第1章习题答案.pdf

1 第第 1 章习题答案章习题答案 1 1 在球坐标系中 试求点 2 2 6 33 M 与点 4 0 3 N 之间的距离 提示 换在至直 角坐标系下求解 解 解 sincos sinsin cos xr yr zr 直角坐标系下点M N的坐标分别是 3 3 9 3 22 M 2 3 0 2N 或者 2 60 4 50 3 0 3 46 0 2 0 所以有 222 829 05 MNMNMN MNxxyyzz 1 2 证明球坐标单位矢量的微分 1 r e e 2 sin r e e 证明 证明 cossincoscossin sinsinsincoscos xyz xyz r e eee eee e sincossinsincos sinsinsincos sinsincos sin r xyz xy xy eee ee ee e e 1 3 设sincosabc xyz Feee 式中a b c为常数 求积分 2 0 1d d 2d F SF 解 解 d cossin d ab xy F ee 2 d sincossincos d cossin0 abcbcacab ab xyz xyz eee F Feee 2 0 1 sincosd 2 bcacabab xyzz Seeee 1 4 若 2 1 16 z r De 在半径为 2 和0 2 的半球面上计算d S DS 解解 因为ddsin d r rr Se cos zr ee 所以 2 2 22 00 2 2 22 00 2 22 0 2 22 0 22 d1 16sind d 1 16sincos d d 1 1 162 sin2 d 2 1 1 162 cos2 4 1 16 zr S rr rr rr rr rr DSee 将2r 条件代入上式 可得 d260 S DS 1 5 设 xyz xyz reee r r n为整数 试求r n r f r 解 解 xyz r rrrr xyz r eee 或采用球坐标 sin rrr r rrrr r rr eer ee 12nnn rnrrnr r fr f rfrr r r 1 6 矢量A的分量是 x ff Ayz zy y ff Azx xz z ff Axy yx 其中f 3 是 x y z的函数 还有 xyz xyz reee 证明 f Ar 0 A r 0f A 证明 证明 1 f Ar 因为 xyz fff f xyz eee xyz xyz reee 故有 xyz xxz fxyz fff xyz ffffff yzzxxy zyxzyx eee r eee 因此f Ar 得证 式f Ar也表明 f ArA 所以有0 A r 0f A 或者证明如 下 2 证明0 A r 0ff A rrrrr 得证 3 证明0f A 0fffff Arr 得证 1 7 求函数 2 x yz 的梯度及 在点 2 3 1M沿一个指定方向的方向导数 此方向上的 单位矢量 345 505050 0 xyz leee 解 解 22 2xyzx zx y xyz eee 在点 2 3 1M 12412 M xyz eee 方向导数 345112 1241215 84 50505050 M l 4 1 8 在球坐标系中 已知 2 0 cos 4 e P r e P 0 为常数 试求矢量场 E 解 解 33 00 sin cossin 2 4 ee rrr PP rr r r E e e e ee 1 9 设S是上半平面 2222 0 xyzaz 它的单位法线矢量 n e与oz轴的夹角是锐 角 求矢量场 xyz xyz reee向 n e所指的一侧穿过S的通量 解 解 矢量场 xyz xyz reee在球坐标系中的表达式为 r r re 有向面元dS的表达式为 2 dsin d d rr Se 所以有 2 2 2 00 2 2 3 00 3 dsin d d sin d d 2 rr S rr r a rSee 1 10 求 A在给定点的值 1 333 xyz xyz Aeee在点 1 0 1M 2 2 42 xyz xxyz Aeee在点 1 1 3M 3 xyz Ar在点 1 3 2M 式中的 xyz xyz reee 解 解 1 222 333xyz A 1 0 1 6 M A 2 422xz A 1 1 3 8 M A 3 222 xyzxyz xyzxyz xyzx yzxy zxyz Areeeeee 2226xyzxyzxyzxyz A 1 3 2 36 M A 5 1 11 已知 xyz xyz reee r r r e 试求 r r e r r e 2 r r e 以及 r C C 为常矢量 解 解 1 3 