7第七讲 现代投资理论：资本资产定价模型(CAPM)(讲义).pdf

1 金融学院金融学系 之三 资本资产定价理论 张璟 现代投资理论 金融学院金融学系 首先 Markowitz的投资组合理论认为通过多样化或 分散化的投资行为可以有效地规避非系统风险 但在分析 中未能有效解决系统风险的定价问题 其次 由Markowitz所创立的现代投资组合理论引发 的问题是 如果市场中的所有投资者都按照Markowitz的 E V原则选择证券 进行投资组合 那么当市场均衡时 任意资产或资产组合的均衡的预期收益率应为多少 金融学院金融学系 这个方面的研究在1964年左右 由Markowitz的学生 Sharpe以及Mossin和Lintner等人分别独立地解决了 他们 在Markowitz研究基础上 提出了资本资产定价模型 CAPM 从而给出了在市场均衡的状态下 系统风险的 定价和任意资产或资产组合预期收益率的确定方法问题 金融学院金融学系 1 基本假设 CAPM理论的基本假设除了包括Markowitz资产组合理 论的基本假设外 还包括如下假设 投资者完全理性假设 即所有投资者都能遵循Markowitz 投资组合理论的基本原则进行资产的最优选择和投资组合 的优化 一 资本市场线 CML 金融学院金融学系 市场完全竞争假设 投资者的个人交易不能影响市场价 格 这意味着市场上有许多投资者 每个投资者的财富与 社会总财富相比 都是微不足道的 允许无限制卖空 投资者可以卖空任意数量的证券 市场存在一个无风险利率 所有的投资者都可以按照相 同的无风险利率无限制地进行资金的借入和贷出 在上述假设与Markowitz理论的假设前提下的市场 称为完全市场 complete market 金融学院金融学系 2 引入无风险借贷和卖空假设后的投资组合有效前沿 A 图形 无风险资产由于其预期收益率在事先是基本确定的 因此其风险接近于0 因此 在预期收益 风险的二维坐 标系中 无风险资产即是点 0 Rf 2 金融学院金融学系 p p ER B M T 图7 1 A I II f R 0 金融学院金融学系 定理7 1 有效前沿定理 在引入无风险资产和卖空假设 后 有效组合边界MB就变成了图7 1中的射线AT 该射线 由无风险利率点A处向上延伸 与原有的有效前沿曲线相切 于点T 它是证券投资组合T与无风险借贷的组合 它包含 了所有风险证券投资组合T与无风险借贷的组合 定理7 2 单基金定理 one fund theorem 存在一只由 风险资产组合而构成的基金T 使得任意的有效投资组合都 可以由基金T和无风险资产组合而成 金融学院金融学系 B 分离定理 定理7 3 分离定理 投资者对风险和收益的偏好状况与 该投资者风险资产组合的最优构成是无关的 在齐性预期假设前提下 所有投资者 无论其风险偏 好如何 对最优风险资产组合的看法都是相同的 都会选 择相同的T点组合 而他们对风险的不同厌恶程度则可以 通过无风险资产和最优风险资产组合的搭配来满足 即由 射线AT与投资者的无差异曲线的切点决定 金融学院金融学系 这样 整个投资过程 即通过资产选择形成投资组 合的过程就可以分为两个相互独立的投资决策过程 最优风险资产组合的确定和投资者对该组合与无风险资 产比例的确定 金融学院金融学系 综合定理7 1 定理7 2与定理7 3有 由无风险证券与风险证券或风险证券组合所产生的 有效集或有效前沿是一条射线 它是连接无风险证券 A点和切点组合T的射线 该射线以及切点组合T对任 何投资者都是相同的 它与投资者的风险偏好状况无 关 它是独立于投资者的风险偏好状况而客观存在的 金融学院金融学系 推论7 1 基金管理公司存在的理论基础 对从事投资服务或资产管理业务的金融机构或金融中 介而言 不论其各个具体客户或投资者的风险 收益偏好 及风险厌恶程度如何 金融中介在设计投资组合的具体过 程中 他们只需要找到切点T所代表的有风险证券的投资 组合 再辅之以一定比例的无风险证券 那么就能为该中 介所有的客户或投资者都提供一个最佳的投资方案 而投 资者的风险 收益偏好就只需反映在组合中无风险证券所 占的比重上面 3 