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第三章习题课第三章习题课 数学科学学院 汪小平数学科学学院 汪小平 wxiaoping325 2 35 22222 1 lim 12 n nnn nnnn 例例1 利用定积分的定义表示极限利用定积分的定义表示极限 2 sinsin sin 2 lim 11 1 2 n nn n nn n 3 35 22222 1 lim 12 n nnn nnnn 22 1 lim n n i n ni 1 2 0 1 1 dx x 2 1 11 lim 1 n n i n i n 1 0 1 1 lim 0 1 n n i i f x dxf f x n n 若在可积 则有 若在可积 则有 4 35 解 解 由夹逼定理知由夹逼定理知 2 sinsin sin 2 lim 11 1 2 n nn n nn n 1 sin 1 n i i n n nn 1 0 11 sinsin limlimsin 1 nn nn ii ii n nn xdx nnn 而而 1 0 2 sinsin sin limsin 11 1 2 n nn xdx n nn n 1 2 sinsin sin 11 2 n n nn n n 1 sin n i i n n 1 0 1 1 lim 0 1 n n i i f x dxf f x n n 若在可积 则有 若在可积 则有 5 35 例例2 计算下列积分计算下列积分 1 1 fxCx y 若且对于有若且对于有 fxyfxfy 计算计算 1 2 1 1 xfx dx 2 4 4 sin 2 1 x x Idx e 6 35 2 0 fxg xa aa g xfx fxfxA A 设在区间上连续设在区间上连续 为偶函数 且满足条件 为常数 为偶函数 且满足条件 为常数 2 2 2 sinarctan x xe dx 0 1 aa a fx g x dxAg x dx 证明证明 7 35 1 fxCx y 若且对于有 若且对于有 fxyfxfy 计算 计算 1 2 1 1 xfx dx 0 xy 解 令 解 令 2 4 4 sin 2 1 x x Idx e 4444 xtdxdt xtxt 解 令 解 令 2 4 4 sin 1 x x Idx e 0 yxff xfx 令 有 令 有 f x因此是奇函数 因此是奇函数 0 0 0 fff 有 有 0 0f fxf x 1 2 1 10 xfx dx 所以所以 2 4 4 sin 1 t tdt e 2 4 4 sin 1 x xdx e 8 35 2 4 4 sin 1 x x Idx e 另一方面 另一方面 22 44 44 1sinsin 211 x xx xex Idxdx ee 所以 所以 2 4 4 sin 1 x x exdx e 22 4 4 1sinsin 211 x xx xex dx ee 2 4 4 1 1 sin 21 x x ex dx e 4 0 1cos2 2 x dx 2 4 0 sin xdx 44 00 11 cos22 24 dxxd x 1 84 9 35 0 2 0 1 aa a fxg xa aa g xfx fxfxA A fx g x dxAg x dx 设在区间上连续设在区间上连续 为偶函数 且满足条件 为常数 证明 为偶函数 且满足条件 为常数 证明 xt 解 令 解 令 a a f x g x dx 0 2 a a a f t g t dAg ttdt 0 aa a fx g x dxAg x dx 所以 所以 dxdt xata xata a a ft gt dt a a Af tg t dt 0 2 a a a f x g x dAg txdt 10 35 2 2 2 sinarctan x xe dx xt 22 22 1 sinarctansinarctan 2 xx Ixedxxe dx 2 2 1 sinarctanarctan 2 xx xeedx arctanarctan xx h xee 令 则 令 则 2 2 sin arctan t Ite dt 2 2 sinarctan x xedx 22 11 xx xx ee h x ee h xC 所以所以 0 2 x 令令 2 0 sin 22 Ixdx 0 11 35 3 0 0 b a f xC a bf x dx f a b 例 设 若 则例 设 若 则 使 使 证明 用反证法 证明 用反证法 f xa b若在无零点 则由于若在无零点 则由于 0 0f xC a bxa bf xf x 则 或 则 或 0f x 不妨设不妨设 f x即至多在端点为零即至多在端点为零 由上面知由上面知 0 b a f x dx 0a bf 矛盾 所以 使 矛盾 所以 使 3 1 0 5 0 b a f xC a bf xf x f x dx 教教设 若 但不恒 为零 证 设 若 但不恒 为零 证 例例 明明 材材 12 35 7 0 bb aa f xg xC a bg x a b f x g x dxfg x dx 设 且 证明 至少 存在一点 使得 设 且 证明 至少 存在一点 使得 习题习题3 1 b a b a f x g x dx f g x dx b a b a f x g x dx mM g x dx 0 b a bbb aaa g x dx mg x dxf x g x dxMg x dx mg xf x g xMg x 0 g x mf xM 13 