代数结构 (非作业部分的课后习题答案).doc

第四章 代数结构P86：8、（1）a*b=a*a2=a2*a=b*a；同理可证b*c=c*b和c*d=d*c；a*c=a*b2=a*a4=a*(a*a*a*a) =(a*a)*(a*a)*a=b2*a=c*a同理可证b*d；a*d=a*c2=a*b4=a*a8=(a*a)* (a*a)*(a*a)* (a*a)*a=b4*a=c2*a=d*a综三所证，对任意x,yA，都有x*y=y*x成立，故*是可交换运算。10、(Z,)，其中Z+为正整数集，为普通乘法运算，幺元为1。运算在Z+上封闭，运算可结合、可交换。除幺元1外，代数系统(Z,)中每个元素都没有逆元。11、证明：由于k可交换，故只需证明：任选a,b,cNk，都有：=和=成立= = = (因为为整数)= = = = (因为是整数)= = = 又由是可交换运算可知: = = =故对可分配.P87：14、(A,*)到(A,)的同构映射f为：f(e)=e，f(b)=c, f(a)=a, f(c)=b；或者 f(e)=e，f(b)=c, f(a)=b, f(c)=a；15. (N5, 5)的所有自同构映射为f1、f2、f3和f4，其中f1(k)=k, kN5； f2(0)=0，f2(1)=4，f2(2)=3，f2(3)=2，f2(4)=4；f3(0)=0，f3(1)=3，f3(2)=1，f3(3)=4，f3(4)=2；f4(0)=0，f4(1)=2，f4(2)=4，f4(3)=1，f4(4)=3；16、(N5, 5)的所有自同构映射为f1和f2，其中f1(k)=k, kN5； f2(0)=0，f2(1)=1，f2(2)=3，f2(3)=2，f2(4)=4；17、由f的定义可知：f(a)=(a (mod3)，故f(a6b) = f()= = = f(a)3f(b) = ()3()= = = = f(a6b)19、不妨设q为（A,*）的零元，假设f(q)=q，下面证明q是代数系统(B,)的零元。任选bB，由f是满同态可知：存在aA，使得f(a)=b.故，qb=f(q)f(a)=f(q*a)=f(a)=b；而且，bq=f(a)f(q)=f(a*q)=f(a)=b;因此，q为代数系统(B,)的零元。结论得证。20、(N4, 4)的所有自同态映射为：f1(k)=k, kN4； f2(0)=0，f2(1)=3，f2(2)=2，f2(3)=1；f3(0)=0，f3(1)=2，f3(2)=0，f3(3)=2；f4(0)=0，f4(1)=0，f4(2)=0，f4(3)=0；P96:1、(1)(3)(4)(5)不是半群，都不满足结合律。(2)是半群。2、(1)和(2)为独异点。(3)和(4)不是独异点，因为没有幺元。4、（0,2,4,4）是不含幺元的有限半群。5、(0,2,4,6,8),(0,4,8)是(N8,8)的两个子半群。6、(N4,4)的所有子独异点为：(N4,4), (0,4), (0,2,4)。8、(1,4,6,10), (1,2,4,6,8,10), (1,2,4,5,6,8,9,10), (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)9、062=260=0A; 064=460=0A; 264=462=2A; 262=4A; 464=4A; 060=0A;因此，6在A上封闭并且4为(A,6)中的幺元。显然，由(N6,6)是独异点可知：6可结合。故(A,6)是独异点，但由于(N6,6)的幺元为1，与(A,6)的幺元不同，故(A,6)不是(N6,6)的子独异点。10、满足条件的同态映射f为：f(0)=0,f(1)=1,f(2)=3,f(3)=0,f(4)=1，f(5)=3。P105：12、证明: 不妨设e是(G,*)的幺元。因为 (a*b)*(b-1*a-1) = a*(b*b-1)*a-1=a*a-1=e；故b-1*a-1是a*b的逆元。由题目条件可知：a-1*b-1也是a*b的逆元。故b-1*a-1=a-1*b-1。进而(a*b)*(a-1*b-1)=e而 (b*a)*(a-1*b-1)=b*(a*a-1)*b-1=e；故(a*b)*(a-1*b-1)=(b*a)*(a-1*b-1),右乘(b*a)可得：a*b=b*a。14、(a*b)4=(a*b)2*(a*b)2=b2*a2*b2*a2；而由条件，(a*b)4=b4*a4；故 b4*a4=b2*a2*b2*a2；上式左乘(b2)-1和右乘(a2)-1,故b2*a2=a2*b2；而由题目条件，可知：(a*b)2=(a*b)*(a*b)=a2*b2；即(a*b)*(a*b)=a2*b2；将上式左乘a-1和右乘b-1，可得：b*a=a*b；故(G,*)是交换群。15、证明：因为(G,*)是群，故(G,*)中只有一个等幂元e，即a*aa,b*bb。