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第六节矩阵的秩 一 矩阵秩的概念 任意取出k个行和k个列 定义1 在一个 矩阵A中 位于这些行及列的交叉处的元素按原来的位置组成一个 k阶行列式 称其为矩阵A的一个k阶子式 例 矩阵 取A的1 2 3行和A的1 2 4列得到A的一个3阶子式为 取A的1 2 3 4行和A的1 2 3 4列得到A的一个4阶 子式为 注 对一个 矩阵显然有 个k阶子式 一共有 定义2 矩阵A的不等于零的子式的最高阶数称为A的秩 并规定零矩阵的秩是零 记作秩为R A 例 矩阵A的所有4阶子式全为0 为什么 有一个3阶 子式不为0 故 R A 3 注 1 事实上矩阵A是阶梯形矩阵 它的秩等于其非零 行的个数 这对一般的阶梯形矩阵也成立 2 矩阵秩显然有 即一个矩阵的秩肯定小于等于矩阵行数和列数的最小者 3 A中所有r 1阶子式全为零 A中所有大于r阶子式全为零 A中有一个r阶子式不为零 例1 求矩阵A的秩 已知 解 首先考查A的最高阶子式 这里为4阶且只有一个 即 故 n阶方阵A可逆的充分必要条件是秩 定理1 R A n 当n阶方阵A的秩为n时 也称A为满秩矩阵 否则称A为降秩矩阵 注 2 n阶方阵A不可逆 1 n阶方阵A秩为n 3 n阶方阵A不可逆 证明不等式 例3 设A B都是 型矩阵 令 例2试证对任意矩阵A 总有 定理2 矩阵经初等变换后其秩不变 先证明 若A经一次初等行变换变为B 有 证明 A B 则R A R B 即 R A R B 设R A r 则A有某个r阶子式记为 当 或 时 相对应的r阶子式 则在B中总能找到与 因此 从而 二 利用初等变换求矩阵的秩 且 1 满足 当 时 2 由于对换 时结论成立 这一特殊情况 若 含第A第1行 这时 也是B的r阶非零子式 故 不含第A第1行 则 若 也是B 的r阶子式 由 知 与 不同时为0 总之B中存在的r阶非零子式 或 故只需考虑 故 以上证明了若A经一次初等行变换变为B 则 R A R B 由于B亦可经一次初等行变换变为A 故也有R B R A 行变换矩阵的秩仍不变 因此R A R B 经一次初等行变换矩阵的秩不变 即可知经有限次初等 故矩阵经初 推论1 一个矩阵的阶梯形中非零行的个数就是原矩阵的秩 为了计算矩阵A的秩 只要用初等行变换把A变成阶梯 形即可 对列变换同理可证明 等变换后其秩不变 例3 求矩阵
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