金融学院金融学系 C 切点组合的求解 一种替代的方法 我们假设存在n种风险证券Si i 1 2 3 n 其预期 收益率分别为ERi i 1 2 3 n 存在无风险证券A 其收益率为Rf 方差为0 从而该 证券与任意的风险证券或风险证券组合之间的斜方差也为 0 然后我们作A S1 S2 Sn的一个风险证券组合p y w1 w2 w3 wn 其中 金融学院金融学系 ni wwwwp 1 21 L iifip ERwRwER1 n i n j ijjip ww 11 2 思考 无风险资产 加 浓 或者 稀释 组合风 险的机制何在 思考 无风险资产 加 浓 或者 稀释 组合风 险的机制何在 y wi 1 因此 我们进一步将组合写作 该组合的预期收益率为 组合的方差为 金融学院金融学系 我们假定对组合给定的预期收益率ERp 求wi i 1 2 3 n 使组合的方差最小 即求解如下规划问题 2 p n i n j ijjip wwmin 11 2 piifi ERERwRwts 1 建立拉氏函数得到 iifip n i n j ijji ERwRwERwwL 1 11 目的 找到最小方差集 目的 找到最小方差集 金融学院金融学系 取得极值的一阶条件为 02 11122111 1 ERRwww w L fnn L 02 22222211 2 ERRwww w L fnn L LL 02 2211 nfnnnnn n ERRwww w L L 两端除以 后 移项得到 piifi ERERwRw 1 iifip n i n j ijji ERwRwERwwL 1 11 金融学院金融学系 fnn RERwww 11122111 2 L fnn RERwww 22222211 2 L fnnnnnn RERwww L 2211 2 LL ii wt 2 令得到 金融学院金融学系 fnn RERttt 11122111 L fnn RERttt 22222211 L fnnnnnn RERttt L 2211 LL 假设方差 斜方差矩阵为非奇异矩阵 排除了无风险 资产 该方程组的系数行列式的值不为0 因此 该线性 非齐次方程组有且只有唯一解 Cramer法则 我们不妨设 其唯一解为 2 1 n ttttL 4 金融学院金融学系 令 i i i t t z 于是得到 2 22 i i i i i i i i i w w w w t w t t z 金融学院金融学系 例7 1 假设存在两种风险证券 它们的预期收益率和 风险分别是 两种证券之间的斜方差 12 0 4 同时 假设无风险证 券A的收益率为4 试求该无风险证券与两种风险证券的切 点组合与有效前沿 1 15 20 10 8 10 6 22 11 ER ER 金融学院金融学系 f f RERtt RERtt 2222211 1122111 代入具体数据得到 2 628 24 0 1 24 064 0 21 21 tt tt 解得 576 0 424 0 408 2 776 1 21 2 1 zz tt 进行标准化 金融学院金融学系 于是切点组合应该是M 42 4 57 6 因此 我们得到 因此切点坐标为 10 33 8 46 连接无风险证券 A 0 4 与切点坐标即可得到有效前沿 33 10 01067 02 46 8 20 10 6 57 10 6 4 42 2 2 2 21221 2 1 2 1 2 M iiM zzzz ERzER M pp ER 4318 004 0 思考 给定投资者的风险厌恶系数 投 资者最终的投资组合应该如何确定 思考 给定投资者的风险厌恶系数 投 资者最终的投资组合应该如何确定 金融学院金融学系 有三种可得资产的收益率和方差 协方差矩阵如下所 示 如果无风险利率为0 2 试求切点组合 最优风险资产组 合 及有效前沿方程 8 0 6 0 4 0 200 020 002 ERV 思考 如果是四种 五种或者是更多呢 思考 如果是四种 五种或者是更多呢 例7 2 金融学院金融学系 D 市场组合 均衡时 切点处投资组合中各证券的构成比例等于市 场组合 market portfolio 