高等数学课后习题答案--第四章.pdf

70 高等数学 习题参考资料 第二篇 线性代数和空间解析几何 第四章 矩阵和线性方程组 1 从多元一次方程组谈起 1 证明 对三元一次方程组 3333232131 2323222121 1313212111 bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa 第一次消元后 第二和第三个方程的系数不全为 0 及第二次消元后 第三个方程 的系数不为 0 等价于不存在 不全为 0的常数 1 2 和 3 使得 0 3332321313 3232221212 3132121111 xaxaxa xaxaxa xaxaxa 提示 经过第一次变换后矩阵变为 a11a12a13 0 a22a11a21a12 a11 a23a11a21a13 a11 0 a32a11a31a12 a11 a33a11a31a13 a11 于是0 33322322 aaaa 即表示 23 13 22 12 21 11 a a a a a a 33 13 32 12 31 11 a a a a a a 则结论成立 不然 经过第二次变换矩阵变为 a11a12a13 0 a22a11a21a12 a11 a23a11a21a13 a11 0 0 a33a11a22a33a21a12a31a13a22a32a11a23a32a21a13a31a12a23 a22a11a21a12 若 33 a0 则 312213332112322311312312322113332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa 0 于是 记 321 LLL分别表示第1 2 3个方程的左端 有 71 0 3 2221 1211 2221 1211 2 2221 1211 3231 1211 1 2221 1211 3231 2221 L aa aa aa aa L aa aa aa aa L aa aa aa aa 2 向量与矩阵 习 题 1 设x x T 2 1 5 2 0 y y T 0 2 2 1 1 计算 5x x 3y y 3x x 2y y 1 答案 1 T 10 1 19 7 3 2 T 6 7 19 8 2 2 设A 31 11 22 B 25 31 21 计算 2A 3B 5A 2B 2 答案 1 013 115 21 2 1915 13 1412 3 设A 241 241 B 25 31 21 C 31 11 22 计算AB BA AC CA A 2B 3C 3 答案 AB 1415 1415 BA 14287 8164 241 AC 00 00 CA 8164 482 000 32 CBA 2830 2830 4 求所有使 2 A 0 的二阶方阵A 4 答案 b0 00 0 00 c ac ba 且0 2 bca 72 5 求 2 A 3 A n A 1 A 10 11 2 A 100 110 011 5 答案 1 10 1n An 2 100 10 1 2 1 n n A nn n 6 设x x 1 0 1 y y 2 1 A 232 101 求 x xTx x y yTy y xyxyT y yTA Ax x y yTAx x 6 答案 1 2 xxT 5 yyT 21 00 21 T xy 5 6 5 AyT 4 2 Ax 10 AxyT 7 设A 232 101 求 AAT T AA 7 答案 174 42 T AA 565 696 565 AAT 8 设A 21 11 i i x x i i 1 1 求x xHAx x 8 答案 10 9 计算AB BA 1 A 321 212 221 B 121 124 114 2 A 121 211 002 B 1151 423 213 9 答案 1 357 6125 829 2 4256 2434 451 73 10 试举例说明下列论断是错误的 1 若AB 0 则有A 0或B 0 2 2BA 2 A 2AB 2 B 3 A 0 则由Ax x 0 可导出x x 0 10 答案 1 见第 4 题 2 只要BAAB 的方阵就可以了 3 11 11 A 11 证明两个上 下 三角阵的乘积仍为上 下 三角阵 11 答案 设 nnij aA 和 nnij bB 都是上三角阵 由于上三角阵有 kiaik 0 jkbkj 0 于是 当ji 时 在 n k kjikij bac 1 中 当jk 时0 ik a 因此 n k kjikij bac 1 0 ji 即AB也是上三角阵 12 设A B为n阶方阵 x x与y y为n维向量 试用矩阵记号表示下列结果 1 n i iijx a 1 j y j 1 2 n 2 n k n j jjkik xba 11 i y i 1 2 