xyzxyz xyz xyz reeeeee 2 2 r rr rr rrr e 其中 3 r 2 r rr rr r rr 所以 2 32 r rr rr e 3 2 rrr rr rr eee 2 2 2 1 r rr r r r r r 4 22 24 rrr rr rr eee 2 4 4 2 2 22 0 rr rrr r rr r rr 5 rr r r C CC 1 12 在球坐标系中 设矢量场 f r Fr 试证明当0 F时 3 C f r r C为任 意常数 证明证明 f r Fr f rf r rr 6 3 3 3 frrf r frf r r rfrf r r r r 若使0 F 即 30rfrf r 这是一阶微分方程 具体求解方法如下 3 30 3 0 ln3ln rfrf r df r dr f rr f rrC C f r r 得证 1 13 求 矢 量 场 xyz xyz Aeee在 点 1 3 2M的 旋 度 以 及 在 这 点 沿 方 向 22 xyz neee的环量面密度 解 解 M M xyz xyzxyzxyz xyz eee A 34 M xzzyxyyzyzxz xyz xyz eee eee 1 22 3 0 xyz neee 环量面密度 11 1 68 33 0 A ni 1 14 设 xyz xyz reee r r C为常矢 求 1 r 2 f r r 3 f r C 4 f r rC 7 解 解 1 0 xyz xyz xyz eee r 2 f rfrrf r rrr 0 fr r r r 3 f rf r CC frr fr r C rC 4 f rf rf r iirCCrrC 0 fr r irrC 1 15 如果电场强度 00 cossin r EE Eee 求 E和 E 解 解 0cosr EE 0sin EE 0E 0 r E r 0cos E E 2 2 00 2 1 sinsin sin 1 2sincos2sincos 0 sin r rErErE rr E rE r r E 8 2 2 00 2 sin 1 sin sin 1 sin sin 1 sinsinsin sin 0 r r rr r rr rr ErErE rErEEE rr rr rEE r eee E eee e 1 16 试用斯托克斯定理证明矢量场f 沿任意闭合路径的线积分恒等于零 即 d0 l f l 证 证 dd lS ff ii lS 0f d0 l f i l 1 17 试证明 如果仅仅已知一个矢量场F的旋度 不可能唯一地确定这个场 证 证 已知 FV 如果F是上述方程的一个解 那么 F也是上述方程的一个解 为任意可微函 数 x y z 这是由于 FFFV满足方程 这个矢量场不能唯一确定 1 18 试证明 如果仅仅已知一个矢量场F的散度 不可能唯一地确定这个场 证 证 已知F的散度为 即 Fi 0 A i 如果F是上述方程的一个解 那么 FA也是上述方程的一个解 A为任意可 微函数 x y zA 因此 仅仅已知一个矢量场F的散度 不可能唯一地确定这个场 1 19 证明 dd VS f Vf S 其中f是坐标的函数 S 是限定体积 V 的闭合面 证 证 设c为任意常矢 则 9 ff cc ii dd d d d VV V S S f Vf V fV f f ii i i i cc c cS cS c为任意常矢 所以有 dd VS f Vf S 1 20 证明 dd VS V FFS S 是限定体积 V 的闭合面 证 证 设c为任意常矢 则 cFcF ii dd d VV V VV V ii i cFcF cF d d d S S S i i i cFS c FS cFS c为任意常矢 所以 dd VS V FFS 1 21 证明 dd lS uu lS l是限定曲面 S 的周界 证 证 设c为任意常矢 则 uu cc dddd llSS uuuu iiii clclcScS c为任意常矢 dd lS uu lS 1 22 证明 22 AAii 证 证 2 AAA i 10 2 AAAiiii 0 B i 22 AAii 1 23 设有标量函数u v 证明 222 2uvuvvuuv i 证 证 2 uvuvu vv u ii uvuvvuvu iiii 22 2uvvuuv i 1 24 试证明格林第一定理 2 dd VS V S S 是限定体积 V 的闭合面 式中标量函数 和 在体积 V 内具有二阶连续偏导数 证 证 由高斯散度定理 dd VS V FFS 令F等于一个标量函数 和矢量函数 的乘积 即 F 为另一标量函数 则 2 F 取上式在任意体积 V 的积分 并应用高斯散度定理 得 2 dd