谈“十字相乘法”教学.docx

谈“十字相乘法”教学亳州市谯城区魏岗中心中学 唐仿明“十字相乘法”是初中代数第二册第8.4节的内容，是学生应熟练掌握的因式分解的一种重要方法，具有分解因式简捷明快的特点。但是，因为分解时要经过多次尝试，有的二次三项式在有理数范围内还找不到分解方法，也是课本介绍的四种因式分解方法中的难点，灵活性和技巧性都很强，学生好接受，难掌握，看着容易做着难。现在我结合自己的教学实践，对这节教材的教学谈几点看法，请同行们指正。一、 重视分解原理的教学，开始就提出十字相乘思想对于x2+px+q型的二次三项式的“十字相乘法”，教材以具体的乘法x+2x+3=x2+5x+6为例，并倒置为x2+5x+6=x+2x+3经分析系数关系，得公式x2+a+bx+ab=x+ax+b。课本中对这类二次三项式因式分解，不借助十字交叉线，而只按公式进行。我在处理这部分教材时，在这里就提出十字相乘思想，引导学生观察公式特点，得出：把二次项系数1分解成11，把常数项q分解成ab，并把1、1、a、b按11ab排列，按斜线交叉相乘再相加，如果有1b+1a=a+b=p，则x2+px+q=x+ax+b，并用这种方法讲解例题。这样做可以把q=ab，同时a+b=p的观察、尝试、选择的思考过程直观化、图示化，借助十字交叉线进行，减小了难度，也为后面的内容打好了基础。二、 处理好知识的连接。课本在讲完x2+px+q型二次三项式的十字相乘法因式分解后，直接过渡到ax2+bx+c型的二次三项式的十字相乘法，跳跃性大，学生不易接受，我在教学时，先通过辅助例题进行。补例：用十字相乘法分解因式：4x2+4x-15 3x2+11x+10解：4x2+4x-15 =2x2+22x-15 22-35=2x-32x+53x2+11x+10 =133x2+113x+30 1325=133x+53x+6=x+23x+5把它们通过变形，归结为x2+px+q的形式，再用十字相乘法分解。又从3x2+11x+10=x+23x+5可以看出，二次项系数3=13，常数项系数10=25，当把1、3、2、5也写成1325后，发现有15+23正好等于一次项系数11，从而进一步引导学生如何把二次三项式ax2+bx+c用十字相乘法分解因式。通过这些过渡，使学生感到从x2+px+q型二次三项式的分解到ax2+bx+c 型二次三项式的分解是一步接一步，没有跳跃，再加上学生在前面已有了借助十字交叉线进行因式分解的思想和方法，使用十字相乘法分解ax2+bx+c的教学更是顺理成章，水到渠成，大大减小了难度。三、 紧扣大纲，抓住重点，突破难点根据大纲，对于x2+px+q型二次三项式适用十字相乘法分解因式的题目，其常数项系数的绝对值不易太大，如果绝对值过大，计算起来较繁，没有多大必要，对于首项系数不是1的适用十字相乘法因式分解的题目，教学要求应控制在二次项系数与常数项系数的积的绝对值不大于60的整系数多项式，否则，难度过大，学生不易掌握。教学时应紧扣大纲，不宜超纲，加大难度，加重学生负担。对于用十字相乘法分解因式的重点是：运用公式x2+a+bx+ab=x+ax+b和11ab分解x2+px+q 二次三项式与运用a1a2c1c2 来分解ax2+bx+c 型二次三项式，难点是如何经过多次尝试，借助十字交叉线确定分解方法进行因式分解。教学中应抓住重点，掌握基本方法，设计一些启发性对比训练，以突破难点。四、 精心设计练习，及时巩固及时进行课堂练习是使学生所学知识得到巩固的行之有效的方法。设计时不仅要注意形式，而且要注意练习的层次与反馈，我认为在这节的教学中应着重从以下几点设计练习。1、基础知识经常练，可使学生熟练基础，另外在知识上也起到承前启后的作用。例如为熟练进行十字相乘的尝试，可设计这样的练习：把下列各数分解成两个有理因数的积，要求把所有可能情况都列举出来： 2； -7； 18； -36。填括号：（每题填三组）x2+_x+8=_； x2+_x-8=_2、难点知识对比练。对于二次项系数a和常数项c 有时有多种调试方法，学生不易掌握，在教学时宜借助十字交叉线进行对比练习。