n 12 答案 1 yxAT 2 yxABT 13 设 n AaaaL 21 T n T T A A A M 2 1 mn R n x x x M 2 1 x m R n y y y M 2 1 y n R 用A x x y y的矩阵运算表示下列结果 1 m i ii x 1 a 2 n j T jj y 1 A 13 答案 1 Ax 2 AyT 14 在 13 题的记号下 设A BCD 试证 ij a j T i CdB 14 提示 设 nm A sm B ts C nt D 于是 T m T T B B B B M 2 1 ij cC n dddDL 21 直接验算 15 设A mn R b b m R 在 13 题的记号下 成立 T i Ab b 0 ni 2 1L 74 证明Ab b 0 0 15 提示 直接验算 16 设 A nn C n H IAA 记 A 1 0 0 001 AM L 试证AA H 1 n I 16 答案 AO O A 1 H H AO O A 1 AO O AO O AA H H 11 AAO O H 1 1 n I 17 设A n aaaL 21 nn R 且 n T IAA 证明 T i a j a ij i j 1 2 n 17 提示 直接验算 18 设 0 0 n n I I A 求A的幂 m A 18 答案 由于 OI IO OI IO A n n n n2 n n n I IO OI 2 因此 n k IA 2 2 AA k 12 L 3 2 1 k 19 设R a a b b n R A B nn R A A0 T a B B 0T b 证明存在非零的1 n阶方阵C 使BCCA 19 答案 取 OO Os C 其中s是任意实数 事实上 设 QP NM C QP NM AO a CA T AQAP QaNPaM TT QBQbP NBNbM BC 由BCCA 得 PaNb T QaNNB T QbPAP QBAQ 即数M可以任意值 要QBAQ 成立 则OQ 于 75 是NNB PAP 可以取 T QP0 0 也可以在 是A和 T B的公共特征值 时 取P和 T N分别为A和 T B的特征向量 3 行列式 3 行列式 习 题 1 按定义计算下列各行列式 1 421 324 253 2 1015 0374 3501 3112 3 ab ba ab ba 00 00 00 00 4 ab bab bab ba 00 0 0 00 1 答案 1 69 2 512 3 222 ab 4 4224 3bbaa 2 计算下列行列式 1 2117 215 431 2 axbxba bax bax 222 3 baacbc abaccb bacacb 4 abcd badc cdab dcba 2 答案 1 160 2 333333 axbxbabax 3 abc8 4 dcbadcbadcbadcba 利用 AB BA BABA ab ba A cd dc B cadb dbca BA cadb dbca BA BABA 2222 dbcadcca dcbadcbadcbadcba 3 证明 0 1 2 1 1000 000 010 001 000 a ax ax ax ax n n n L MMMM K K L nn nn axaxaxa 1 1 10 L 76 3 答案 第一列乘以 x an 加到最后一列 使最后一列的第一个元素为零 再第 二列乘以 x a x n 11 1 加到最后一列 使最后一列的第二个元素为零 逐次进行 直到最后一列的第1 n个元素为零 4 证明以下等式 321 321 321 211332 211332 211332 1 ccc bbb aaa cccccc bbbbbb aaaaaa 4 提示 利用列的加减 5 计算下列行列式 n D为n阶行列式 1 9463 5012 1861 6152 2 0 0 0 0 aba aab baa aba 3 n D baaa abaa aaba n n n L MOMM L L 21 21 21 4 n D xaa axa aax L LL L L 5 n D n a a a 111 111 111 2 1 L MOMM L L 0 21 n aaaL 题略 5 答案 1 1142 2 224 4bab 3 n i i nnn abb 1 1 1 4 1 1 n axanx 5 n i i n a aaa 1 21 1 1L 6 证明 1 aaaa axaaa aaxaa aaaxa n L L MMOMM L L 2 1 n xxaxL 21 77 2 1 21 21 222221 111211 n nnnnn n n yyy xaaa xaaa xaaa L L MMMM L L A n i n j iiij yxA 11 其中 