习题16-函数的连续性.pdf

微积分 A 习题解答 习题习题 1 6 P68 1 讨论下列函数在指定点的连续性 若是间断点 说明它的类型 1 xy 1 x 0 x 解 因为 1 1lim lim 11 fxxf xx 故函数在1 x处连续 因为 0 0lim lim 00 fxxf xx 故函数在0 x处右连续 2 9 3 2 x x xf 3 x3 x 解 因为函数在处无定义 故在 xf3 x3 x是间断点 又 6 1 3 1 lim 9 3 lim lim 3 2 33 xx x xf xxx 故函数在 xf3 x处为可去间断点 第一类间断点 3 1 lim 9 3 lim lim 3 2 33 xx x xf xxx 故函数在 xf3 x处为无穷间断点 第二类间断点 3 xycos 00 Rxxx 解 因为 coscoslim lim 00 00 xfxxxf xxxx 故函数在 0 xx 处连续 4 1 1 x ey 1 x 解 因为函数在处无定义 故在1 x1 x是间断点 又0lim 1 1 01 x x e 1 1 01 lim x x e 所以函数在1 x处为无穷间断点 第二类间断点 5 012 01 xx xe xf x 解 因为 01lim lim 00 x xx exf1 12 lim lim 00 xxf xx 故为第一 类间断点 跳跃间断点 1 x 3 求下列函数的极限 1 x xe x x 1 lim 0 解 x x x e x xe x xe x x x x x x x 11 lim 1 lim 11 1 lim 1 lim 0000 2 1 2 1 1 2 limlim 00 x x x x xx 2 ln tanlim 4 x x 解 01lntanlimln ln tanlim 44 xx xx 3 x xx x ln 1ln lim 解 0 1 lim 1 lim 1 1ln lim ln 1ln lim 2 xx x x x x xx xxxx 第 1 章 极限与连续 第 6 节 函数的连续性 3 7 微积分 A 习题解答 4 11 1ln lim 0 x x x 解 2 2 lim 11 1ln lim 00 x x x x xx 5 x axa x ln ln lim 0 解 ax a x x a x x axa xxx 1 lim 1ln lim ln ln lim 000 6 ex x ex 1ln lim 解 ex x ex 1ln lim t etetex t ln ln lim 0 t e t t 1ln lim 0 t e t t0 lim e t 1 lim 0 e 1 7 x x x 1 1 1lim 解 2 1 1 2 1 lim1 1 1lim x x x x xx 8 1ln sin sin lim 0 x x x 解 1ln sin sin lim 0 x x x 1 sin lim 0 x x x 9 2 1 0 coslim x x x 解 2 1 cos1ln 0 lim 2 1 0 2 1 0 1 cos1 lim coslim x x xx x x x exx 2 1 2 2 2 0 lim 2 1cos 0 lim eee x x x x x x 10 lim 22 xxxx x 第 1 章 极限与连续 第 6 节 函数的连续性 4 7 微积分 A 习题解答 解 lim 22 xxxx x 2 lim 22 xxxx x x 1 1 1 1 2 lim xx x 1 11 x x x 3 1ln 21ln lim 解 xx x x x x x 3 1ln 2 1 1 2lnlim 3 1ln 21ln lim 2ln3 2 1 2 lnlim3 3 2 1 2ln lim x x x x xx x 12 1ln cos1 1 cossin3 lim 2 0 xx x xx x 解 1ln cos1 1 cossin3 lim 2 0 xx x xx x x x xx x 2 1 cossin3 lim 2 0 2 1 cos lim 2 sin3 lim 00 x x x x xx 2 3 13 n nn nn n n7 arcsin 1 tan 3 sin 3 arctan 1 tan lim 3 3 解 7 1 713 31 lim 7 arcsin 1 tan 3 sin 3 arctan 1 tan lim 3 3 3 3 n nn nn n n nn nn n nn 4 证明 方程01sin xx在和0 之间有实根 证明 设 则在1sin xxxf xf 0 上连续 且0 1 1 0 babxaxba 第 1 章 极限与连续 第 6 节 函数的连续性 5 7 微积分 A 习题解答 证 明 设bxaxxf sin 则在 xf 0 ba 上 连 续 且 0 sin 1 0 bafabbaf 1 若0 即1 sin 0 baff b 则取baa 有0 f 2 若0 则由零点定理得 至少存在一点 0 0 babxax在上的正根 0 ba 6 设在上连续 且 xf 1 0 1 0 xf 证明 在上至少有一点 1 0 使 f 证明 设 则在上连续 由条件xxfxF xF 1 0 1 0 xf可得 0 1 1 0 1 0 ffFF 1 若 则取0 0 f0 有 f 2 若 则取01 1 f1 有 f 3 若且0 0 f01 1 f 此时0 1 0 FF 由零点定理得 至少存在 一点 1 0 使得 f 由 1 2 3 即知在上至少有一点 1 0 使 f 7 设在上连续 xf 2 0 a 2 0 aff 0 faf 求证 至少存在一点 0 a 使 a f f 证明 设 则由在上连续得 在上连 续 由条件 axfxfxF 2 0 aff xf 0 f 2 0 a xF 0 a af 可得 2 0 0 afafaffaFF 0 0 fafaff 0 0 2 pqpxx 证明 1 证根的存在性 设 则在qpxxxf 3 xf 连续 又0 lim xf x 零点定理 由无穷大的定义知 使得 f 0 bf 由得 至少存在一点 0 a 0 px qpx的一个实根 2 证根的惟一性 反证法 设存在 1 xRx 2 21 xx 使得 且 两式相减有 即 由 有 推出 而 0 1 3 1 qpxx0 2 3 2 qpxx 0 21 3 2 3 1 xxpxx0 2 221 2 121 pxxxxxx 21 xx 0 2 221 2 1 pxxxx 2 221 2 1 xxxxp 0 2 2 21 2 221 2 1 2 221 2 1 2 221 2 1 xxxxxxxxxxxxxx 从而有 与已知矛盾 因而 方程有且只有一个实根 了利用导数研究函数的单调性之用函数的单调性来证明了利用导数研究函数的单调性之用函数的单调性来证明 一个登山运动员从早上 7 00 开始攀登某座山峰 在下午 7 00 到达山顶 第二天早上 7 0 p0 p 0 0 3 pqpxx 注 在学习后 惟一性可以注 在学习后 惟一性可以 9 00 再从山顶开始沿着上山的路下山 下午 7 00 到达山脚 试利用介值定理说明 这个运 动员在这两天的某一相同时刻经过登山路线的同一地点 说明 设上山路线高度函数为 tf 下山路线高度函数为 tg 19 7 t 山