初三数学同步辅导教材第5讲.doc

初三数学同步辅导教材（第5讲）一、本周教学进度：6.3 ，6.4二、教学内容：本周我们主要学习 解直角三角形的基本方法 解直角三角形的应用三、重点、难点剖析学习锐角三角函数后，在 RtABC中，C90o有如下的关系：边与边间的关系a2b2c2 (勾股定理)角与角间的关系AB90O（两锐角互为余角）边、角间的关系 sinA , cosA, tgA， ctgA（锐角三角函数定义）上面这些关系是解直角三角形的工具，必须牢牢掌握在解直角三角形的问题中，除了要掌握好上述工具外，还应当注意哪些呢？我们知道，三角形的三条边、三个角是三角形的六个元素解直角三角形是给出其中某些元素，把其余元素都求出来的过程，除了要掌握上述的工具外，还应当知道给出哪些条件，才能求出其余元素显然，只有当所给条件能确定唯一的一个直角三角形时，这个直角三角形才是可解的对照两个直角三角形全等的判定定理我们将具有下面的条件之一的直角三角形，称为可解直角三角形：（） 已知直角三角形的两边；（） 已知直角三角形的一边及一锐角 当一个直角三角形唯一确定时，它的周长、面积也应当是唯一确定的，因此解直角三角形时，除了边、角以外，还可求与周长、面积有关的问题今后在学了“圆”以后，其内容将更加丰富四、典型例题例 根据下列条件解直角三角形 （）在 RtABC中，C90o，c10，A30o. （）在RtABC中，C90o，a50，c. 解 （）A30O， 90O30O60O. 又 sinAsin30O， a. cosAcos30O， b. 或由勾股定理得b.说明 通过本例可看出在学习了三角函数后，通过边角间的三角函数关系解三角形更为简便 （） sinA，又 A为锐角， A45O. B90OA45O. sinB， bc Z sinB50.说明 熟记三角函数定义和特殊角的三角函数值，在解题中可提高解题速度.例2 已知ABC中，ABAC，BC30，S，求此三角形顶角的度数及周长分析 作等腰三角形底边上的高AD，这样就把斜三角形问题转化为解直角三角形的问题由ABC的面积和底边长可求得高AD的长，则直角三角形ABD是一个可解三角形解 作ADBC，D为垂足 SABCxBCxAD， AD BDDCBC15,在RtABD中，ctgBAD则BAD60O, BAC120O.又 sin60O，ABABACBC答 ABC的顶角度数为120O，周长为例 如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度为米，基面AD宽米，求路基高AE、坡角B和基底BC的宽分析 由已知，垂足E和点B间的线段BE的长是坡面AB的水平宽度，斜坡AB的坡度就是指tgB，由此可见ABE是可解的直角三角形由于等腰三角形是轴对称图形从RtABE中求得BE后，就不难得到基底BC的值解 在RtABE中，BE米 斜坡AB的坡度为， tg，则B30O.AEBE Z tgB3（米）又 等腰梯形是轴对称图形， BCADBE（米）答 路基高AE的长为3米，坡角B为30o，基底BC宽为（26）米说明 由于题中没有精确度的要求，所以结果中可保留根号例 在海岸旁高200米的山顶上测得正西和正东两船的俯角为15o和75o，求两船间的距离（已知tg15o）分析 为了使实际问题表现得更直观、形象，通常都是画个示意图（见右图），这样就十分清楚的看到欲求BC之长，可通过解直角三角形ABD和ADC去解决解 如图， 在RtABD中，B15O,AB200米， BDAD Zctg15O200x().在RtACD中，C75O, AD200米，DCAD Zctg75OAD Ztg15O 200x().则BCBDDC200x()200x()800（米）答 两船间的距离为800米说明 （）由点A观察点B的俯角就是点B观察点A的仰角，即ABD；（）ctg75Octg(90o15o)tg15o；ctg15O例 在矩形ABCD中，对角线AC10,面积为25,求两对角线所夹角的度数分析 如图，求矩形ABCD的两条对角线夹角指AOB与BOC，由于AOB、BOC都不是直角三角形，而AOBACB，因此，从RtABC考虑问题解决的途径 解 设ACB，ABx，BCy根据题意，得x2y2102, xy25.