弹性与塑性力学基础-第一章应力分析.ppt

弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 1单向及平面应力状态分析1 1 1应力定义1 1 2应力的方向性1 1 3平面应力状态应力关系 1 2三维应力状态分析1 2 1任意倾斜面上的应力分量表示方法1 2 2任意倾斜面上的正应力 全应力S 剪应力 表示方法 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆1 3 1主方向 主平面 主应力的概念1 3 2应力不变量的概念1 3 3任意方向截面应力的主应力的表达1 3 4三维应力状态应力莫尔圆 1 4主剪应力 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 5正八面体剪应力 1 6应力张量及应力偏量1 6 1张量概念1 6 2应力张量概念1 6 3应力张量球张量与偏张量1 6 4应变速率张量 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 1单向及平面应力状态分析1 1 1应力定义应力是指当物体中一微元面积M趋近于零时 作用在该面积上的内力 P与 A比值的极限 即 1 1 当物体受外力P1 P2 P3 作用时 产生与诸外力相平衡的内力 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 作用于变形体中某一微元面积的内力 P 1 1单向及平面应力状态分析1 1 2应力的方向性应力与方向有关 例如简单拉伸 垂直于轴线平面上的应力 1 2 P 轴向力 A0 垂直于轴线的横截面面积 而当所截平面的法线与轴线成 角时 由于斜面的面积增大 由A0 A0 cos 相应的轴向应力为 1 3 随着 增大 截平面越来越倾斜 应力也就越来越小 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 单向拉伸时轴向应力值随截面方位变化 1 1单向及平面应力状态分析1 1 2应力的方向性为了便于研究 通常将任意方向截面上的应力分解为两个分量 垂直于截面的分量 正应力 平行于截面的分量 剪应力 显然 有 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 单向拉伸时轴向应力值随截面方位变化 1 1单向及平面应力状态分析1 1 3平面应力状态应力关系边界只存在正应力情况平面应力状态如图所示 假设 z 0 x 1 y 2 任意截面上BC 设截面BC的面积A AC面积为Acos AB的面积为Asin 沿BC面的法线方向力的平衡方程为 即 1 4 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 边界存在正应力时斜截面受力图 1 1单向及平面应力状态分析1 1 3平面应力状态应力关系沿a a方向 力的平衡方程为 即 1 5 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 边界存在正应力时斜截面受力图 1 1单向及平面应力状态分析1 1 3平面应力状态应力关系由式 1 4 和 1 5 将 消去后 可得 1 7 应力圆 任一截面正应力 与剪应力 关系图确定任一截面上 的 和 坐标系 圆心 轴上点半径 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 应力圆 1 1单向及平面应力状态分析1 1 3平面应力状态应力关系任一截面上的 和 确定方法 取任一截面上法向 和 的值 第一主应力截面法向夹角 的二倍2 由 轴逆时针旋转 应力圆上对应于2 点的 轴上的 和 的值 最大剪应力确定方法 出现于或的截面上 即出现在图中的的截面上 最大剪应力的值为 2 0情况下应力圆 应力圆将切于 上 最大剪应力值等于 1 2 0的情况下 应力圆将变成一个点 此时在任一截面上将有 0 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 1单向及平面应力状态分析1 1 3平面应力状态应力关系边界同时存在正应力 剪应力情况如图所示 x x y y 任意截面上BC 设截面BC的面积A AC面积为Acos AB的面积为Asin 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 边界同时存在正应力 剪应力时斜截面受力图 1 1单向及平面应力状态分析1 1 3平面应力状态应力关系沿BC面的法线方向力的平衡方程为 沿BC面的切线方向力的平衡方程为 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 边界同时存在正应力 剪应力时斜截面受力图 1 1单向及平面应力状态分析1 1 3平面应力状态应力关系边界同时存在正应力 剪应力情况 整理后 得 1 8 或 1 9 消去 后 则得 1 10 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 1单向及平面应力状态分析1 1 3平面应力状态应力关系边界同时存在正应力 剪应力情况坐标系 参数 x y和 xy圆心 轴上点半径 