而在*的运算表中，每行元素都不同，并且a*e=a,故a*a=b,b*b=a，a*b=a,b*a=b,进而,a3=a*a*a=a*b=e,b3=b*b*b=b*a=e命题得证。16、证明：因为(G,*)是群，故G中每个元素都有逆元。下面证明：若xy,则x-1y-1。假设xy,但是x-1=y-1则有：x-1*x=x-1*y=e,这与群的性质：每行元素都不相同矛盾，故若xy,则x-1y-1。不妨设G-e中共有n对不同的互逆元素：xi和yi,1in。假设对所有1in，都有xiyi,则G中共有2n+1个元素，这与(G,*)是偶阶群矛盾，故存在1kn，使得xk=yk。因此xk-1=xk,故xk*xk=e，命题成立。17、证明：*1到4的同构映射： f(e)=0; f(a)=1;f(b)=3;f(c)=2; *2到4的同构映射： g(e)=0; g(a)=2;g(b)=1;g(c)=3;18、解：（先求互逆元素，再将互逆元素对应起来）6到7的同构映射：f(0)= 1;f(3)=6;f(1)=2; f(5)=4; f(2)=3; f(4)=5;P112：4、因为偶数+偶数偶数，故+运算对E集合具有封闭性。因此(E,+)是(Z,+)的子群。5、0是(N7,7)的幺元。0的阶数是1；1、2、3、4、5、6的阶数都是7；6、(N17-0,17)中1的阶数为1；2的阶数为8；3的阶数为16；4的阶数是4；5的阶数是16；6的阶数是16；7的阶数为16；8的阶数为8；9的阶数为8；10的阶数为16；11的阶数为16；12的阶数为16；13的阶数为4；14的阶数为16；15的阶数为8；16的阶数为2；(N17-0,17)的所有2阶子群：(16,162,17)=(1,16,17)(N17-0,17)的所有4阶子群：(4,42,43,44,17)=(13,132,133,134,17)(1,4,16,13,17)(N17-0,17)的所有8阶子群：(9,92,93,94,95,96,97,98,17)=(15,152,153,154,155,156,157,158,17)=(1,2,4,8,9,13,15,16,17)7、证明：不妨设(G,*)是任意一个偶数阶群，e为(G,*)的幺元。（1）假设对G-e中任意元素a,a-1a； 不妨设G-e中有k对互逆的元素ai和bi,其中1ik且若ij,则aiaj。由群的消去律可知：若ij,则bibj。由于G中每个元素都有逆元,故ai:1ikbi:1ik=G-e；假设对G-e中任意一个元素1ik,都有aibi；则|ai:1ikbi:1ik|=2k；故G中共有2k+1个元素，这与G有偶数个元素的前提矛盾；故G-e中存在元素a，使得a-1=a；进而，*在e,a上封闭，故(e,a,*)是(G,*)的子群。（2）不妨设2阶子群的数目为s，分别为(Ai,*)，1is；则G-e中共存在s个元素x1,x2,.,xs,使得xi=xi-1；由于G-e中每个元素都有逆元，故G-e-xi: 1is由若干对互不相等互逆元素构成；假设这些互不相等的互逆元素共有k对；则G中元素数目为1+s+2k，而G中共有偶数个数因此，s必为奇数。8、证明：设 (G,*)为任意一个有限群。因为G中每个元素都有逆元，则G中所有元素由若干对互逆的元素构成。不妨设G中共有n对不同的互逆元素ai和bi，1in。若ai=bi，则ai*ai=ai*ai-1=e,若aibi，则ai*aie，且bi*bie故ai和bi的阶数都大于2。若其中k对互逆的两个元素不同，不妨设为(a1,b1),.,(ak,bk)，aibi；则ai: 1i kbi: 1i k为G中所有阶数大于2的元素的集合。而当1ijk时，有：aiaj；否则aibi=ajbj，根据消去律，bi=bj，则与假设(ai,bi)和(aj,bj)是不同的互逆元素矛盾。因此，|ai: 1i kbi: 1i k|=2k；即G中阶数大于2的元素个数为偶数。9、证明：若n4,则G中必存在两个元素a和b满足：ab,ae,且be；则由题目条件和结合律可知：(a*b)*a=(a*b)*a*e=(a*b)*a*(b*b)=(a*b)*(a*b)*b=e*b=b；a*(a*b)=(a*a)*b=e*b=b；(a*b)*b=a*(b*b)=a*e=a；b*(a*b)=(e*b)*(a*b)=(a*a)*b)*(a*b)=(a*(a*b)*(a*b)=a*(a*b)*(a*b)=a*e=a；(a*b)*e=a*b；e*(a*b)=a*b:a*a=e;b*b=e;因此可知：*运算对e,a,b,a*b封闭，故(e,a,b,a*b,*)是(G,*)的4阶群。10、证明：假设p不是k的整数倍，则存在正整数n，p=nk+s，其中0sk。由ak=e可知：ank=(ak)n=en=e；进而，e=ap=ank+s=ank*as=as；而sk，这与k是a的阶数矛盾。故p是k的倍数。