实变函数期中复习题.pdf

华中师范大学华中师范大学 2013 2014 学年第一学期学年第一学期 实变函数期中复习题实变函数期中复习题 一 判断题 判断正误 正确的请简要说明理由 错误的请举出反例 1 若 n fx 1n 2 和 f x都为可测集E上的可测函数 且lim n n fxf x ae于E 则 n fxf x xE 2 设 n fx 1 2 n 和 f x都为 0 1 上的可测函数 且 n fxf x ae于 0 1 则 n fxf x 于 0 1 3 若 f x是 0 1 上的可测函数 则0 存在闭集 0 1 F 使得 0 1 mF f x是F上的连续函数 4 设 n fx 是 0 1 上的一列非负单调可测函数 则 lim n n f xfx 是 0 1 上的 Lebesgue 可积函数 5 设 n fx 是 0 1 上的一列非负可测函数 则 1 n n f xfx 是 0 1 上的 Lebesgue 可积函数 二 叙述题 请完整地叙述以下定理或命题 1 F Riesz 定理 黎斯定理 2 Egoroff 定理 叶果洛夫定理 3 关于依测度收敛与几乎处处收敛关系的 Lebesgue 定理 勒贝格定理 4 Lusin 定理 鲁津定理 三 证明题 请完整地写出以下命题的证明 1 设 f x是 上的实值函数 且 f x在 上的任一有限区间上都可 测 则 f x在 上也可测 2 设 f x是 上的实值连续函数 则 f x是 上的 Lebesgue 可测函 数 3 设 f xg x都是可测集 n E上的非负可测函数且 f xg xxE 用 A x表示集合A的特征函数 示性函数 证明函数 f x g x F x tt是 1 E上的 可测函数 4 设E是 Lebesgue 可测集 n fx 12 n f x都是E上的 Lebesgue 可积函数 若lim n n fxf x xE 且lim d d n n EE fxxf xx 证明 nnn F xfxf xfxf x 在E上非负可测 5 若RnE 是 可 测 集 f x为E上 的 可 测 函 数 1 RU 为 开 集 则 1 fUxE f xU 是可测集 6 若RnE 是 可测 集 f x为E上 的可 测函 数 1 RU 为G 型集 则 1 fUxE f xU 是可测集 7 若RnE 是 可 测 集 f x为E上 的 可 测 函 数 1 RF 为 闭 集 则 1 fFxE f xF 是可测集 8 若 f x为 1 R上的可测函数 1 RU 为F 型集 则 11 fUxRf xU 是可测集 可测函数 9 设RnE 是可测集 f x y为 1 RE 上的实函数 满足 1 对xE f x y是关于y在 1 R上的连续函数 2 对 1 Ry f x y是关于x在E上的可测函数 证明 对于任何E上的实值可测函数 g x F xf x g x也是E上的可测函数 10 若 f x是 1 R上的实值可测函数 则 g x tf xt 是 2 R上的可测函数 11 设E是 n 中的测度有限的可测集 若几乎处处有限的可测函数列 n fx在E上 几乎处处收敛于 f xf xa e 于E 试用 Egoroff 定理证明存在一列可测集合 1 2 k Ek使得在每个 k E上 n fx一致收敛于 f x 而 1 0 k k m EE 1