高等数学课后习题答案--第七章.pdf

132 高等数学 习题参考资料 第三篇第三篇 多元函数微积分 第七章 多元函数微积分 第七章 多元函数微分学 1 多元函数的极限与连续 多元函数微分学 1 多元函数的极限与连续 习 题 1 当 0 0 yx时 下列函数的极限是否存在 若存在 求出其极限 1 22 23 yx xyx 2 11 22 22 yx yx 3 11 22 22 yx yx 4 22 2 yx yx 5 22yx eyx 6 22 22 yx yx 7 cos 1 22 22 yx yx 8 22 2 xyx x 答案 1 0 2 2 3 0 4 不存在 5 0 6 不存在 7 0 8 不存在 2 求出下列极限 1 ln lim 22 0 1 yx ex y yx 2 11 lim 22 11 22 0 0 yx yx e yx 3 1 lim 22 3 2 1 xyz zyxy zyx 4 222 222 0 0 0 lim zyx zyx zyx 答案 1 2ln 2 0 3 5 8 4 0 3 讨论下列函数在原点O 0 0 处是否连续 1 0 0 0 1 xy xy z 2 0 0 0 sin 33 33 33 33 yx yx yx yx z 133 3 0 0 0 sin 22 22 22 33 yx yx yx yx z 答案 1 不连续 2 不连续 3 连续 4 指出下列函数的连续范围 1 sinsin 1 yx u 2 1ln 22 yxu 3 22 1 ln byax u 解 1 在 kx 且 ky 时函数连续 2 1 22 n 解 2 22 1 2 n nix xxxnu i L iix x u 1 2 22 1 2 2 n ni xxnxnL 2 2 22 2 2 1 nxxx n n L 于是成立 0 2211 nnx xxxxx uuuL 13 设映射f为 TT vuyx a 其中的对应关系由下列函数组定义 试求出 f的Jacobi矩阵及微分 1 sin cos yev yeu x x 2 arctan ln 22 x y v yxu 答案 1 yeye yeye J xx xx cossin sincos 2 2222 2222 yx x yx y yx y yx x J 14 计算下列映射的导数 1 22 yx yx yxf 2 sin cos v vu vu vug 解 1 yx J 22 11 ydyxdx dydx dy dx Jdf 22 137 2 10 cossin sincos vuv vuv J dv vdvuvdu vdvuvdu dv du Jdgcossin sincos 15 求曲面 22 42yxz 在 2 1 12 处的切平面方程 答案 1 8 2 812 yxz 16 求螺旋线kjirtttt sincos2 在点 2 1 0 处的切线方程 答案 1 2 0 1 2 z yx 17 求曲线 2 sin4 cos1 sin t ztyttx 在点 22 1 1 2 处的切线方程 答案 2 22 1 1 1 1 2 zy x 18 求曲线 32 tztytx 上切线平行于平面42 zyx的点 答案 27 1 9 1 3 1 1 1 1 21 MM 3 链式求导法则 习 题 1 设vuzln 2 其中 23 yxv y x u 求 y z x z 解 x z 23 3 23ln 2 2 2 2 yxy x y yxx y z 23 2 23ln 2 2 2 2 2 yxy x y yxx 2 设uvyvuxyxyxw sin 22 求 v w u w 解 138 u w 1 cos 222 2 vuvvuuvvu 1 cos 222 2 uuvvuvuvu v w 3 设 sin cos 22 ryrxxyyxz 求 z r z 解 sin coscossin3 2 ttttr r z sinsincos2 coscossin2 32323 ttttttr z 4 设 4 3 arccos 3 tytxyxz 求 dt dz 解 dt dz 642 2 162491 123 ttt t 5 设 arctan xyz 而 x ey 求 dx dz 解 dx dz x x ex xe 22 1 1 6 xeaxsin 6 设 cos sin 1 2 xzxay a zye u ax 求 dx du 解 xe dx du ax sin 7 设f具有连续一阶偏导数 求 y u x u 其中 1 22xy eyxfu 2 x y y x fu 解 1 x u 2 21 fyexf xy 2 21 fxeyf y u xy 2 2 2 1 f x y y f x u 1 21 2 f x f y x y u 139 8 设 yxf具有连续偏导数 且1 1 1 f 2 1 1 x f 3 1 1 y f 如果 xxfxfx 求 1 解 xxfxxffxffxfx yxyx 1 1 1 1 1 1 1 1 1 yxyx ffff 7 21 21 9 设f是可微函数 ba 为常数 btyatxfz 