中各证券的构成比例 因此习惯上 人们将切点处的组合叫市场组合 并用字母M代替T 以后 我们也遵守这一习惯 注 市场组合指由所有风险证券构成的组合 每一种风险 证券的构成比例等于该证券市值占所有证券市值的比重 为什么 为什么 消极投资策略是有 效的 消极投资策略是有 效的 5 金融学院金融学系 3 资产配置线 CAL 与资本市场线 CML 假设风险资产或风险资产组合的预期收益率和方差分 别为 无风险资产的收益率为Rf 标准差为0 引入 无风险资产后的投资组合的预期收益率和标准差分别为 ERp p 用Wr表示投入到风险资产组合的资金比重 则 2 rr ER 金融学院金融学系 frrrp RWERWER 1 rrp W p r fr fp RER RER 因此 由此可见 新的投资组合点一定落在由点A和该风险资 产或者风险资产组合点确定的线上 我们将其称为资产配置 线 capital allocation line CAL 其实这一点我们在前面已经 详细论证了 我们只是没有明确界定资产配置线而已 金融学院金融学系 p ER p A B p ER p A B C D 回忆 a 无风险资产与风险资产的组合b 无风险资产与风险资产组合的组合 rr ER 0 f R 金融学院金融学系 显然 不论投资者的风险 收益偏好程度如何 随着 CAL线围绕点A逆时针旋转 越在上方的CAL线上的点所代 表的投资组合能够给投资者带来的效用就越大 因此 在存 在无风险资产和允许卖空的情况下 最优投资组合点应在过 点A且与允许卖空的Markowitz有效边界相切的CAL线上 这 条过点A且与有效边界相切的资本配置线就称为资本市场线 capital market line CML 资本市场线是所有投资者将市 场组合M与无风险资产A这两者相组合所生成的投资行为的 集合 金融学院金融学系 p p ER B M T M 回忆 A CML CAL I II f R 0 金融学院金融学系 在数学上 该射线可以用无风险利率与市场组合的回 报率加以刻画 两点确定一条直线或将市场组合坐标代入 CAL公式即可 其中 ERM表示市场组合的预期收益率 p和 M分别 表示有效投资组合与市场组合收益率变动的标准差 p M fM fp RER RER 6 金融学院金融学系 因此 根据CML公式知 在市场均衡时 有效组合的 预期收益是 预期收益 时间价格 风险价格 风险数量 因此 CML实际上指出了在市场均衡时 有效组合的 风险与预期收益率之间的关系 CML并未给出市场均衡 时 任意证券和证券组合的风险与预期收益率之间的关系 金融学院金融学系 4 45 10 9 100种普通股票组合 7 25 5 4 BC公司股票 标准差年回报率股票 资料来源 Modigliani和Pogue 1974 表中的数据对比再一次提醒我们 高风险未必有高收 益 市场不会对非系统风险作出任何补偿 金融学院金融学系 二 证券市场线 1 资本资产定价模型与证券市场线 任意证券与证券组合的风险与收益之间的关系是怎样 的呢 1964年William Sharpe在其论文 Capital asset prices A theory of market equilibrium under conditions of risk 提出 了CAPM模型解决了这一问题 金融学院金融学系 定理7 5 资本资产定价模型 CAPM 如果市场组合M是有效的 那么 均衡时 任意证券 或证券组合i的预期收益率满足 fMifi RERRER 其中 2 M iM i 证明 考虑持有比重w 允许w为负 的证券或证券组合i与比重 1 w的市场组合M所构成的一个新投资组合 金融学院金融学系 新的组合的预期收益率为 新的组合的标准差为 如图7 2所示 随着w的变动 预期收益率与标准差所 代表的各点在均值 标准差平面上描绘出一条曲线C 当 w 0时 新的组合就是市场组合 我们注意到 该曲线C 是不能穿过资本市场线的 如果穿过的话 那么资本市场 线上方任何一点所对应的投资组合将违反资本市场线作为 有效前沿的定义 Miw ERwwERER 1 2 2 22 112 MiMiw