11、证明：由a*b=b*a可知：(a*b)2=(b*a)*(a*b)=b*(a*a)*b=b*b=b2；而由a是2阶元素和b是3阶元素可知：a2=e和b3e；故(a*b)6=(a*b)2)3=b6=b3*b3=e；由b是阶元素可知：(a*b)2=b2e；进而，a*be；而(a*b)3=(a*b)2*(a*b)=b2*(b*a)=b3*a=ae；(a*b)4=(a*b)2*(a*b)2=b2*b2=b3*b=be；假设(a*b)5=e，则(a*b)6=(a*b)5*(a*b)=e*(a*b)=a*be,这与前面得到的结论(a*b)6=e矛盾，故(a*b)5e。综上所证：(a*b)6=e，而当1k5时，(a*b)ke，故a*b是6阶元素。13、证明：若aHK,bHK,则aH,bH,故a*bH；aK,bK,故a*bK；因此，a*bHK；故*运算对于HK是封闭的。故(HK,*)是(G,*)的子群。15、不一定。例如：（N17-0,17）为群，2和8的阶数都为8，但16的阶数为2。16、证明：由题目条件可知：a*a=e，b*b=e；由*运算满足结合律和交换律可知：e*(a*b)=a*b；a*(a*b)=(a*a)*b=e*b=b；b*(a*b)=b*(b*a)=(b*b)*a=e*a=a； (a*b)*e=a*b；(a*b)*a=a*(a*b)=b；(a*b)*b=b*(a*b)=a；(a*b)*(a*b)=(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*e*a=a*a=e；故*运算对e,a,b,a*b封闭，故(e,a,b,a*b,*)是(G,*)是子群。P118：1、设8阶循环群的生成元为：a，则其包含的元素为a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8,因为8阶循环群与(N8,8)同构，1是(N8,8)的生成元，故a8,的阶数与1i,的阶数相同。因此，a1的阶数1的阶数8；a2的阶数=2的阶数4；a3的阶数=3的阶数8；a4的阶数=4的阶数2；a5的阶数=5的阶数8；a6的阶数=6的阶数4；a7的阶数=7的阶数8；a8的阶数=0的阶数1；2、首先证明(G,)是群。任选a,bG, 显然，abG，故运算在G上封闭。显然运算可结合，1为(G,)的幺元。1与1互逆，1与1互逆，-i与i互逆。故(G,)是群。又因为i1=i；i2=1；i3=i；i4=1；故G是循环群。3、先证明(G,*)是群。任选a,bG, 显然，a*bG，故运算*在G上封闭。显然*运算可结合，1为(G,*)的幺元。1与1互逆，1与1互逆，(1+31/2i)/2与(1-31/2i)/2互逆，(-1-31/2i)/2与(-1+31/2i)/2互逆。即G中每个元素都有逆元。故(G,*)是群。令a=(1+31/2i)/2，则a2=(-1+31/2i)/2；a3=-1；a4=-(1+31/2i)/2；a5=(1-31/2i)/2；a6=1；故(1+31/2i)/2是(G,*)的生成元。因此，(G,*)是循环群。4、5是(N170,17)的生成元，1是(N170,17)的么元，(N16,16)的生成元是1，令A2=0,8；A4=0,4,8,12；A8=0,2,4,6,8,10,12,14容易验证（A2, 16）（A4, 16）和（A8, 16）分别是(N16,16)的2阶群、4阶群和8阶子群。由于(N170,17)与(N16,16)同构，故令B2=50,58=1,16；B4=50,54, 58, 512=1,13,16,4；B8=50,52,54, 56,58, 510,512, 514=1,8,13,2,16,9,4,15 故（B2, 17）（B4, 17）和（B8, 17）分别是(N170,17)的2阶群、4阶群和8阶子群。5、设(A,*)是任意一个3阶群。 不妨设A=e,a,b，其中e为么元。 由于a*e=a，而由群的运算表中每一行中各元素都不同可知有下面两种情况成立： a*a=b和a*b=e；或者a*a=e和a*b=b；若a*a=e，a*b=b，则a*b*(b-1)=b*b-1；故a=e，这与A是3阶群矛盾。故只能a*a=b和a*b=e成立。进而a3=a*a2=a*b=e，因此a是(A,*)的生成元，所以(A,*)是循环群。由于(A,*)是任意一个3阶群，所以所有3阶群都是循环群。8、证明：设(A,*)是任意一个偶阶的循环群，设a为它的生成元，(A,*)的阶数为n。假设(A,*)中至少存在两个2阶元素x和y。则存在in，jn，使得x=ai和y=aj。而x2=e，y2=e。故a2i=e和a2j=e，又n是令ak=e成立的最小正整数。故2i是n的倍数，且2j也是n的倍数。而由in和jn可知：2i2n和2j2n。因此，2i=n和2j=n，因此i=j，进而x=y，这与假设矛盾。故(A,*)中至多存在1个2阶元素。而由课本P112 习题7的结论可知：(A