CAP微积分(上)练习题参考答案.pdf

CAP 微积分 上 练习题 全卷共 15 题 共 100 分 考试时间 120 分钟 一 选择题 1 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 下列每题给出的四个选项 中 只有一个选项是符合题目要求的 1 已知函数 2 e1 sin 1 1 x x f x x x 则 f x的可去间断点是 A 0 x 和1x 均是 f x的可去间断点 B 0 x 和1x 均是 f x的跳跃间断点 C 0 x 和1x 分别是 f x的可去间断点和跳跃间断点 D 0 x 和1x 分别是 f x的跳跃间断点和可去间断点 答案 A 2 设函数 f x在0 x 处可导 且 0 2 lim1 x fxfx x 则 0 f A 1 B 3 C 1 2 D 1 3 答案 D 3 设函数 2 ln 0 1 1 1 x xx f xx ax 在1x 处连续 则a A 0 B 1 C 2 D 1 2 答案 D 4 右图是可导函数 f x的导函数 yfx 的图象 从图上可以看出 函数 f x的极值点与拐点的个数依次 为 A 3 3 B 3 4 C 4 3 D 4 4 答案 B 5 曲线 32 4 8 21 x y x 在0 x 对应的点处的切线方程是 y f x O y x 2 5 A 2 4 x y B 4 x yx C 2yx D 2yx 答案 C 6 设函数 f x满足 0fx C 2 3f D 2 f与3的大小关系无法确定 答案 C 二 填空题 7 10 小题 每小题 4 分 共 16 分 7 2 1 lim 1 n n n n 答案 4 e 8 微分方程 2 secyyx 满足条件 0 1y 的解是y 答案 tan e x 9 函数 2 1yxx 在0 x d2x 时的微分值dy 答案 2 10 设 22 0 f xxxo xx 则 0 f 答案 2 三 解答题 11 15 小题 共 60 分 解答应写出文字说明 证明过程或演 算步骤 11 本题满分12分 设函数 2 2 1sinsin sin xxabx f x x 且0 x 是 f x的可去间断点 求 a b 的值 3 5 解 因为0 x 是 f x的可去间断点 所以 0 lim x f x 存在 从而 22 00 lim1sinsin sin lim 0 xx xxabxf xx 即 10a 故1a 6分 又因为 2 2 2 00 cos2sin cos cos 1sinsin 1sin 2 1sinsin limlim 2 xx xxx bx xxbx xx xx 所以当 20 cos2sin cos1 lim cos 0 2 2 1sinsin x xxx bxb xx 时 2 2 0 1sinsin 1sin lim x xxbx x 这与 0 lim x f x 存在 矛盾 所以 1 0 2 b 故 1 2 b 12分 12 本题满分12分 设函数 yy x 由方程 322 1 9 3 yxyx y 确定 求 0 y 和 0 y 的值 解 在 322 1 9 3 yxyx y 两端关于x求导 得 222 220y yyxyyxyx y 在 式两端关于x求导 得 2222 2 42 240y yy yyyx yyyyxyx y 6分 将0 x 代入 322 1 9 3 yxyx y 解得 0 3y 将0 x 0 3y 代入 式得 9 0 90 y 即 0 1 y 将0 x 0 3y 及 0 1 y 代入 式得 9 0 61260 y 即 0 0 y 12分 4 5 13 本题满分12分 已知函数 3 2 1 x f x x 求函数 f x的 I 单调递减区间及极值 II 下凸区间及拐点 III 图象的渐近线 解 函数 f x的定义域为 1 1 2 3 3 1 xx fx x 4 6 1 x fx x 由 0fx 得 0 x 3x 由 0fx 得 0 x I fx 的符号变化如下 x 3 3 1 1 0 0 fx 所以 f x的单调递减区间为 3 1 极大值为 27 3 4 f II fx 的符号变化如下 x 1 1 0 0 fx 所以 f x的下凸区间为 0 拐点为0 x 8分 III 因为 3 2 11 lim lim 1 xx x f x x 所以1x 是曲线 yf x 的一条铅直渐近线 又由于 3 2 limlim1 1 xx f xx xxx 且 32 22 2 lim limlim2 1 21 xxx xxx f xxx xxx 所以2yx 是曲线 yf x 的一条斜渐近线 12分 5 5 14 本题满分12分 当 0 2 x 时 证明3tan2sinxxx及 0 0 f 可知 0 0fxf 又因为 0 0f 所以 0 0f xf 即3tan2sinxxx 因为函数 f x在 上可导 所以 0 f xffc x 其中 0 cx 又因为 1fx 所以 0 f xfx 故lim x f x 6分 II 令 2F xf xx