wwww 金融学院金融学系 p p ER 图7 2 投资组合曲线 CML f R M i C 7 金融学院金融学系 因此 CAPM定理表明 任意资产的风险溢价与市场 组合的风险溢价水平成比例 比例系数为 i 该模型反映 在数学中的函数关系上就是证券市场线 SML security market line 图7 3 fMifi RERRER 金融学院金融学系 1 i i i ER M ER f R SML 图7 3证券市场线 金融学院金融学系 2 系统风险与非系统风险的再回顾 根据资本资产定价模型 我们考虑将某证券或证券组 合i的收益率写为如下形式 ifMifi RRRR 0 cov 0 iMi RE 两边取方差则得到 2222 i Mii 金融学院金融学系 任意证券或证券组合i的风险由两个部分构成 即等式右 边的第一项 这是与整个市场相关联而产生的风 险 即为证券的系统性风险 第二项 即非系统风险 或异质风险 idiosyncratic or specific risk 资本市场线上的任意一项有效资产组合 其标准差为 M 它显然只有系统风险而没有非系统风险 而落在证 券市场线上的单个证券或非有效资产组合显然既包括了系 统风险也包含了非系统风险 22 Mi 2 i 金融学院金融学系 我们可以进一步把证券市场线写为 Mi M fM fi RER RER 我们可以看到证券市场线表明 任何证券的期望收 益等于无风险利率加上单位风险的市场价格与系统性风 险的乘积 埃尔顿等 2003 金融学院金融学系 4 其他 贝塔系数的可加性 一个证券组合的 系数等于该组合中各种证券 值的加 权平均数 权数为各种证券在该组合中所占的比例 即 再次重复 在市场均衡时 对资本市场线而言 只有有 效组合才落在资本市场线上 而非有效组合则落在其下方 对证券市场线而言 无论组合有效与否 都落在证券市场 线上 换言之 证券市场中所有的证券或证券组合都一定 在证券市场线上 n i iip w 1 思考 如果某一证 券或证券组合没有 落在SML上 那么 证券市场均衡吗 思考 如果某一证 券或证券组合没有 落在SML上 那么 证券市场均衡吗 证明 证明 8 金融学院金融学系 5 CAPM模型的运用 CAPM模型与投资管理 例7 3 假设市场的预期收益率为14 一只股票的 值为 1 2 无风险利率为6 利用证券市场线 计算市场均衡时 该股票的预期收益率 可作为股票估值的基础 如果投资者预 期该股票的实际收益率会达到17 那么 该投资者应当如 何进行操作 注意 均衡预期收益率与实际预 期收益率之差定义该证券的 系 数 该系数与0的关系决定投资 的可行性 注意 均衡预期收益率与实际预 期收益率之差定义该证券的 系 数 该系数与0的关系决定投资 的可行性 金融学院金融学系 CAPM模型与资本预算决策 例7 4 某公司考虑投资于一个蓄水工程 根据预测 该 项目投资的内部收益率为14 值为1 3 如果无风险利 率为4 预期的市场风险溢价为8 那么 该公司是否 应该投资该项目 金融学院金融学系 CAPM模型与效用率确定 utility rate making 例7 5假定股东投资1亿美元 其股票的 值为0 6 如 果短期国库券的利率为6 市场风险溢价为8 则企业 投资1亿美元所要求的利润率为10 8 或者要求的利润为 1080万美元 因此 企业应当根据这个利润水平来制定产 品价格 效用率是指管理层规定的厂房和 设备投资必须达到的收益率水平 效用率是指管理层规定的厂房和 设备投资必须达到的收益率水平 金融学院金融学系 三 从理论到实证 估计贝塔值与SML CAPM模型在实际运用的时候存在两个限制 包括所有 资产的理论上的市场组合获取十分困难 预期收益率无法 观测 在实际运用CAPM模型时 我们往往运用某一具有代 表性的指数组合代表市场组合 并运用历史收益率的均值 代替预期收益率来进行计量估计 金融学院金融学系 投资业绩评价 process of investment 的 实质是关于某 一投资组合的收益率与另外一个或一些投资组合收益率的 比较 被用于比较的组合是否真正具有可比性是极其重要 的 埃尔顿等 