35 0 bb aa a b f xg xC a bg x f x g x dxfg x dx 可可设 且 证明 至少存在一点 使得 设 且 证明 至少存在一点 使得 改为 改为 11 bb aa a bf x g x dxfg x dx 证明 使得 证明 使得 1 0 b a f xfg x dx 即 即 1 f xfa b 由于是上的连续函数由于是上的连续函数 3由例由例 a b 1 0 ffg 使使 1 0ff 即即 1 ff 得 即证 得 即证 14 35 f xC a bg xa b a b 设 且在连续不变号 则至少 存在一点 使得 设 且在连续不变号 则至少 存在一点 使得 1g x 当时 有 当时 有 bb aa f x dxfdxfba bb aa f x g x dxfg x dx 积分第一中值定理积分第一中值定理 15 35 4 x a f xa bF xf t dt F xa b 例 设在上可积 作 则 是上的连续函数 例 设在上可积 作 则 是上的连续函数 xa bf xf xa b f xM 证明 因为可积 所以在 有界 设 于是 证明 因为可积 所以在 有界 设 于是 F xxF x xxx aa f x dxg x dx xx x f x dx xx x f x dx 0 0 xF xxF x F x 从而 当时 这就证明 从而 当时 这就证明 了了的连续性 的连续性 Mx 16 35 0 0 0 0 0lim x x x xt f t dt f xf xf xt dt 设连续 求极限设连续 求极限 3 4 12 习习题 解 题 解 uxt 对分母作代换对分母作代换 dudt 0tux 0txu 0 0 0 lim x x x xt f t dt xf xt dt 00 0 0 lim xx x x xf t dttf t dt xf u du 0 0 0 lim x x x f t dt f t dtxf x ut换作换作 0 x F xf t dt 令令 Fxf x 连续 连续 0 0 0Ff 0 0F 0 lim x F x F xxFx 0 0 0 lim 0 0 x F xF x F xF Fx x 1 2 17 35 3 5 8 xxbb aaaa bb aa f xg xa b f t dtg t dtxa bf t dtg t dt xf x dxxg x dx 习习题设在上连续 且满足 证明 题设在上连续 且满足 证明 0 x a f tg tdt 分析 已知可改写为 分析 已知可改写为 0 b a f tg tdt 则只须证明 则只须证明 0 b a x f xg xdx x a F xf tg tdt 证明 设证明 设 0F x 则且 则且 Fxf xg x b a x f xg xdx b a xFx dx b a xdF x b b a a xF xF x dx b a bF baF aF x dx b a F x dx 0 18 35 1 xx dx ee 1 ux 原式 原式 23 11 dx uu 2 11 12 1 C xx 2 66 3 x dx ax 3 3 23 2 1 3 dx ax 原式原式 33 333 1 ln 6 ax C aax 2 1 x x e dx e 原式原式 2 1 x x de e 11 ln 21 x x e C e 3 2 1 x dx x 3 11 1 x dx x 原式原式或 或 19 35 sin 1cosxxx 分析 分析 1cos 4 sin x dx xx lnln 5 x dx x 4 sincos 6 1sin xx dx x lnlnlnxdx 原式原式 2 22 1sin 21 sin dx x 原式原式 sin sin d xx xx 原式原式ln sin xxC ln tx 令 再分部积分 令 再分部积分 2 1 arctan sin 2 xC 2 sin 2sincosxxx 分析 分析 或连续凑微分或连续凑微分 20 35 4 7 tan xdx 22 tan sec1 xdx 原式原式 22 tantan sec1 xdxdx 8 sinsin2 sin3xxxdx 1 coscos3 sin3 2 xxxdx 原式原式 11 cossin3cos3 sin3 22 xxdxxxdx 2 11 sin2sin4 sin 3 412 xx dxx 3 1 tantan 3 xxxC 21 35 5 6 14 u du u 原式原式 6 9 4 dx x x 6 6 1 14 2414 du u 10 0 axdx a ax 法1法1 分析 分母的次数较高 考虑倒代换 分析 分母的次数较高 考虑倒代换 22 1 adx ax 2 11 xdxdt tt 令则令则 22 22 11 2 d ax ax 22 ax dx ax 原式原式 22 35 ax u ax 令 令 2 22 1 2 11 a ua xa uu 22 4 1 au dxdu u 22 1 4 1 adu u 法2法2 原式 原式 2 22 4 1 au du u 2 22 11 4 1 u adu u 2 1 4 1 adu u 2 tansecutdutdt 令 令 22 1 1 du u 2 cos tdt 1 1cos2 2 t dt 11 sin cos 22 tttC 2 1 arctan 22 1 u uC u 23 35 11 1 dx xx 2 12 cosxxdx 22 11 22 dx x 原式原式 1 1cos2 2 xx