ij A是 det A 中 ij a的代数余子式 6 提示 1 最后一列乘以 1 分别加到前 n 列 2 按最后一列 行 展开 对每一代数余子式按最后一行 列 展开 1 21 21 222221 111211 n nnnnn n n yyy xaaa xaaa xaaa L L MMMM L L nn n n n n n n n yyyy aaa aaa x yyy aaa aaa x 21 33231 11211 12 2 21 33231 22221 11 1 1 1 MOMM L L L MOMM L L n n n nn n yyy aaa aaa x L MOMM L L L 1 22221 11211 1 1 A n i i ni i DxA 1 1 1 而 i D nii niiiiii niiiiii nii yyyy aaaa aaaa aaaa LL MLMLM LL LL MLMMMM LL 11 11 1 11 1 11 1 111 11 1111 2 2 21 1 1 1 1 i n i n MyMy ij jn j My 1 L in nn n My 1 L n j ij jn j My 1 1 78 1 21 21 222221 111211 n nnnnn n n yyy xaaa xaaa xaaa L L MMMM L L n i i ni i DxA 1 1 1 n i n j ij jn j ni i MyxA 11 1 1 1 n i n j ij nji ji MyxA 11 21 1 A n i n j iiij yxA 11 7 对于下列有关方阵的等式 若成立 则证明之 否则 举出反例说明 1 det A B det A det B 2 det 2 BA 2 det BA 3 det 2 BA det 22 2BABA 7 答案 1 不成立 2 成立 3 不成立 4 逆 阵 习 题 1 设A cossin sincos 求 1 A 1 答案 cossin sincos 1 A 2 求下列矩阵的逆阵 1 641 452 121 2 211 112 432 3 1000 2100 3210 4321 4 i ii 21 21 5 100 210 0 5 2 1 6 020000 103000 020100 001030 000202 000010 79 2 答案 1 123 258 3814 2 453 685 121 3 1000 2100 1210 0121 4 ii ii 13 3 13 2 13 2 13 3 13 4 13 7 13 6 13 4 5 100 210 5 45 21 6 010309 2 1 00000 000103 101000 000001 1010 2 1 0 3 设A C分别是m阶和n阶可逆阵 T C BA 0 U CB A0 求 1 T和 1 U 3 答案 1 111 1 CO BCAA T 111 1 1 CBAC OA U IOCB OIOA IOCB OAOI 1 IBACO OAOI 1 1 111 1 CBACIO OAOI 于是 111 1 1 CBAC OA U 4 证明上 下 三角阵的逆阵仍为上 下 三角阵 4 证明 一 以下三角阵为例 由于A可逆 因此0 ii a 0jiaij 设 1 ij bA 由IAA 1 于是 ji ji ba n k kjik 0 1 1 取1 i 则利用 0jiaijj时 得求和仅保留一项 0 111 j ba 因此 1 0 1 jb j 即 1 A除第一元素外均为零 再取2 i 当2 j 时 1 22221221 baba 由于0 12 a 因此推出 1 2222 ab 而当2 j时 0 222121 jj baba 由0 1 j b 推出 2 0 2 jb j 类似可以证明 当ji时 ij a是在主对角线 的下方 因此 ij a的余子式 ij M是一个下三角行列式 且其主对角线上的元素有一个 为零 于是0 ij M 因此 1 A是下三角矩阵 5 设A为非奇矩阵 证明 2 1 A 1 2 A 5 答案 利用 111 ABAB得 1211121 AAAAAA 6 设23 矩阵满足BAXX 且 101 111 010 A 35 02 11 B 求X 6 提 示 BXAI 201 101 011 AI 3 1 3 1 0 3 1 3 2 1 3 1 3 2 0 1 AI BAIX 1 11 02 13 7 设0 21 n aaaL 求以下矩阵的逆矩阵 0 0 0 1 2 1 n n a a a a O OO 81 7 答案 0 1 00 00 1 0 000 1 1 000 1 2 1 n n a a a a L MOMMM L L L 8 如果 k A 0 k2 证明 1 AI I A 2 A 1 k A 