2003 我们前面在计算证券或证券组合收益率时运用的是持 有期收益率 然而这种方法在评价投资组合的投资绩效时 存在一定的问题 原因在于 现实中 在较长时间中 投 资组合会有很多次的资金流入和流出 不同时期投资组合 的金额不同 因此 我们必须寻找存在资金调整时组合收 益率的计量方法 四 投资绩效的评估 金融学院金融学系 1 投资组合收益率的度量 A 无资金调整时的收益率指标 0 01 V VV Rp 式中 分别表示收益率 投资组合期末市场 价值和投资组合期初市场价值 B 期末资金调整的收益率 01 VVRp 9 金融学院金融学系 确认何时存入或取出资金对精确计算或测量投资组合 的收益率非常关键 若资金的调整恰好发生在期末 那 么 必须对投资组合的期末市场价值进行调整以后才能计 算其收益率 如果存入资金 则必须从期末市场价值中扣 除所存入的资金 反之 则加上所取出的资金 例7 6 某投资组合期初市场价值为100万美元 期末 结束时客户向投资经理存入了5万美元 期末时该投资组合 价值为103万美元 则投资组合的收益率为 2 100 1005103 金融学院金融学系 C 期中资金调整时的收益率计算 资金加权收益率 dollar weighted rate of return 内部报酬率 例7 7 接前例 若5万元资金系年度中期存入时 那 么 该投资组合的资金加权收益率为 0 98 注意 这是半 年的收益率 公式如下 21 103 1 5 100 rr 95 11 98 01 2 金融学院金融学系 时间加权收益率 time weighted rate of return 算数平均法 或者几何平均法 例7 8 该方法需要使用在每次现金流入或流出之前的 投资组合的市场价值数据 在上面的例子中 假定在年度 中期 该投资组合的市场价值是96万美元 因此 在存入5 万美元之后 组合的市场价值增加到了101万美元 期末投 资组合的价值为103万美元 在此情况下 前半年的收益率 应是 4 但后半年的收益率则是1 98 4 100 10096 98 1 101 101103 金融学院金融学系 这样 我们最终可以得到平均的半年的收益率为 1 01 算数平均值 和 1 06 几何平均值 两种报酬率的计算常常相差甚大 但是一般而言 时间加权报酬率更为可取 时间加权收益率能真正衡量 投资组合管理者的业绩 而资金加权方法只是衡量投资 组合拥有者的报酬率 谢剑平 现代投资学 中国人民大 学出版社 2004年 第529页 基金管理机构一般采用 时间加权报酬率评估其投资业绩 金融学院金融学系 2 不同期限收益率换算 以债券为例 根据下表 可以计算出各种债券的持 有到期的持有期收益率 那么 如何对各种不同期限的 收益率进行比较呢 一般而言 可以将不同期限债券持 有到期的持有期收益率转化成年利率来相互比较 表7 1 不同期限债券持有到期的持有期收益率 329 23 3025年 5 80 95 521年 2 71 97 36半年 收益率价格期限T 金融学院金融学系 A 年百分比利率 annual percentage rate APR 简单地按照单利计息方法将某一种周期的利率换算为 年利率得到的利率 例7 9 表7 1中 6个月到期债券的持有期收益率为 2 71 其年百分比利率为5 42 10 金融学院金融学系 B 有效年利率 effective annual rate EAR 按照复利计息方法将某一种周期的利率换算为年利率 得到的利率 例7 10 表7 1中25年期债券持有到期的持有期收益率 为329 18 因此 其有效年利率为6 金融学院金融学系 C EAR和APR的关系 定义短期投资的时间长度为T 一年共有N 1 T个复利计息 期 每个时期的利率为r T 那么EAR与APR的关系如下 T EAR APR APRTTrTrEAR T TT N 1 1 1 1 1 1 11 当T接近于0时 这时的APR相当于连续复利计息的年收 益率rcc 此时 两者的关系为 1ln 1 1 1 lim 1 lim1 1 0 1 0 EARr ee APRT APRTEAR cc rAPR