证明 y z b x z a t z 提示 x z 1 btyatxf 2 btyatxfzy 21 btyatxbfbtyatxafzt 即成立所证等式 10 设f是可微函数 x y xfxyu 证明 xyu y u y x u x 提示 2 x y x y f x x y fyux x y f x y x y fy y u xx y xfx 1 x y fx y u y x u x x y yf x y xfxy x y yfyx xyu 11 设f是二元函数 具有二阶连续偏导数 求下列函数的 2 22 2 2 y z yx z x z 1 yxyfz 2 y x xfz 3 cos cosyxfz 4 22 xyyxfz 解 1 2 11 yfzxx 11211 fyfxyfzxy 2 221211 2 fxffxzyy 140 2 1 2 22 2 1211 f y f y fzxx 1 22212 2 ff y x xf y zxy 2 2 3 22 4 2 f y x f y x zyy 3 sin cos 11 2 1 xfxfzxx sinsin 12 yfxzxy sin cos 22 2 2 yfyfzyy 4 4 2 2 22 4 12 3 111 fyfxyxyfyfzxx 2 5 2 2 2 22 3 12 22 11 3 21 fxyfyxyfxyfxfzxy 4 4 2 22 22 12 3 11 4 2 fyxyfxfxxfzyy 12 设f是具有二阶连续偏导数的三元函数 xyyxyxfu 求 2 2 2 yx u x u 解 321 yfffux 321 xfffuy 2 2 2 33 2 2322131211 fyyffyfffuxx 13 设 xy t dteyxf 0 2 求 2 22 2 2 2 y f x y yx f x f y x 解 2222 yx y yx x xefyef 22 3 2 yx xx exyf 2222 22 2 yxyx xy eyxef 22 3 2 yx yy yexf 2 22 2 2 2 y f x y yx f x f y x 22222222 222222 2242 yxyxyxyx eyxeeyxeyx 22 2 yx e 14 设 yxfu 具有各个二阶连续偏导数 3 2 1 3 2 1 tsytsx 证明 1 2222 t u s u y u x u 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t u s u y u x u 提示 直接计算各个导数 141 15 设有映射 32 RR f TT wvuyxa 22 RR g TT yxtsa 其中 x y wxyvyxu 2222 ts t y ts s x 求复合映射gfo的 Jacobi 矩阵 解 ts ts ts ww vv uu yx yx yx ww vv uu ss ss yy xx 222 22 222 222222 22 2 2 2 1 11 ts ts ts st ts st ts ts xx y xy 2222 22 2222 22 222 22 222 22 222 22 222 22 2 2 2 2 2 2 tsx tsxyst tsx xsttsy ts tsyst ts xstyts ts tsts ts tsts 16 设映射 2121 gggfff 其中 22 2 22 1 tstsftstsf arctan ln 2 22 1 x y yxgyxyxg 求复合映射gfo的 Jacobi 矩阵 解 yx yx ff ff 22 11 2222 2222 2 2 2 2 yx txys yx tyxs yx txys yx tyxs 17 设在直角坐标系 yx下 变量vu 满足 Cauchy Riemann 方程 yx vu xy vu 142 证明在极坐标系 r下 上述方程相应地变换成 1 v r ur r vu r 1 解 sin cosryrx 222 yxr x y arctan xr r x r x rx r y ry 22 yx y x 22 yx x y 代入表达式 xxrx uruu yyry uruu xxrx vrvv yyry vrvv 即得到 1 v r ur r vu r 1 18 求 和 使得线性变换 yx yx 将微分关系式 02 2 22 2 2 y u C yx u B x u A 化简为 0 2 u 其中A B C为常数 且0 C 0 2 ACB 解 解 x u x u x u uu uu y u ux u u uy u u uxx 2 2 u 2 2 u 2 2 u uxy 2 2 u 2 u 2 u 2 2 u uyy 2 2 2 u 2 2 u 2 2 2 u 143 2 22 2 2 2 y u C yx u B x u A A 2 2 G 2 A 2 G A 2 2 G 2 B 2 2 G 2 B 2 G 2 B 2 G 2 B 2 2 G C 2 2 G 22 