线性映射与线性变换.ppt

线性变换是线性空间的核心内容 反映的是线性空间中元素间的一种基本联系 体现出一种 动态的 或者 直观的 视角 借助基的概念 可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系 因此通俗地讲 变换即矩阵 这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算 2维空间的线性变换 3维空间的线性变换 2 1线性映射及其矩阵表示 定义1设V1 V2是数域P的两个线性空间 A是V1到V2的一个映射 如果对V1中任意两个向量 和任意数k P 都有A A A A k kA 则称A是V1到V2的线性映射或线性算子 若V1 V2 V 则称A是V上的线性变换 线性映射与变换的举例 由数k决定的数乘变换 单位变换 恒等变换 零变换 I V V I V O V V O 0 V K V V K k V 线性映射与变换的举例 线性空间P x n的微分运算是线性变换 I f x f x f x P x n 线性空间C a b 的积分运算是线性变换 作为数学分析的两大运算 微分和积分 从变换的角度讲都是线性变换当然 非线性映射也是大量存在的 I A detA A Pn n 不是线性映射 定理1设A是线性空间V1到V2的线性映射 则 1 A 0 0 2 A A 3 若 1 2 m是V1的一组向量 k1 k2 km P 有A k1 1 k2 2 km m k1A 1 k2A 2 kmA m 4 若 1 2 m是V1的一组线性相关向量 则A 1 A 2 A m 在V2中线性相关 当且仅当A是一一映射时 V1中线性无关向量组的像在V2中也线性无关 线性映射的性质 定理2设A B是线性空间V1到V2的两个线性映射 若 1 2 n是V1的一组基 并且A i B i i 1 2 n 则A B 注 定理2说明线性映射由基像组唯一确定 2 线性映射的运算 1 设A B都是V1到V2的线性映射 A B的和A B为 A B A B 任意的 V1 2 设A是V1到V2的线性映射 B是V2到V3的线性映射定义A B的乘法BA为 BA B A 任意的 V1 3 设A是V1到V2的线性映射 k P 定义k与A的数量乘积kA为 kA kA 任意的 V1 线性映射的加法适合交换律和结合律 线性运算的乘法适合结合律 对线性映射定义了加法和数乘运算后可知 V1到V2的所有线性映射组成的集合构成数域P上的线性空间 记为L V1 V2 3 线性映射的矩阵表示 是的基 是的基 设是线性映射 记 则存在唯一的使得 称矩阵A为线性映射T在基与基下的矩阵 矩阵和线性映射互相唯一确定 在给定基的情况下 线性空间V1到V2的线性映射L与m n矩阵一一对应 且这种对应保持加法和数乘两种运算 L V1 V2 与Pm n同构 注 定理7设T为V1到V2的线性映射 则 例1设V1 R x n V2 R x n 1 取线性映射T V1 V2T f x f x f x R x n 求T在R x n的一组基1 x xn 1与R x n 1的基1 x xn 2下的矩阵D D 1 0 0 1 0 2 0 n 1D 2 1 1 0 2 0 n 1D 3 2x 0 1 2 2 0 n 1 D n n 1 xn 2 0 1 2 2 n 1 n 1 解在R x n中取基 1 1 2 x n xn 1 在R x n 1中取基 1 1 2 x n 1 xn 2 则 D 1 2 n 1 2 n 1 即 于是D在基1 x xn 1与1 x xn 2下的矩阵为 D 另 若在R x n 1中取基 1 1 2 2x n 1 n 1 xn 2 则D在基1 x xn 1与1 2x n 1 xn 2下的矩阵为 D 说明同一个线性映射在不同基下的矩阵不同 定义1V是数域P上的线性空间 对V中的任意两个向量 和任意k P 映射T V V满足 i 可加性 T T T ii 齐次性 kT T k 称T为V上的线性变换 T 为 在变换T下的像 称为原像 2 3线性变换 例1对每个x 1 2 3 R3 定义变换T x 1 2 0 则变换T是线性空间R3上的线性变换 称为投影变换 定理1设T是线性空间V上的线性变换 则 1 T 0 0 2 T T 3 若 1 2 m是V的一组向量 k1 k2 km P 有T k1 1 k2 2 km m k1T 1 k2T 2 kmT m 4 若 1 2 m是V的一组线性相关向量 则T 1 T 2 T m 也线性相关 当且仅当T是一一映射时 V中线性无关向量组的像也线性无关 线性变换的基本性质 L V V 表示线性空间V上的所有线性变换的集合 对任意的T T1 T2 L V V V 定义 则可以验证 T1 T2 kT T1T2都是线性变换 因此L V V 是数域P上的线性空间 注 数乘变换和线性变换的数乘运算是两个不同的概念 1 线性变换的和 2 线性变换的数乘 3 线性变换的乘法 