APR APRT T T T cc 金融学院金融学系 3 投资组合的风险度量 根据现代投资组合理论和资本资产定价理论 投资组 合的风险可以使用两种指标来衡量 即总风险和系统性风 险 前者通过用证券或证券组合收益率的标准差或方差来 度量 后者通常是用贝塔系数来度量的 金融学院金融学系 A Sharpe index Sharpe 1966 在其 共同基金绩效 一文中提到了一种结 合报酬与变动观点的指标 称为Sharpe index p fp RER S pp ER 分别表示投资组合的预期收益率和标准差 4 风险调整后的业绩评价 金融学院金融学系 p ER p CML f R M Win the market defeated CAL p r fr fp RER RER 图7 4 Sharpe指数 金融学院金融学系 Sharpe 1966 对美国34个共同基金在1954 1963年十年间 的投资业绩进行了评价 他使用了道 琼斯工业平均指数作 为市场组合的替代品 Sharpe计算了34个共同基金的的夏普 比率 对34个基金而言 其平均比率为0 633 低于道 琼斯 工业平均指数的比率 0 667 这说明平均而言 共同基金 所得到的业绩水平明显低于那些采用纯粹购买并持有 buy hold 道 琼斯工业平均指数标的股票组合的投资策略 消极投 资策略 换言之 这些共同基金平均而言未能跑赢大势 win the market 因此 在此情况下 市场是有效率的 任 何对股票市场的历史分析均不能获得额外的超额回报率 图 7 5 11 金融学院金融学系 Dow Jones 0 4 0 8 图7 5 34只共同基金业绩 1954 1963 资料来源 埃尔顿等 2003 第595 596页 RVAR 金融学院金融学系 B M2Index Leah Modigliani Franco Modigliani p ER p M 图7 6 M2指数 P M2Index P CML CAL 金融学院金融学系 例7 11 给定如下条件 Rf 6 RM 28 M 42 p 42 ERP 35 那么 建立一个投资组合P 使其与市场组合的标准差 相等 因此 P在新的组合中的权重为0 714 无风险资产 在组合中所占的权重为0 286 因此该投资组合的收益率为 26 7 这笔市场组合的收益率要低1 3 所以 该投资 组合的M2指数为 1 3 金融学院金融学系 C Treyner index 与Sharpe index以资本市场线 CML 为基准计算不同 Treyner index及Jensen index业绩指标都是以证券市场线 SML 为基准的 因此他们对风险的度量是以贝塔系数而 不是组合收益率的标准差为基准的 Treyner index是在预期收益与 的坐标平面上 通过比 较无风险资产和风险资产组合线的斜率来判断业绩优劣 其公式如下 p fp p RER T 金融学院金融学系 p ER p f R Win the market SML fMpfp RERRER 图7 7 Treyner index 金融学院金融学系 D Jensen Index fMpfpp RRRR Jensen差分收益实际上度量了已实现收益的投资组 合落在事后CAPM模型SML之上或之下的垂直距离 12 金融学院金融学系 于是 正的Jensen Index表示投资组合具有正的异常收 益 其投资组合的平均收益比市场组合的替代品要高 基 金能够跑赢大势 反之 则不能说明基金击败了市场 r ER r f R SML Jensen Index 图7 8 Jensen Index 金融学院金融学系 五 评介 1 模型的贡献 测量了证券或证券组合的系统风险并对其定价 给出了证券或证券组合均衡预期收益率的确定方法 可作为证券估值的基准 可作为投资绩效衡量的标准 金融学院金融学系 2 模型需改进之处 该模型的前提假设过于理想化 因此大量的投资者对其实 际应用性与有效性提出了诸多质疑 CAPM模型把系统性风险全部集中地表现在一个因素中 实际上 影响证券价格的因素远不止于此 其他诸如国民收 入 通货膨胀率 利率水平 汇率水平 产业