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 应力莫尔圆 1 1单向及平面应力状态分析1 1 3平面应力状态应力关系边界同时存在正应力 剪应力情况主应力状态 1 2和 0的确定剪应力为零时的正应力的值为 1 11 根据式 1 9 的第二式 当 0时 0则可得 1 12 式 1 12 也可参照应力圆直接列出 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 1单向及平面应力状态分析1 1 3平面应力状态应力关系边界同时存在正应力 剪应力情况如果 0为方程式 1 12 的最小正根 则其他的根 1 2 3 n 可由下式确定即 1 13 当时 便可确定 0时 x及 y分别获得极值时的值 即互相垂直的两个主应力值 角 0和主应力可以在应力莫尔圆上的确定 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 1单向及平面应力状态分析1 1 3平面应力状态应力关系边界同时存在正应力 剪应力情况在 平面内 横坐标轴上取做为圆心 取为或 在及处取 xy的值作为纵坐标 在点 取 xy为正值 得到应力圆的半径CP1 等于 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 1单向及平面应力状态分析1 1 3平面应力状态应力关系边界同时存在正应力 剪应力情况按式 1 11 线段OA和OB表示主应力主应力 1与x轴正向角度 0是 ACP1之半 由图也可以看出 最大剪应力 1 14 即等于主应力差的一半 并且出现于与主应力截面成 4的截面上 故可知 实际物体中平面之夹角在应力莫尔圆中所对应的平面间圆心角被放大了一倍 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 2三维应力状态分析1 2 1任意倾斜面上的应力分量表示方法从受力物体中取出任一无穷小四面体三个面与坐标面平行 第四个面法线n方向余弦是l m n 正应力总是沿着作用面的法线方向剪应力两个下标说明所在的面 用外法线方向表示 与作用方向 例如 yx表示剪应力所在面与y轴垂直 它的方向与x轴平行 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 四面体受力图 1 2三维应力状态分析1 2 1任意倾斜面上的应力分量表示方法作用在四面体四个面上的应力及这些面的面积列于表1 1中 表1 1四面体各个面上的应力分布 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 四面体受力图 1 2三维应力状态分析1 2 1任意倾斜面上的应力分量表示方法在四面体面上的力作用于相应面的重心上 体积力忽略不计 x轴上力的平衡条件为 1 15 平面图形投影几何关系有 1 16 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 四面体受力图 1 2三维应力状态分析1 2 1任意倾斜面上的应力分量表示方法将式 1 16 代入式 1 15 便可得到Sx的表达式 用同样的方法 可得到Sy Sz的表达式 即 1 17 作用在任意倾斜面上的应力分量可以用作用在相互垂直的三个面上的应力分量来表示 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 四面体受力图 1 2三维应力状态分析1 2 1任意倾斜面上的应力分量表示方法如果作用在物体表面上的外部载荷用Fx Fy Fz表示 于是式 1 17 中的Sx Sy Sz都换成Fx Fy Fz 即式 1 17 可作为应力的边界条件 1 17 上式中 Fx Fy Fz为作用在物体表面上的已知面力分量 注意 非集中载荷 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 四面体受力图 1 2三维应力状态分析1 2 2任意倾斜面上的正应力 全应力S 剪应力 表示方法设点C是四面体的重心 如果通过C点画一条与z轴平行的轴z 这时作用在四面体各面的12个分力除两个应力 yx及 xy外 或与z 轴平行 或通过z 轴 对轴的力矩方程为由此可得用相同的方法可以得到 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 四面体受力图 C 1 2三维应力状态分析1 2 2任意倾斜面上的正应力 全应力S 剪应力 表示方法受力物体内一点的应力状态 可用三个相互垂直面上的应力分量 x y z以及 xy yz zx确定 即 斜面上正应力 全应力S及剪应力 可由下式确定 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 四面体受力图 1 2三维应力状态分析1 2 2任意倾斜面上的正应力 全应力S 剪应力 表示方法例题1 设物体内某点的应力状态由如下应力分量确定 即 x 0 xy 1 xz 2 y 2 yz 0 z 1 试求通过点作用在其方向余弦为的斜面上的正应力 剪应力和全应力 解 由式 1 17 得斜面上全应力的各分量为 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 2三维应力状态分析1 