T1T2 T1 T2 线性变换的运算 特殊的变换 1 对任意的k P 定义数乘变换K x kx 2 恒等变换 I x x 3 零变换 O x 0 4 逆变换 设A是线性空间V上的线性变换 如果存在V的变换B 使得AB BA I 称A可逆 B为A的逆变换 5 线性变换的幂 A0 I Am Am 1A AA A指数法则 AmAn Am n Am n Amn 线性变换的矩阵 用矩阵表示即为 其中 矩阵A称为线性变换T在基下的矩阵 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数乘矩阵 A的第i列是在基下的坐标 它是唯一的 故T在取定一组基下的矩阵是唯一的 注 线性变换运算与矩阵运算 定理1设为数域P上线性空间V的一组 的唯一一个矩阵对应 且具有以下性质 基 在这组基下 V的每一个线性变换都与中 线性变换的和对应于矩阵的和 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积 可逆线性变换与可逆矩阵对应 且逆变换对应 于逆矩阵 L V V 与Pn n同构 例2设线性空间的线性变换为 求在自然基底下的矩阵 解 在两组基下所对应的矩阵 如果两个矩阵相似 那么它们可以看作同一线性变换 线性变换在不同基下的矩阵是相似的 反过来 线性变换在不同基下的矩阵表示 设B P 1AP 1 rank A rank B 2 detA detB 3 A与B的特征值相同和特征多项式 4 Bk P 1AP k P 1AkP 补充 相似矩阵的性质 例3在线性空间中 线性变换定义如下 1 求在标准基下的矩阵 2 求在下的矩阵 解 1 由已知 有 设在标准基下的矩阵为A 即 即 为过渡矩阵 又 所以 1 2 3 1 2 3 P 1 2 3 P 1 2 3 AP 因而 设 在 1 2 3下的矩阵为B 则B P 1AP 2 求 在 1 2 3下的矩阵 定义1设T是数域P上的线性空间V的一个线性变换 如果对于数域P中任一元素 V中都存在一个非零向量 使得T 那么称 为T的一个特征值 而 称为T的属于特征值 的一个特征向量 2 4特征值和特征向量 由此可得 是线性变换T的特征值 则 是对应矩阵A的特征值 是线性变换T的属于 的特征向量 则 是矩阵A的属于 的特征向量 设V是数域P上的n维线性空间 V中取定一组基 1 2 n 设线性变换T在这组基下的矩阵是A 向量 在这组基下的坐标是x 那么我们有T Ax x 因此 只要将矩阵A的全部特征值求出来 它们就是线性变换T的全部特征值 只要将矩阵A的属于 的全部特征向量求出来 分别以它们为坐标的向量就是线性变换T的属于 的全部特征向量 例1设V是数域P上的3维线性空间 T是V上的一个线性变换 在V的一个自然基下的矩阵是求线性变换T的全部特征值与特征向量 解 的特征多项式为 所以的特征值是3 二重 与 6 对于特征值3 解齐次线性方程组得到一个基础解系 1 210 T 2 201 T 于是T属于3的全部特征向量是k1 1 k2 2 k1 k2 P这里为数域P中不全为零的数对 对于特征值 6 解齐次线性方程组得到一个基础解系 3 12 2 T 于是T的属于 6的全部特征向量k 3 k P这里k为数域P中任意非零数 矩阵的特征值与特征向量的性质 1 n阶矩阵A的属于特征值 0的全部特征向量再添上零向量 可以组成V的一个子空间 称之为矩阵A的属于特征值 0特征子空间 记为V 0 不难看出V 0正是特征方程组 0I A X 0的解空间 显然 V 0的维数是属于 0的线性无关特征向量的最大数目 称dim V 0 为特征值 0的几何重数 2 V 0属于不同特征值的特征向量是线性无关的 3 设 1 2 r 是A的r个互不同的特征值 i的几何重数为qi i1 i2 iqi 是对应于 i的qi个线性无关的特征向量 则所有这些特征向量 11 12 1q1 21 22 2q2 r1 r2 rqr 仍然是线性无关的 由代数基本定理知 n阶矩阵A在复数域内恰有n个特征值 1 2 n 其中 i作为特征方程的根的重数 称为 i的代数重数 记为m i A 矩阵A的特征值的全体称为A的谱 最大特征值的模称为A的谱半径 记为 A 4 任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数 5 A是n阶矩阵 其特征值为 1 2 n 则 定义1数域P上的n维线性空间V的一个线性变换T称为可以对角化的 如果V中存在一组基 使得T在这个基底下的矩阵为对角矩阵 定义2如果n阶矩阵A与对角矩阵相似 则称矩阵A是可对角化的 单位矩阵只和自己相似 2 5矩阵的相似对角形 定理1n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量 定理2若n阶矩阵A有n个互异的特征值 则A是可对角化的 注 不是充要条件 定理3n阶矩阵A可对角化的充要条件每一个特征值的代数重数等于其几何重数 