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1 5 1 设是实能量信号 已知其傅氏变换为 求的能量谱密度 若另外已知是偶函数或奇函数 问 解 的傅氏变换是 的傅氏变换是 故 若是偶函数 则 是实函数 故 若是奇函数 则 2 设和是两个实信号 其希尔伯特变换分别是和 证明 证一 令分别表示和的傅氏变换 分别表示和 的傅氏变换 则 时域内积等于频域内积 故 从而得证两者相等 证二 令 则其希尔伯特变换是 的能量是 的能量是 希尔伯特变换不改变能量 即 故 故 2 5 证三 因此 的希尔伯特变换是 带入后得证 3 设和如下图所示 求以及 的能量谱密度 解 的傅氏变换是 能量谱密度为 的傅氏变换是 能量谱密度为 的傅氏变换是 能量谱密度为 故 4 设有带通信号 其中的功率是 求的功率 的复包络的功率 3 5 解 的功率是 的复包络是 其功率是 5 设有带通信号 将其通过如下线性系统 后成为 求的表达式以及的复包络 根据这个结果写出的希尔伯特变换 解 是带通信号 其复包络是 虽然不是带通系统 但只有的频带 范围内的部分起作用 也就是说 若令 其中是一个窗口 它在 的 f 处为零 其余 f 处为 1 那么通过的输出等同于通过的输出 是带通滤波器 其等效基带传递函数在基带范围内是常数为 故通过的 输出信号的复包络是 对应的带通信号是 当时 就是希尔伯特变换滤波器 故的希尔伯特变换是 6 下图是一个周期为的周期信号 求其自相关函数及功率谱密度 解 为方便起见 引入一个示性函数 定义如下 取的一个周期 可以看出它是两个矩形脉冲 的傅氏变换是 令 则 t O 7Tc Tc 3Tc 2Tc Tc 4 5 其功率谱密度为 自相关函数是上式的傅氏反变换 7 下图中 其中是带宽为 W 的零均值基带 信号 是其希尔伯特变换 若已知 求输出信号的表达式 解 的复包络是 输出包络是 依常理 也意味着 故上式可近似为 8 已知的频谱表达式为 求 解 是中心在 底宽为 2 高度为 1 的等腰三角形 将其平移 是中心 在原点的三角形 是两个宽为 1 高为 1 中心在原点的矩形的卷积 故对应到时 域是 对应到时域是 因此 9 令表示的希尔伯特变换 证明与正交 证一 令的傅氏变换是 则的傅氏变换是 时域内积等于频 域内积 故 偶对称 奇对称 故上式中的最后一个积分为零 因此与正 交 证二 5 5 注 若 则 证三 可将分成偶对称部分和奇对称部分 其中 令分别
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