关于矩阵的习题.ppt

习题课矩阵 P99 第10题设A为n阶方阵 并且Ak O 试证E A可逆 并且 证明 若n阶方阵A满足AB E 则A可逆 所以A E可逆 并且 E A 1 E A A2 Ak 1 第11题设A为n阶方阵 且满足A2 2A 3E O 证明 1 A可逆 并求A的逆 2 A 2E可逆 并求 A 2E 的逆 证明 1 所以A可逆 并且 所以 A 2E 可逆 并且 2 第15题已知为方阵B满足AB A B 求矩阵B 其中 解 AB A B A E B A 可以用矩阵方程的行初等变换方法计算B 所以 第16题已知 且矩阵B满足A2 AB E 求矩阵B 解法一 因为A2 E AB所以B A 1 A2 E 解法二 因为AB A2 E可以用矩阵方程的初等变换方法计算B AA2 E 行初等变换 EB 第17题设A是n阶方阵 B是n r矩阵 且r B n 试证 1 如果AB O 那么A O 2 AB B 那么A E 解 1 因为AB O AB T BTAT O 又r B n 所以r BT n 因此矩阵方程BTAT O 齐次线性方程组的矩阵形式 AT仅有零解 即AT的所有元素为零 即AT O 所以A O 2 因为AB B A E B O 根据 1 则A E O 即A E 第18题设A B是两个n阶反对称矩阵 则 1 A2是对称矩阵 2 AB BA时 AB是对称矩阵 解 1 A2 T ATAT A A A2所以A2是对称矩阵 2 AB T BTAT B A BA AB 所以AB是对称矩阵 例题 设n阶方阵A的伴随矩阵为A 证明 1 若 A 0 则 A 0 2 A A n 1 证明 由伴随矩阵的定义显然有AA A A A En 两边取行列式即得 A A det A En A n 故当 A 不等于0时 2 是显然的 而只要我们证明了 1 则 2 对于 A 0的矩阵A也是成立的 下面我们证明 1 反证法 假设则 A 0 则A 可逆 于是在AA A En两边右乘 A 1 有A A En A 1 O 因为 A 0 因此A的伴随矩阵A 应该为O 与假设矛盾 例设A为n阶方阵满足A2 A 2E O 证明A和A 2E均可逆 求它们的逆矩阵 解 由A2 A 2E O易得 A E A 2E 即 A E A E 故由逆矩阵的定义可得A可逆 且类似可求得 A 2E A 3E 4E 即 第19证明 1 非奇异对称 反对称 矩阵A的逆仍然是对称 反对称 矩阵 2 奇数阶反对称矩阵必不可逆 解 1 因为A是非奇异 并对称矩阵 A可逆 且 A 1 T AT 1 A 1 由定义可知A 1也是对称矩阵 同理可证反对称句阵的情况 2 设A为反对称矩阵 则AT A AT A 1 n A A 行列式性质1 当n为奇数时 A A 则2 A 0 所以 A 0 即A不可逆 第20题设n阶方阵A可逆 将A的第i行与第j行元素交换后得到B 1 证明B可逆 2 求AB 1 解 1 根据已知条件 有E i j A B E i j 是初等矩阵 又A可逆 所以A行初等变换E即Ps P2P1 A 代入 式 E i j Ps P2P1 B 即P1 1P2 1 Ps 1E i j 1B E B行初等变换E所以B可逆 2 E i j A B E i j AB 1 E AB 1 E i j 1 E i j 第22题 为n阶非零实矩阵 若aij Aij 其中Aij的元素aij的代数余子式 i j 1 2 n 证明 A O 证明 用反证法 假设 A O 即 这与A为n阶非零实矩阵矛盾 所以 A O 证明 因为r A r 矩阵A aij m n 则 第23题设A是秩为r的mXn矩阵 证明A必可表示成秩为1的mXn矩阵之和 即存在m阶的可逆矩阵P1及n阶可逆矩阵Q1 使 所以 其中 由于P Q均可逆 所以 第24题设实对称矩阵A满足A2 O 证明A O 证明 用数学归纳法证明 当n 2时 因为A是实对称矩阵 假设n 1时结论成立 即 所以n 2时结论成立 n时 所以n时 矩阵A O 因而结论成立 第25题设A为二阶矩阵 A2 E A E 证明 r A E r A E 1 证明 A为二阶矩阵 并A2 E所以 A2 E O 即 A E A E O 又A E O A E O 所以r A E O r A E O 以下用反证法假设r A E 1 或r A E 1 只有r A E 2 或r A E 2 A E A E O 看成矩阵方程AX O 中 A E O 则 A E O与A E矛盾 所以r A E 1 同理r A E 1 第26题设A为mXn矩阵 且m n 证明 ATA