C 2 G C 2 2 G 2 因此当 是方程02 2 CrBrA的两个解时 原方程变为 2 CBA 0 2 u 19 设 02 2 22 2 2 y z yx z x z 且 x y v yxu x z w 写出新的因变量的w关于新的自变量vu 所满足的微分关系式 解 0 2 2 v w 事实上 xwxx wffz vu w x y xww vuy wxwz vvuvuuuxx w x y w x y xwwz 2 2 3 2 vvuvuvuuuxy w x y ww x y xwww 2 vvuvuuyy w x wxww 1 2 于是 2 22 2 2 2 y z yx z x z vv w x yx 3 2 0 即当0 yx时 原方程化为0 2 2 v w 4 隐函数微分法及其应用 习 题 144 1 求下列隐函数的导数 dx dy 1 0 sin xyyxe x 2 1sincos xeye yx 解 1 xyx yyxex cos cos 2 xeye xeye yx yx sinsin coscos 2 求下列隐函数的一阶偏导数 yx zz 1 04 32 zxyxzyz 2 1coscoscos 222 zyx 3 022 xyzzyx 4 ln y z z x 解 1 2 122 zxyz zy zx 2 2 122 zxyz xz zy 2 zz xx zx sincos sincos zz yy zy sincos sincos 3 xyxyz yzxyz zx xyxyz xzxyz zy 2 4 zx z zx 2 zxy z zy 3 设F是三元可微函数 0 zyxyxxF 求 yx zz 解 3 321 F FFF zx 3 32 F FF zy 145 4 设 yxzzzxyyzyxx 都是由0 zyxF所确定的具有连续编导 数的函数 证明 1 x z z y y x 解 x z z y y x x z z y y x F F F F F F 1 5 设 33 3axyzz 求 2 yx z 解 3322246 4222 33 2 yxzyxxyzz zyxxyzz zxy 6 设 0 xyze z 求 2 2 x z 解 33222 2 33 22 yxeyxxyee xyezezy z zzz zz xy 7 试求由下列方程组确定的映射 z y xfa 的Jacobi阵 1 2032 222 22 zyx yxz 2 1 0 222 zyx zyx 解 1 xx yyxz22 0642 xx zzyyx 032 xx zzyyx 032 xx zzxzx z x zx 31 x z x yyx2 31 2 x y 31 2 62 zy xzxx 31 2 6 zy xzx z x zy xzx J 31 31 2 6 146 2 01 xx zy 0 xx yzyyy 0 xx zzyyx 0 x zzyxy zy yx zx 0 xx zzzyz yz zx yx zy yx yz zx J 8 求由下列方程组确定的映射 TT vuyx a的Jacobi阵 1 cos sin vuey vuex u u 2 2 yvxugv yvuxfu 其中gf 具有连续一阶偏导数 解 1 cos sin 2 1 yvueF xvueF u u vuve vuve v F u F v F u F u u sincos cossin 22 11 y F x F y F x F 22 11 10 01 1 22 11 v F u F v F u F veve vv vve uuu coscos cossin 1 cos sin 1 veve vv vve J uuu coscos cossin 1 cos sin 1 2 2 2 1 vyvxugF uyvuxfF 1 2 1 21 21 22 11 vygg fxf v F u F v F u F y F x F y F x F 22 11 2 2 1 21 gvg ff u 1 22 11 v F u F v F u F 122 1 122121 gfgvyf xgfxvy 1 12 11 22 f xg fgvy 147 122 1 122121 gfgvyf xgfxvy J 2 2 21 2 1211 2 2 212121 1 1 2 2 gvgfxvgffxug gvvyfgff ugfuvy 9 设 txfy 0 tyxF 其中二元函数f和三元函数F均具有连续一阶 偏导数 且0 z F 证明 tyt xttx FFf FfFf dx dy 解 由 txfy 0 tyxF知 ty 均是x的函数 利用一阶微分的形式 不变性有 dtfdxfdy tx 0 dtFdyFdxF tyx 或 xt f dx dt f dx dy xty F dx dt F dx dy F 联立解得 tyt xttx FFf FfFf dx dy tyt xyx FFf FFf dx dt 10 求曲面3 xyze z 在点 2 1 0 处的切平面方程 答案 yzyxFx xzyxFy 1 