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总习题一解答1. 用行列式定义计算。分析：此行列式含零元素较多，对含零元素较多的行列式，可直接用定义计算，只需找出行列式中的非零项即可。解：中第一行的非零元素只有，故只能取，同理由第，行知，于是，在可能取的数码中，只能组成一个级排列，故中非零项只有一项，即。2. 计算下列行列式： ；解：。 ；解：原式 ；解：注意到该行列式中每一列中的个元素之和都为，故将第，行元素都加到第行上，得：。 。解：将第，列都加到第列上，得：。3. 利用行列式的性质证明：。证：左边第一项第二项。4. 已知，则中的系数是 。解：按展开，得：，所以中的系数是。另解：含的项是：，所以中的系数是。5. 。分析：先利用行列式的性质，把行列式的某行（列）的元素化为尽可能多的零，再按此行（列）展开以降低行列式阶数，将行列式转化为较低阶行列式来计算。解：行列式中的第列的三个数分别与，较接近，而第列的数与，相近，故可把第列的倍及倍分别加至第列与第列，第列再提取公因数，便可化简计算，即。6. 计算下列行列式： ；分析：行列式所有行（或列）的对应元素相加后相等，可通过提取公因子将第行（或列）全部元素化为，再采用“化零”的方法来计算。解：将的第、行都加到第行，并从第行中提取公因子，得：，再将第、列都减去第列，得：，把上面右端行列式第行加到第行中提取公因子，得：。 ；分析：利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式。解：按第一行展开：。 。解：第一行、第列均只有两个非零元素，可按第一行展开，得：。7. 计算下列行列式： ；分析：行列式所有行（列）对应元素相加后相等，可通过提取公因子将第行（或列）全部元素化为，再采用“化零”的方法即可计算之。解：原式（将行列式按第一列展开，得）（将各行加至第一行）（从第2行起，将各行都加上第1行）。 。分析：利用行列式的性质和按行（列）展开定理计算行列式。解：先把第列的倍加到第，列，。8. 计算下列行列式： ；解：用递推法，先按的第行展开，得：，于是得递推公式：，或，递推下去得到：，同样可得公式：，递推下去得到：， ， ，解方程组，得：。 。解：按第行展开，由得：原行列式。9. 证明： ；分析：若一行列式的各行（列）都以第一行的升幂从上到下（从左到右）由到排列，则可利用范德蒙行列式的结论来计算。本题可根据所给行列式的特点，通过构造辅助行列式来达到这一目的。证：该行列式与范德蒙行列式很接近，仅缺少一次项，可通过构造辅助行列式来证明。令，则， 另一方面，按第列展开，得：，题设行列式正是，即的系数，展开式，易得到的系数为：。 设，则。证：此题由于主对角线上元素各不相同，尽管1较多，但用拆项及加减法都困难。（这里，即第一行提取，第二行提取，最后一行提取）（这里把从第二行起，以后各行都加到第一行上）（这里提取第一行的，下一等式是将第一行乘以加到第二行，第一行乘以加到第三行，直至是将第一行乘以加到第行。）。10. 设，试求，其中为元素（）的代数余子式。解：。11. 已知四阶行列式，试求与，其中（）是中第四行第列元素的代数余子式。解：由题设把此行列式按第四行展开，以及用第二行元素乘以对应第四行元素的余子式，得：，由此解得：，。12. 已知阶行列式，求代数余子式之和。解：直接求出每个代数余子式的值，再求和计算过程较复杂，利用代数余子式的性质改变后的值不变。因而可构造行列式，使与的（，）一样，通过计算。构造行列式，由于与的代数余子式，是一样的，对按第一行展开，有，所以 。13. 用克莱姆法则解下列线性方程组： ；解：， ，。 。解：，同理可得：，所以，。14. 设，求导函数的零点个数及其所在区间。解：对行列式按第列展开，知是的次多项式，则是的次多项式，据罗尔定理，只要找到的几个根，也就知道的根所在的区间。据范德蒙行列式知是的次多项式，且，其中，由罗尔定理，在，区间内至少各有的一个点，又是次方程，它只有个根。因此，上述各区间内有且仅有的一个零点。15. 证明平面上三条不同的直线，相交于一点的充分必要条件是。证：必要性设所给三条直线相交于一点，则，可视为齐次线性方程组，的非零解，从而有系数行列式，因为三条直线互不相同，所以，也不全相同，故。充分性若，将方程组化为：， 的第一、二个方程加到第三个方程，得：， 下面证明方程有唯一解。反证法：若方程组的解不唯一，则，由得：，不妨设，由，得，再由，得，矛盾，故，由克莱姆法则知，方程组有唯一解，从而知方程组有唯一解，即三条不同直线交于一点。16. 设，用克莱姆法则证明：如果有个互不相同的根，则是零多项式。证：设，为的个互不相同