，因此该试验属n次独立重复试验注意n3，P.独立重复试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的解(1)方法一记小球落入B袋中的概率P(B)，则P(A)P(B)1，由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入B袋，所以P(B)33，P(A)1.方法二由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时小球将落入A袋P(A)C3C3.(2)由题意，B.P(3)C31.变式迁移3解(1)要求4秒后，粒子A在x2处的概率，即求粒子A四次移动中恰有三次向右移动发生的概率：C()3().(2)要使粒子A、B在2秒后同时在点x2处，粒子A一定要往右移动2次，而粒子B往右和左各一次，所求概率为：2C.例4解题导引判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：是否为n次独立重复试验随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数解(1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于作4次独立重复试验故P(A1)1P()14，所以甲连续射击4次至少有一次未击中目标的概率为.(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则P(A2)C242；P(B2)C343.由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)P(A2)P(B2).所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.(3)记“乙恰好射击5次后被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击未击中”为事件Di (i1,2,3,4,5)，则A3D5D4()，且P(Di)，由于各事件相互独立，故P(A3)P(D5)P(D4)P()P().故乙恰好射击5次后被中止射击的概率为.变式迁移4解用A、B、C分别表示事件甲、乙、丙面试合格由题意知A、B、C相互独立，且P(A)P(B)P(C).(1)至少有1人面试合格的概率是1P( )1P()P()P()13.(2)的可能取值为0,1,2,3.P(0)P( B )P( C)P( )P()P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()333，P(1)P(AC)P(AB)P(A )P(A)P()P(C)P(A)P(B)P()P(A)P()P()333，P(2)P(BC)P()P(B)P(C)，P(3)P(ABC)P(A)P(B)P(C).所以，的分布列是0123P课后练习区1解析P(A)，P(B)，P()，P().又A、B为相互独立的事件，P( )P()P().A，B中至少有一件发生的概率为1P( )1.2解析质点P从原点到点(2,3)，需向右移动两次，向上移动三次故PC23C5.36解析设需要n门高射炮才可达到目的，用A表示“击中飞机”这一事件，用Ai表示“第i门高射炮击中飞机”，则A1，A2，An相互独立，且有AA1A2An，P(A)1P()1P(1)P(2)P(n)1(10.6)n.依题意P(A)0.99，10.4n0.99，n5.03.4解析设A与B中至少有一个不闭合的事件为T，E与F至少有一个不闭合的事件为R，则P(T)P(R)1，所以灯亮的概率P1P(T)P(R)P()P().5解析掷三颗骰子在三个点数都不相同的条件下共有：A654120(个)基本事件，其中事件“至少有一个6点”包含：3A35460(个)基本事件P.60.947 7解析由独立重复试验的概率计算公式得PC0.93(10.9)1C0.940.947 7.7解析加工出来的零件的正品率为(1)(1)(1)，所以次品率为1.80.128解析由题设，分两类情况：(1)第1个正确，第2个错误，第3、4个正确，由乘法公式得P10.80.20.80.80.102 4；(2)第1、2个错误，第3、4个正确，此时概率P20.20.20.80.80.025 6.由互斥事件概率公式得PP1P20.102 40.025 60.128.9解(1)由已知B，分布列为P(k)Ck6k，k0,1,2,3，6.(2分)所以的概率分布为0123456P(4分)(2)k表示这名学生首次停车时经过的路口数，即在前k个路口没有遇上红灯，但在第k1个路口遇上红灯，则的