z z ezyxF 代入点的坐标得平 面方程是 042 yx 11 求椭球面12 222 zyx上平行于平面02 zyx的切平面方程 答案 02 2 22 zyx 02 2 22 zyx 12 证明 曲面 0 aazyx上任何点处的切平面在各坐标轴 上的截距之和等于 a 解 设azyxzyxF x Fx 2 1 y Fy 2 1 z Fz 2 1 过 曲面上一点 000 zyxM的切平面方程a z z y y x x 000 平面的三个截距 分别为 0 ax 0 ay 0 az 于是截距之和为 148 0 ax 0 ay 0 az aaa 13 设vux 22 vuy 33 vuz 求 yx zz 解 xvxux vzuzz xx vvuu 22 33 而1 xx vu 022 xx vvuu 即 0 xx vvuu 因此 uv v ux uv u vx 代入得 uv uvvu zx 22 33 uv3 2 3 2 xy 同理得 xzy 2 3 14 已知曲面03 22 zyx 求经过点 1 0 0 A且与直线 212 zyx 平行的切 平面的方程 解 设切点是 000 zyxM 切平面的法向量 3 2 2 00 yx 切平面为 0 322 000 zzyyxx 经过点 1 0 0 A 于是1 0 z 切平面与直线 212 zyx 平 行 则0624 00 yx 解 03 0624 2 0 2 0 00 yx yx 得解 1 1 2 000 zyx 切平面是 0 1 3 1 2 2 4 zyx 15 设椭球面632 222 zyx上点 1 1 1 P处指向外侧的法向量为n 求函数 z yx u 22 86 在点P处沿方向n的方向导数 解 2 6 4 n 14 1 14 3 14 2 0 n x u 6 x 6 x28 y2z y u 8 y 6 x28 y2z z u 6 x28 y2 z2 n u 14 1 14 14 3 14 8 14 2 14 6 7 11 16 求由参数方程 cosvux sinvuy 22 uaz 给出的曲面在点 000 zyxA处的切平面方程 其中点A在曲面上 149 解 该曲面为 222 yxaz 曲面切面方程是 2 000 azzyyxx 0 0 z 17 试求空间曲线 04532 03 222 zyx xzyx 在 1 1 1 处的切线方程 答案 1 1 9 1 10 1 zyx 18 证明 曲面0 cz by cz ax f上任一点处的切平面均过一定点 提示 切面都过点 cba 5 方向导数 梯度 习 题 1 求函数 22 yxz 在点 1 2 处沿从点 1 2 到点 32 2 方向的 方向导数 解 321 3 1 l z l 2 求函数xyzu 在点 5 1 2 处沿从该点到点 9 4 14 方向的方向导 数 解 13 98 12 3 4 l z l 3 求函数 n ji jix xu 1 在点 1 1 1 处沿 1 1 1 L l方向的方向导 数 解 n i i xn 1 150 4 已知 222 yzxyzyxu 点 1 1 1 0 p 求u在点 0 p处的方向导数 l u 的 最大值和最小值 并指出相应的方向l 解 kji 2 2 2 gradyzzxyyxu kji32 grad 0 P u 最大值 是13 最小值13 由于l u l u grad 因此方向导数为零的方向即为与梯 度垂直的方向 其一般形式是kjitsts 32 其中ts 为任意常数 5 求下列数量场的梯度 1 22 yxu 2 zyx xyz u 3 1 n i i xu 解 1 22 yx yx ji 2 1 2 kjixyyxxzzxyzzy zyx 3 1 1 1 K 6 设 zyxfu 具有连续的二阶偏导函数 就方向 cos cos cosl 写出 二阶方向导数 2 2 l u ll u 解 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 coscoscos z u y u x u l u coscos2coscos2coscos2 222 zy u zx u yx u 7 设 zyxfu 具有连续的二阶偏导函数 设三个方向 cos cos cos 1111 l cos cos cos 2222 l cos cos cos 3333 l 互相垂 直 验证 151 1 2222 3 2 21 z u y u x u l u l u l u 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 z u y u x u l u l u l u 解 1 111 coscoscos 1 zyxl uuuu 222 coscoscos 2 zyxl uuuu 333 coscoscos 3 zyxl uuuu 2 3 2 21 l u l u l u coscos cos 3 2 2 2 1 22 x u coscos cos 3 2 2 2 1 22 y u coscos cos 3 2 2 2 1 22 z u