8 提示 利用 12 AIAAAI k LIAI k 即得证明 9 设u u v v n R A为n阶可逆阵 且uv 1 A T 1 证明 1 T Auv 1 A uv uv 1 11 1 A AA T T 9 答案 由已知 uv 1 A T 1 则矩阵 uAv AuvA AB T T 1 11 1 1 存在 因此只要证明 IBuvA T 事实上 BuvA T 11 AuvAA T uAv AvuAvuAuvAA T TTT 1 1111 1 I uAvT 1 1 1 111111 AuvuAvAuvAuvuAvAuv TTTTTT 上式括号内的项的和为零 因此结论成立 10 设x 1 利用上题求 2 32313 32 2 212 3121 2 1 1 1 1 xxxxx xxxxx xxxxx 的逆阵 10 答案 1 1 2 3 2 2 2 1 xxx 1 1 1 2 2 2 12331 23 2 3 2 121 3121 2 3 2 2 xxxxxx xxxxxx xxxxxx 11 设A ij a B ij b和C ij c是n阶方阵 且 ij c ij a n k ikkjc b 1 i j 1 2 n 1 写出矩阵A B C之间的关系式 2 设A 300 010 121 B 110 021 111 求C 82 11 答案 1 CBAC 2 C 963 100 231 12 设A为 3 阶方阵 A为其伴随矩阵 若 24 1 A 求 1 120 3 1 AA 12 提示 1 120 3 1 AAA 1 1203AAAA IAI 1203 2 I 8 13 用 Cramer 法则解下列线性方程组 1 734 4173 9362 321 321 321 xxx xxx xxx 2 2466 42843 123 32352 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 13 答案 1 x1 3 x2 0 x3 5 143 2 x1 2 x2 0 x3 1 x4 5 17 14 对线性方程组 1 3333 dzcybxa dczbyax zyx 确定其能用 Cramer 法则求解的条件 并求出它的解 14 答案 cbcaba cba 当cba 互不相等 且0 cba 时 方程组能用Gram法则 其解是 1 cbacbcaba dcbdcdb x 2 cbacbcaba dcadcda x 3 cbacbcaba dabacab x 15 设A为n阶非零方阵 A为其伴随矩阵 证明 若 T AA 则0 A 15 提示 T AAAA 又IAAA 于是 AA是对角阵 若0 A则 OAA 0 1 n k jkika a nji 2 1 L 特别ji 时 0 1 2 n k ik a 因此 0 ik a nki 2 1 L 于是A为n阶零阵 与已知矛盾 83 16 设n次多项式 n nx axaaxf L 10 证明 若 xf有1 n个互异的零 点 则0 xf 提示 若0 10 n ini xaxaaL 1 2 1 niK 于是以 n aaa 10 L为未知 数的1 n元线性方程组 0 0 0 1110 2210 1110 n nnn n n n n xaxaa xaxaa xaxaa L M L L 的系数行列式是 Vandermonde 行 列式不为零 齐次方程只有零解 即0 10 n aaaL 0 xf 5 向量的线性关系 习 题 1 判断下列向量组是否线性无关 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 2 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 答案 1 线性无关 2 线性相关 2 举出一个线性相关的向量组的实例 使其中存在非零向量不能用其余向量线性 表出 2 答案 a 1 0 0 0 b 0 1 0 0 c 2 0 0 0 b不 能由a c 线性表出 3 证明定理 4 5 1 若向量组 m jj1 a中有若干个向量线性相关 则整个向量组线 性相关 反之 若向量组 m jj1 a线性无关 则其中任意个向量线性无关 3 提示 设前l个 ml 证明 0 det AB 5 提示 由于mn 于是mAr mBr 于是nmABr 因此 0 det AB 6 设 nn A R 记它的伴随阵为A 试证 1 当 rank A n时 rank A n 2 当 rank A n 1 时 rank A 1 3 当 rank A n 1 时 rank A 0 6 答案 先证明一个性质 若BA 是两个n阶方阵 则 nBrankArankABrank 事实上 若rArank tBrank 则存在非异阵QP 使 00 0 r I PAQ 于 是BPAQQPAB 1 00 0 