解方程组 x2y2102, x2 Z y2252 Z 3 设x2 、y2是一元二次方程t2102t3 Z 252的两个根，解此方程得t75, t225, 则x225，x5(舍去负值)， y275， y5 (舍去负值) 在RtABC中， tg, 30o. 则AOB60O, BOC120O. 答 两条对角线所夹角的度数是60O或120O. 说明 虽然RtABC是可解的三角形，但是在等式xy25中不易求出x、y的值，因此必须要组成一个关于x、y的方程组，在解答中之所以把xy25变为x2 Z y225 Z 3，是因为既可避免开方的困难，又能达到利用根与系数关系的目的例 已知锐角ABC中，AC4,sinA、sin是方程4x220的两个根，且sinAsinB求AB、BC、C分析 由于ABC不是直角三角形，A、B不是互余的两角，所以sinA与sinB没有直接关系，因此只能从解方程入手 解 解方程4x22 得 ， x1， x2 sinAsinB， sinA，sinB又 A、B均为锐角， A45o, 60o，则75O.见图，作CDAB，D为垂足在RtACD中，A45o, AC4,则ADCDAC Zcos45o在RtBCD中，B60o, CD, 则BDCD Zctg60o, BCBD ABADBD答 AB，BC，C75o.例 如图，四边形ABCD中，BAD60o，BD90o，BC11,CD2,求对面线AC的长分析 虽然ABC与ACD都是直角三角形，但都不可能利用边角关系直接求得AC的长，考虑到BAD60o, B90o的特殊条件，因此可设法得到一个特殊的直角三角形从而再去寻求途径解 延长AD、BC相交于点E.在RtABE中，BAE60o, E30O.在RtCDE中，E30O，CD2， CE4 BC11， BEBCCE15则RtABE中，ABBE ZtgE.在RtABC中，由勾股定理，得AC练习一、选择题 在ABC中，C90O，若ACAB1:2，则A与B的度数比为（ ） 已知等腰三角形三边长分别为、和，则它的一个底角为（ ） .150O .60O .45O .30O 等边三角形的高为5,则它的面积为（ ） .150 .150 .50 .25 直角三角形中，一锐角的正切值为3/4，周长为24，则斜边长为（ ） .10 .12 .14 .15 菱形的边长为，一条对角线的长是另一条对角线长的倍，则菱形的面积是（ ） 2 1 4二、填空题 在RtABC中，C90O，若a2，sinA，则c ，b SABC在ABC中，C90O，AB，tgB，则ACBC ABC中，ABAC，ADBC，D为垂足，若ADBC，则sinB，BAC ABC中，C90O，SABC，a10,则AO 10. ABC中，AB90O,cosA，则sinB，若c10, 则a 三、解答题11. 如图，甲、乙两幢楼相距30米，从乙楼底B望 甲楼顶D仰角为45o,从甲楼顶D望乙楼顶A的 俯角为30o. 求乙楼高AB（保留两个有效数字）12. 如图，在RtABC中，C90O，AC6，AC边上的中线BD，解 这个直角三角形 (第题) （第题）13. 如图，海岸上有相距120米的A、B两点，分别由A、B观察海上的一艘船C， 测得CAB45o, CBA60O,求船到海岸AB的距离CD.14. 如图，在小山顶上有座电视塔，塔高AB为32米，从地面上一点D测得塔顶仰角 为60o,从山顶B测得点D的俯角为45o,求小山的高BC（精确到米）答 案 与 提 示答案一、 、二、 c, b,S；AC6, BC4；sinB，BAC60O；60O；10. , 8.三、11. 13米； 12. BC，AB4，A30O, ABC60O；13. (18060)米； 14. 44米提示 设AC3x，则BC2x，由勾股定理得 (3x)2(2x)2（）2, 解得x2. 11. 作AECD于E，则AEBC30米. 在RtADE中，DAE30O，AE30,