2 2任意倾斜面上的正应力 全应力S 剪应力 表示方法例题1 所以 全应力 正应力 剪应力 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆1 3 1主方向 主平面 主应力的概念主方向 物体内某一方向单元面积上 剪应力等于零 则此方向称为主方向 主平面 与主方向相垂直的平面 主应力 主平面上的正应力 用 p表示 主应力 p与主平面上全应力S为同一应力因此 有 1 19 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆1 3 2应力不变量的概念将式 1 19 代入式 1 17 整理为 1 20 由几何关系可知 1 21 根据式 1 20 与式 1 21 可以确定四个未知量l m n p 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆1 3 2应力不变量的概念式 1 21 l m n不能同时为零 式 1 20 包含三个未知量l m n的线性齐次方程 若有非零解 则方程组系数行列式应等于零 即 1 22 展开行列式后 得 1 23 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆1 3 2应力不变量的概念式中 1 24 I1 I2 I3分别称为第一 第二和第三应力不变量 应力不变量的解释 1 主应力其大小与方向 在物体形状和引起内力变化因素确定后 便是完全确定的 它不随坐标系的改变而变化 2 当坐标变换时 虽然每个应力分量都将随之改变 但这三个量是不变的 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆1 3 3任意方向截面上应力的主应力表达由式 1 23 可知 主应力有3个 常用 1 2 3表示 其中每个主应力作用面的法线方向与坐标之间夹角的方向余弦可由式 1 20 及 1 21 求出 可以证明 3个主方向是相互垂直的 若三个坐标轴的方向为主方向 分别用1 2 3表示 则由 1 18 式可得出任意斜面上的正应力为 1 25 因为此时由式 1 17 有 1 26 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆1 3 3任意方向截面上应力的主应力表达全应力的平方为 1 27 根据式 1 25 式 1 27 以及式 1 21 即主应力平面示意图 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆1 3 3任意方向截面上应力的主应力表达可以求出用 以及 1 2 3表示的l2 m2 n2 其表达式为 1 28 主应力平面示意图 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆1 3 3任意方向截面上应力的主应力表达上式中 1 29 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆1 3 4三维应力状态应力莫尔圆如果设 1 2 3 由于l2 m2 n2永远是非负值 所以式 1 28 中右端的分子和分母应有相同的正负号 在m2的表达式中 由于分母是负数 所以分子也应当为负数 即 1 30 可以将上式写成 1 31 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆1 3 4三维应力状态应力莫尔圆在 坐标中 式 1 31 取等号后 则表示一个圆的方程式 半径 圆心 轴上为 正应力和剪应力在以为半径的圆所围绕的区域之内 同样由l2和m2表达式 可得 1 32 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 3三维应力状态的主应力及应力莫尔圆1 3 4三维应力状态应力莫尔圆 和 应当在以和为半径的两个圆围绕区域之外应力 和 应当在以三个应力圆所围成阴影所示的范围之内由应力圆可看出最大剪应力等于最大和最小主应力值之差的一半三维应力莫尔圆 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 4主剪应力根据几何关系式 1 21 有由式 1 18 式 1 25 及式 1 26 可写出 2的表达式 1 33 将n2 1 l2 m2 代入 可得 1 34 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 4主剪应力为了求出 的极值 取对l和m的偏导数并令它等于零 有 1 35 分别消去 1 3 2 3 可得关于l和m的两个三次方程式 1 36 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 4主剪应力满足上两式的解有如下四种情况 1 l 0 m 0 由式 1 22 可得 n 1 由式 1 34 得 0 2 l 0 m 0 由式 1 36 的第一式可得由于 1 3 不等于零 故由式 1 21 可得 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 此解代表通过 平行 2并平分 1 3所夹角的平面 1 4主剪应力用相同的方法可得 3 l 0 m n 