dx 原式原式 1 2sin2 4 xdxx 2 2 1 dx x 原式原式 11 sin2 24 xdxxdx 2ln1xxC 分部积分分部积分 法1法1 法2法2 24 35 13 cos ax ebxdx 14 1 x dx e 22 15 1 dx xx 两次分部积分 又出现所求积分两次分部积分 又出现所求积分 2 2 2 1 ln 1 1 x t textdxdt t 令则 令则 法1法1 用三角代换 用三角代换 2 1x C x 0 x 当时 当时sec xt 令 令sec tan dxttdt 则 则 0 2 t 22 1 dx xx 2 sec tan sectan tt dt tt cossintdttC 25 35 2 1x C x 0 x 当时 当时sec xt 令 令sec tan dxttdt 则 则 2 t 22 1 dx xx 2 sec tan sec tan tt dt tt cossintdttC x 2 1x 1 2 1 sin x t x 22 5 2 16 dx ax sinxau 令 令 cosdxaudu 22 5 2 dx ax 44 11 cos du au 2 4 1 tan1 tandt a 2 11 xdxdt tt 代 代法法 用倒换 用倒换2 2 22 1 dx xx 2 1 t dt t 26 35 42 17 1 dx xx 2 11 xdxdu uu 令 令 18 sinxxdx 2 xu 令 令 2 2sin uudu 则原式则原式 2 19 ln 1 xdx 分部积分分部积分 代入 化简代入 化简 3 2 1 u du u uu 原式原式 2 2 1 1 u u udu u 2 tan sec xt dxt 令代入得 令代入得 2 4 1sin sin sin t dt t 4 sec tan t dt t 原式原式 3 4 cos sin t dt t 2 22 2 2 ln 1 ln 1 1 x xdxxxdx x 法1法1 法2法2 27 35 2 tansecxxdx 原式原式 2 3 sin 20 cos x dx x 3 secsecxdxxdx 2 3 3 1cos secsec cos x dxxdxxdx x 或 原式或 原式 2 22 sin sin sin1 x dx x 原式原式 22 1 1 1 dt tt 2 22 11 sin 1 t dt t tx 2 1 1 dt t 21 arctanxdx 1 arctanxxxC 1先考虑先考虑法法化掉根式化掉根式 2 2tx xtdxtdt 令令 2arctan ttdt 原式原式 1 arctan 2 1 xx x 法法注意到则 注意到则 arctan 1 xdx 原式原式 1 arctan xxx dx 法2 法1 法2 法1 28 35 1cos 22 sin xdx x 2 cos 2 2sincos 22 x dx xx 原式原式讨论讨论 3 8 2 23 1 x dx x 4 4 2 2 1 4 1 dx x 原式原式 4 tan xt 令令 11 84 24 32 x dx xx 8 4 84 1 432 x dx xx 原式原式 法法2 2 1 2 2 1 1 du u 2 cos1 cos cos1 x dx x 原式原式 1 1 cos 1 du u u u x 根式换元或根式换元或 法法1 29 35 22 4 4 dx xx 原式原式 4 25 16 dx x sin 26 1sin x dx x 2 sin 1sin cos xx dx x 裂项裂项原式原式 sin 27 1cos xx dx x 2 sectan 222 xxx dxdx 原式原式 22 111 844 dx xx 22 1111 8844 dxdx xx 法法1 法法2 cos 2 2 1cos 2 x dx x 原式原式 cos 1cos t dt t 2 tx 令 令 2 2 2cos1 2cos 2 t dt t 30 35 3 sin 2 cossin 28 cos xx xx edx x sinsin costansec xx exxdxexxdx 原式原式 sinsin sec xx xdeedx 3 3 29 x dx xxx 65 6xu dxu du 令令 2 1 6 du uu 原式原式 2 30 1 x dx e 2 1 x xx de ee 2 1 x du uu ue 31 35 3 42 31 1 xx xx ee dx ee 22 1 xx xx ee dx ee 原式原式 2 1 xx xx d ee ee 2 32 1 x x xe dx e 2 1 1 x x x d e e 原式原式 22 33 ln 1 xxdx 1 1 x xd e 1 1 1 x xxx x de eee 2 22 2 2 ln 1 ln 1 1 xxx xxxdx x 原式原式 2222 ln 1 2 ln 1 1 xxxxxdx 32 35 2 3 2 ln 34 1 x dx x 2 11 xdxdu uu 令令 3 2 2 ln 1 uu du u 则原式则原式 1 2 2 ln 1 udu 2 tan sec xt dxt 令则令则 2 2 ln ln 1 1 xx xxC x 2 3 lntan sec sec t tdt t 原式原式lntansintdt 2 sinsec sinlntan tan tt ttdt t sinlntanln sectan ttttC 法法1