让学生在对比中学会分析，在对比中学会判断，在对比中掌握方法，达到熟能生巧的目的。如可设计如下类练习：用十字相乘法分解3x2+11x+6 调试时有多种可能： 1316； 1361； 1323； 1332； 13-1-6；但经过分析、判断、比较、选择，只有符合要求。3、重点知识反复练。借助十字交叉线对二次三项式进行因式分解，是学生必须掌握的重点，要反复练习。设计练习要有一定的针对性，要从不同角度、不通过层次强化此重点，使学生逐步掌握。如可设计下面的练习：填空：左边填常数项，右边填一次因式x2-5x+_-_-_-_=_把下列各项事式用十字相乘法分解因式：（2分钟完成为熟练，3.5分钟完成为较熟练，5分钟以上完成为不熟练） x2+37x+36=_； x2-20x+36=_； x2+35x-36=_； x2-16x-36=_； x2+9x-36=_； x2-36=_；五、 以根的判别式判断分解的可能性，帮助教学。通常对于整系数二次三项式用十字相乘法在有理数范围（特别是整数范围）内分解时才显得简捷明快，若是必须分解成无理系数，则麻烦而不实用。根据一元二次方程中用求根公式进行因式分解的公式ax2+bx+c=ax-x1x-x2，（其中x1、2=-bb2-4ac2a）可知，方程ax2+bx+c=0的根的判别式=b2-4ac 的值如果能是一个有理数的平方（最好是一个整数的平方），则x1、x2 就都是有理数，二次三项式ax2+bx+c就可以在有理数范围内分解因式。这些知识如果这时提出来，是属超纲、脱节，是不符合教学规律的，但教师在教学这节内容时，可以在头脑中运用这些知识来确定分解的可能性，做到心中有数，这样可起到调控教学的作用。如分解因式：6x2+13x+6 ； 4x2+7x+2 。在解 时，由=132-466=169-144=25=53 可知，它可以用十字相乘法在有理数范围内分解因式，经调试得2332，所以6x2+13x+6=2x+33x+2 ；在解时，由=72-442=49-32=17 可知，它不宜用十字相乘法在有理数范围内分解因式。六、 推广引伸，提出双十字相乘思想。因为初中代数第三册的二元二次方程组的解法中，常需要将二元二次方程通过降次转化为二个二元一次方程，这就需要对ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 型多项式进行因式分解。这类因式分解有时不宜进行，而借助十字相乘法，则变得比较简便。教师在讲解时可作为选学内容只介绍方法，而不必说明原理。对于关于x 的多项式Hx=Fx,y=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=ax2+by+dx+cy2+ey+f ，关于x 的一元二次方程Hx=0 的有实根的必要条件是=by+d2-4acy2+ey+f=b2-4acy2+2bd-2aey+d2-4af 是关于y 的完全平方式，则有=2bd-2ae2-4b2-4acd2-4af=0 ，即-164acf+bde-ae2-cd2-fb2=0 ，因为a0 ，所以24acf+bde-ae2-cd2-fb2=2abdbd2cee2f=0 ，特别地当2abdbd2cee2f=0，且b2-4ac 是一个非零有理数的平方时，可以用“十字星乘法”把Fx,y 在有理数范围内分解因式。分解时，先把ax2+bxy+cy2 分解为a1a2c1c2 ，使a=a1a2 ，c=c1c2 且a1c2+a2c1=b ；再把cy2+ey+f 分解为c1c2f1f2 ，使c=c1c2 ，f=f1f2 且c1f2+c2f1=e ，最后看ax2+dx+f 是否符合a1a2f1f2 使a1f2+a2f1=d ，来确定分解方法，如果符合，则Fx,y=a1x+c1y+f1a2x+c2y+f2 。也可以把这个调试过程写在一起，用表示，称为“双十字相乘法”，来分解Fx,y 这样的二次六项式。如：例：把多项式x2+3xy+2y2+4x+5y+3 分解因式。