4 n 0 l m 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 此解代表通过 平行 1并平分 2 3所夹角的平面 此解代表通过 平行 3并平分 1 2所夹角的平面 1 4主剪应力将以上所得到的l m n值代入式 1 34 中 得到剪应力的极值 1 37 23 31 12满足如下条件 1 38 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 4主剪应力例题已知物体内某点的应力状态为 x 1 xy 2 xz 1 y 2 yz 3 z 4 试求应力不变量 主应力和最大剪应力 解 由式 1 24 各应力不变量为代入式 1 23 得 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 4主剪应力例题已知物体内某点的应力状态为 x 1 xy 2 xz 1 y 2 yz 3 z 4 试求应力不变量 主应力和最大剪应力 解 续 由高等代数学可知 式 1 23 的三次方程的根可以写成式中 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 4主剪应力例题已知物体内某点的应力状态为 x 1 xy 2 xz 1 y 2 yz 3 z 4 试求应力不变量 主应力和最大剪应力 解 续 将I1 I2及I3的值代入以上两式可以求得即 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 4主剪应力例题已知物体内某点的应力状态为 x 1 xy 2 xz 1 y 2 yz 3 z 4 试求应力不变量 主应力和最大剪应力 解 续 于是可得 即 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 4主剪应力例题已知物体内某点的应力状态为 x 1 xy 2 xz 1 y 2 yz 3 z 4 试求应力不变量 主应力和最大剪应力 解 续 再由式 1 37 可得最大剪应力如果想要知道各个主方向的l m n值 可利用式 1 20 求解 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 5正八面体剪应力 1 39 等倾面及正八面体将以上方向余弦的值代入式 1 25 后 则得正八面体的正应力 0为 1 40 正八面体上的正应力等于三个正应力之和的三分之一正八面体上的正应力等于平均正应力 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 5正八面体剪应力如将式 1 39 代入式 1 33 则得正八面体上的剪应力为 1 41 可以用应力第一不变量和应力第二不变量来表示 因为因此 1 42 正八面体上剪应力和正应力均为不变量 可以方便表示材料力学行为八面体剪应力也可以用主剪应力表示 即 1 43 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 6应力张量及应力偏量1 6 1张量概念研究对象的分量由一组坐标系变换到另一组坐标系时按照一定规律变化 这些分量的集合称为张量 受力物体上一点的应力状态由三个互相垂直的坐标面上的六个应力分量或三个主应力来确定 坐标系变换时存在三个应力不变量 这一组量的集合称为应力张量 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 6应力张量及应力偏量1 6 2应力张量概念式中 ij代表应力状态的各个分量 角标i x y或z j x y或z 重复角标分量 xx yy zz 不重复角标分量 xy xz yx yz zx zy已知坐标系 x y z 中的应力 则 x y z 中的应力也可以知道 应力分量是按照一定规律变化 受力物体某点的应力状态 不应因选择不同的坐标系而变化 应力张量有其不变量存在 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 6应力张量及应力偏量1 6 3应力张量球张量与偏张量实验背景 实践中发现三向等压应力并不引起塑性变形例如 铅在室温下的 s约为20MPa铅块在密闭油缸中加上2000MPa的高压油 卸压后 铅试样并不呈现显著的塑性变形应力张量中一部分量对塑性变形不起作用 一部分量对塑性变形起作用 主应力空间中 当 1 2 3时 全应力端点的轨迹为球面 在任何方向截面上都不存在剪应力 从塑性变形机理知 无论是滑移 双晶或晶界滑移 都主要是与剪应力有关 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 6应力张量及应力偏量1 6 3应力张量球张量与偏张量应力张量分解成两部分 一部分是反映平均应力 m 大小的球张量 另一部分就是应力偏量 即上式写成张量缩写符号式中 ij Kroneker符号 当i j 1 i j 0 kk 求和记号 角标用同样母表示并依次取x y z相加 即 kk x y z 弹性与塑性力学基础 第一章应力分析 1 6应力张量及应力偏量1 6 3应力张量球张量与偏张量 应力偏量的分量 应力偏量与应力张量一样 也有三个不变量J1 J2及J3 式中 I1 应力张量第一不变量I2 应力张量第二不变量I3 应力张量第三不