coscoscoscoscos cos2 332211 yx uu coscoscoscoscos cos2 332211 yz uu coscoscoscoscos cos2 332211 zx uu 由于三个方向 321 l l l是互相垂直的单位向量 因此1coscoscos 3 2 2 2 1 2 1coscoscos 3 2 2 2 1 2 1coscoscos 3 2 2 2 1 2 0coscoscoscoscoscos 332211 0coscoscoscoscoscos 32211 0coscoscoscoscoscos 332211 于是 2222 3 2 21 z u y u x u l u l u l u 2 同理 2 3 2 2 2 2 2 1 2 l u l u l u coscos cos 3 2 2 2 1 2 xx u coscos cos 3 2 2 2 1 2 yy u coscos cos 3 2 2 2 1 2 zz u coscoscoscoscos cos2 332211 xy u 152 coscoscoscoscos cos2 332211 yz u coscoscoscoscos cos2 332211 zx u 也得到 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 z u y u x u l u l u l u 6 Taylor 公式 习 题 1 写出下列函数在原点处的2阶Taylor展开式 1 1ln yez x 2 1ln zyxu 答案 1 2 1 2 yxRyxyy 2 yzxzxyzyxzyx 222 2 1 2 1 2 1 22 yxo 2 求函数yxyxfsinsin 在点 4 4 处的2阶Taylor公式 答案 yxsinsin 2242 1yx 442 1 44 1 44 1 22 yxyx 22 yxo 3 求函数 yx eyxf 在原点处的n阶Taylor公式 答案 yx eyxf 2 22 00 n n s s k knk k n yxoyx n C 4 利用2阶Taylor公式计算 03 2 96 8的近似值 答案 利用 2 9 y x 222 9ln189 9 ln 2 81 9ln811881xxyyyx 得到 03 2 96 8 03 02 04 09 74 85 153 7 7 极 值 习 题 1 求函数14 44 xyyxyxf的极值 答案 1 1 1 min f 1 1 1 min f 1 0 0 max f 2 求函数 2 22 yyxeyxf x 的极值 答案 2 min e f 无极大值 3 讨论 22 xyyxf 的极值 答案 无极值 4 讨论函数 42 xyxyyxf 的极值 解 点 1 1 1 1 0 0 8 3 2 2 是驻点 0 1 1 1 1 0 0 fff yyxxfxx21230 24 3 42 xxfxy 2 yy f 在 0 0 处 0 2 ACB 但在 点 0 0 的邻域内f可以取正或负值 因此不取极值 如图 在点 1 1 1 1 0 2 ACB 可以验证 64 1 8 3 2 2 min f 这个例题也说明 函数 yxf在过点 00 yxM的每一条直线上都取极大值 那么函数 yxf在 点 00 yxM不一定有极大值 154 5 证明函数 yy yexeyxf cos 1 有无穷多个极大值点 但无极小值点 解 0sin 1 xef y x L 2 1 0 kkx 0 1 cos yxef y y 1 1 k y xef y xx cos 1 xef y xy sin yy yy eyxef 2 cos ACB 2 12 1 2 2 22 nkee nk 于是当 0 2 ynx 时 函数取极大值 当 2 12 ynx 时 函数不取极值 6 函数 yxzz 由下列方程确定 讨论其极值 1 08822 222 zxzzyx 2 0 3 2 94 22 2 z zy x 答案 1 1 0 2 处取极大 7 8 0 7 16 处取极小 2 6 0 0 max f 0 0 0 min f 7 求函数 sin sinsin yxyxyxf 在闭区域 2 0 0 yxyxyxD 上的最大值和最小值 答案 0 min f在边界上取得 2 33 3 3 max f 8 求 22 22yx ebyaxyxf 的最大值与最小值 ba 答案 0 0 0 min f 0 max max ba e b e a f 9 证明 当1 22 yx时 成立不等式 2 cos44 6 2 22 xyxy yx xy 155 解 当1 22 yx时 1 2 2 2 22 2 1 cos 242 1 22 xy xy yxxy 2 cos44 24 2 22 xyxy yx xy 求使产鱼总量最大的放养数 解 yxfyxyxyx 24 3 322 yxfx 442 yxfy 驻点是 2 2 34 2 23 2222 yx 048 222 ACB 因此取极大值 也是最大值 11 求 4 yxxyyxf 在6 0 1