r I BQ 1 00 0 r I C 00 0 r I 2 1 C C 0 1 C 因此 ABrank 0 1 C rank 1 Crank rnCrank nrCrank nArankBrank 1 若nArank 则0 A 由于 IAAA 所以0 A 即 nArank 87 2 1 nArank 所以0 A 因此 0 AA 0 nArankArankAArank 即nArankArank 因此 1 AranknArank 有因为1 nArank 因此至少有一个代数余子式 0 ij A 因此1 Arank 2 另解 1 nArank 所以0 A 因此 0 AA nnij nnnn n n A AAA AAA AAA A 21 22212 12111 L MOMM K L 即0 1 n j ijijA a ni 2 1K 及0 1 n j kjijA a 于是 i in i i A A A M 2 1 是齐次线性方程组0 A的解 而A的秩为1 n 因此其基础解系 的维数是 1 即向量组 i 的秩为 1 于是1 Arank 3 若1 nArank 因此一切代数余子式0 ij A 因此0 Arank 7 设 nn A R 2 A A 证明 rank A rank I A n 7 答案 设A是n阶方阵 且AA 2 证明nAIrankArank 解 利用nBrankArankABrank 及 BrankArankBArank 由于IAIA 及 OAIA 因此 AIrankArank nAIArank 及 AIrankArank nAIArankn 所以 nAIrankArank 8 求非奇异矩阵P和Q 使得P 311 012 210 Q为 00 0 r I 形式 8 答案 3 2 3 1 1 3 2 3 1 0 3 1 3 1 0 P 100 210 111 Q 88 7 线性方程组 习 题 1 求下列齐次方程组的通解 1 0793 083 032 05 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 2 0264 02 0452 vuzyx vuzyx vuzyx 1 答案 1 4 3 2 1 x x x x 1 0 2 1 3 2 13 0 21 cc 2 v u z y x 1 0 0 1 3 1 c 3 1 0 3 2 3 11 2 c 2 下列方程组当a b取什么值时有解 3345 3622 323 1 54321 5432 54321 54321 bxxxxx xxxx axxxxx xxxxx 并在有解时写出它的通解 2 答案 2 0 ba 5 4 3 2 1 x x x x x 0 0 1 2 1 1 c 0 1 0 2 1 2 c 1 0 0 6 5 3 c 0 0 0 3 2 3 求下列非齐次方程组的通解 1 14422 0 1 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 2 3377 222 53 uzyx uzyx uzyx 3 3235 9532 222 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 89 3 答案 1 4 3 2 1 x x x x 1 1 0 0 0 0 1 1 21 cc 0 0 2 1 2 1 2 u z y x 4 0 8 1 0 1 3 7 3 2 1 c 3 4 3 2 1 x x x x 1 3 0 1 0 1 2 3 7 3 1 1 cc 0 0 3 13 3 7 4 设三阶非零方阵B的每一列向量都是方程组 03 02 022 zyx zyx zyx 的解 1 求 的值 2 证明0 B 4 提示 1 055 得1 2 由于2 Ar 于是0 Ax的线性无关解仅一个 因此B的列向 量线性相关 于是0 B 5 问数k为何值时 方程组 2 1 kkzyx kzkyx zykx 分别有唯一的解 无穷多组解和无解 5 提示 023 3 kk 得1 1 2 k 当2 k时 3 2 bArAr 方 程无解 当1 k时 1 bArAr 方程解 1 0 0 1 1 0 1 0 1 21 cc z y x 否则方程 组有唯一解 2 1 2 1 2 1 2 k k k k k z y x 6 问ba 为何值时 方程组 90 3 2 3 3 2 2 2 1 zbaay zbyax zyx 分别有唯一的解 无穷多组解和无解 6 提示 0 baa 于是当0 a且ba 时 方程组唯一 解 0 1 1 z a y a a x 当0 a且ba 时 2 Ar 3 bAr 方程无解 当 0 ba时 1 Ar 2 bAr 方程无解 7 设 r aaa 21 L 是一组线性无关的向量 r j jiji c 1 ab ri 2 1L 证明