例1判断矩阵是否可以对角化 解 先求出A的特征值 于是A的特征值为 二重 由于是单的特征值 它一定对应一个线性无关的特征向量 下面我们考虑 于是从而不相似对角矩阵 例2设V是数域P上的3维线性空间 T是V上的一个线性变换 在V的一个基 1 2 3下的矩阵是判断线性变换T是否可对角化 解 根据上一节例1的讨论可知T有3个线性无关的特征向量 由基到基的过渡矩阵是于是有 因此 T可以对角化 T在这组基下的矩阵是 定义1设T是数域P的线性空间V上的线性变换 W是V的子空间 如果对任意向量都有 则称W是T的不变子空间 2 6线性变换的不变子空间 Invariantsubspace 定义2设T是数域P上的线性空间V上的线性变换 令 R T Im T T a a V Ker T N T a V T a 0 称R T 是线性变换T的值域 而Ker T 是线性变换的核 R T 的维数称为T的秩 Ker T 的维数称为T的零度 线性变换的值域与核 定理1设T是数域P上的线性空间V上的线性变换 令T在V的一组基 1 2 n下的矩阵表示为A 则 1 R T 和Ker T 都是V的子空间 2 R T span T 1 T 2 T n 3 rank T dim R T rank A 4 dim R T dim Ker T n 证明 1 显然R T 是V的非空子集 对任意T T R T k P有T T T R T kT T k R T 所以R T 是V的子空间又T 0 0 所以Ker T 是V的非空子集 对任意 Ker T k PT T T 0 Ker T T k kT 0 Ker T 所以Ker T 是V的子空间 例1设线性变换T在4维线性空间V的基 1 2 3 4下的矩阵为 解 1 对任意 有0 T T x1 3 x4 4 因此AX 0 对A做初等变换 解得其基础解系 则的基为 2 由于 从而 这说明Im T span T 1 T 2 T 3 T 4 span T 1 T 2 例2线性空间和零子空间都是上的线性变换的 平凡 不变子空间 例3线性空间V上的线性变换T的值域Im T 和核Ker T 都是V的不变子空间 例4线性空间V上的线性变换T的对应于某个特征值的所有特征向量加上零向量组成的集合 也是的子空间 称为的特征子空间 eigenspace 进一步 也是的不变子空间 定理2线性变换T的不变子空间的交与和仍然是T的不变子空间 定理3设线性空间V的子空间W span 1 2 m 则W是线性变换T的不变子空间的充要条件是T i W i 1 2 m 定理4线性空间V上的线性变换T有非平凡的不变子空间的充要条件是T在V的一组基下的矩阵表示为块上三角矩阵 即形如 有不变子空间的线性变换 其矩阵表示是否有什么特殊形式呢 定理5线性空间V上的线性变换T在V的一组基下的矩阵表示为块对角矩阵的充要条件是V可以分解为T的若干个非平凡不变子空间的直和 不变子空间是特征值的根子空间 定理6n维线性空间V上的线性变换T在V的某个基下的矩阵表示为对角矩阵的充要条件是V可以分解为T的n个一维特征子空间的直和V V 1 V 2 V n这里为T的两两不同的特征值 线性变换T的矩阵化简为一个块对角矩阵 对角矩阵 与线性空间分解为若干个不变子空间的直和是相当的 定义 设A为一个n阶复矩阵 如果其满足AAH AHA I则称A是酉矩阵 一般记为A Un n 设A为一个n阶实矩阵 如果其满足AAT ATA I则称A是正交矩阵 一般记为A En n 2 7酉变换与酉 正交 矩阵UnitarytransformationandUnitarymatrix Orthogonalmatrix 例1 是一个正交矩阵 是一个正交矩阵 是一个酉矩阵 酉矩阵与正交矩阵的性质 设A B是酉矩阵 那么设 那么 定理1 设 A是一个酉矩阵的充分必要条件为A的n个列 或行 向量组是标准正交向量组 定义2设T是n为酉 欧氏 空间V的线性变换 如果对任意的 V都有则称T是V的酉 正交 变换 正交变换保持V中的内积不变 根据定义 显然正交变换也保持欧氏空间中向量的长度 距离及向量间的夹角等几何属性不变 酉 正交 变换 定理2设是欧氏空间上的一个线性变换 则下列命题是等价的 1 T是正交变换 2 T保持向量的长度不变 即 T 3 若是V的一组标准正交基 则也是V的标准正交基 4 T在V的任意一组标准正交基下的矩阵表示A为正交矩阵 注鉴于正交的重要性 所以相应的正交变换显得尤为重要 Householder变换 即反射变换 和Givens变换 即旋转变换 是两种最重要的正交变换 它们的作用主要是在数值算法中构造正交基 补充 两种基本的图形变换 例1 旋转变换或Givens变换 将线性空间中的所有向量均绕原点顺时针旋转角 这时像与原像之间的关系为 例2 反射变换或Householder变换 将中任一向量x关于横轴做反射得向量y 这时像 x2 y2 与原像 x1 y1 之间的关系为 从