2007大连理工数学辅导班笔记_数分部分.pdf

大连理工大学 考研数学专业共享群 资料 deepfish 编辑 第 1 页 共 9 页 2007 年大连理工大学应用数学系考研辅导班题集年大连理工大学应用数学系考研辅导班题集 数分部分数分部分 一 极限一 极限 1 2 lim 0 nn n xx 求证 1 lim0 nn n xx n 2 设 1 nn aa 2 nn aa 有极限 求证 n a有极限 3 数列 n a收敛 则 n a中一定有最大或最小值 4 设 f xC a b min 1 xa b f x 求证 1 lim 1 b n n an dx f x 5 0 1 2 n xn 且lim0 n n x 求证 存在无限多下标 n 使得 1 2 1 nk xx kn 1 2 1 2 3 nn n a xx x 0 a 1 2 n 求lim n n x 7 11 1 0 1 1 2 n n cx xxcn cx 求lim n n x 8 lim n n xa lim n n yb 求证 1211 lim nnn n x yx yx y ab n L 9 设0 n x 1 2 n 且lim0 n n x 求证 存在无限多个下标n使得 k N 有 nn k xx 10 0 k P 1 2 k 若 0 lim0 n n n P PP L 而lim n n SS 求证 0110 0 lim nnn n n S PS PS P S PP L L 11 n x是方程 3 1 20 nn xx n 的唯一实根 求lim n n nx 12 如果 2 npn p xx n 对于 np 成立 则 n x是否为基本列 13 00 xy 10 sin nn xyx 0 1 2 n 其中0 为常数 求证 n x收敛 14 1 2 nnn yxx 1 2 n 若lim n n y 存在 求证 lim n n x 存在 15 设0 n a 1 2 n 求证 11 lim n n n n aa e a 二 函数极限二 函数极限 大连理工大学 考研数学专业共享群 资料 deepfish 编辑 第 2 页 共 9 页 16 f g是 上的周期函数 lim 0 x f xg x 求证 f xg x 17 f x定义在 1 上 且在任何有限区间有界 若lim 1 x f xf xA 则 lim x f x A x 18 f x在 1 上连续 1x 有lim n f xnA 求证 lim x f xA 19 f x在 1 上连续可微 且 22 1 fx xfx 1x 1 1f 求证 lim x f x 存在 且lim 1 4 x f x 20 11 1 0 1 2 nn n xxxn x 求 1 lim 2 n n x n 21 用 n x表示方程 2 1 n xxx 在 0 1 的实根 求lim n n x 22 1 1 0 x q 求lim n n nx 23 1 0 x 1 ln 1 nn xx 1 2 n 求lim n n nx 24 0 n a n N 求证 lim 1 n n n a 的充要条件是1l 有lim0 n n n a l 25 若 1 inf0 n n x 求证 1 lim1 n n n x x 26 0 lim 0 x f x 0 2 x f xfo x x 求证 0 lim0 x f x x 三 连续三 连续 27 f x在 上有二阶连续导数 0 1f 0 1f 令 0 0 0 x ef x x g x x x 则 g x有一阶连续导数 28 f x在 a b上连续 且 0 x a f xf t dt xa b 都成立 求证 0f x 29 对任意 x y 函数f满足 01f xf yk xyk 求 证 f x x 在 a 上一致连续 34 设 0 f x dx 绝对收敛 求证 0 sinuf xuxdx 在 上一致连续 四 实数完备性四 实数完备性 35 f x在 a b上连续 0 f af b 36 f x在 a b上单调递增 f aa f bb 求证 f x有不动点 37 上的连续周期函数必一致连续 38 在有界区间 a b内 f一致连续 f将 a b内的 Cauchy 列映射为 Cauchy 列 39 f x在0 x 处可导 0 n a 0 n b n 求证 lim 0 nn n nn f bf a f ba 五 微分中值定理五 微分中值定理 40 求证 2 32AxBxAB 在 0 1 内有零点 41 f x g x在 a b上可微 0g x 求证 a b 使得 f aff gg bg 42 f x在 0 1 上连续 0 1 内可微 0 0 0 0 1 ff xx 求证 0 0 1 使得 1 1 ff ff 43 f x在 a 上连续可微 且lim x f xf a 求证 a 使得 0f 大连理工大学 考研数学专业共享群 资料 deepfish 编辑 第 4 页 共 9 页 44 设 f x在 a 上有一阶导数 0f a 且存在一个正实数A 满足 fxA f xxa 求证 0f x 45 f g可导 且对一切x有 0 f xg x fxg x 则在f的任意两个不同的零点之间至少存在g 的一个零点 46 f x既非常函数 也非线性函数 且在 a b连续可导 求证 a b 使得 f bf a f ba 47 00 limlim 0 xxxx f xfx g x g xg x f x在 0 x处有二阶导数 则 000 0 2 0 2 lim h f xhf xhf x fx h 48 1 若 lim x fx 和lim x f x 存在 求证 lim 0 x fx 2 若 lim x fx 和lim x f x 存在 求证 lim lim 0 xx fxfx 49 将 lncosf xx 在0 x 展开到 6 x 求 2 limcoscoscos n aana n nn nn n 50 设 0 0f 0 f存在 令 22 1 1 2 n n xffn nn 求lim n n x 51 f t三次可微 0ft 求 3 3 d y dx 52 设 f x在 a b上连续 a b内可导 且 0f af b 证明 R a b 使 得 ff 53 设 f x在 0 1 上连续 在 0 1 内有二阶导数 1 0f 令 2 F xx f x 求证 0 1 使得 0F 54 设 f x在 0 c上连续 fx在 0 c上递减 0ababc 求证 f abf af b 55 f x在xa 的邻域内有二阶连续导数 0fa 求 11 lim xa f xf axa fx 56 f x在 连续 0 x g xf xf t dt 若 g x单调递减 则 0f x 大连理工大学 考研数学专业共享群 资料 deepfish 编辑 第 5 页 共 9 页 57 f x是周期为T的连续函数 求证 00 11 lim xT x f t dtf t dt xT 58 0 2 f x 求证 22 00 2 lim sin n f xnx dxf x dx 59 f xa b R 黎曼可积函数类 g x以T 0T 为周期 且 g x在 0 T上 可积 求证 0 1 n bTb aa f x g nx dxg x dxf x dx T 60 1 1 f xC 求证 1 22 1 0 lim 0 n h f x dxf hx 61 0 1 f xC 且单调递增 求证 11 33 00 11 22 00 xfx dxfx dx xfx dxfx dx 62 f xC a b 且单调递增 求证 2 bb aa ab xf x dxf x dx 63 f x在 a b上连续可导 求证 1 max bb aaa x b f xf x dxfx dx ba 64 1 1 f xC sup Mfx 若存在 0 1 a 使得 0 a a f x dx 求证 1 2 1 1 f x dxMa 65 f x在 a b上连续可微 0f a 求证 1 2 2 max b aa x b fxbafxdx 2 2 2 2 2 bb aa ba fx dxfxdx 66 f xC a b 0 0f 求证 1 2 00 2 aa a f xfx dxfxdx 2 若 0f a f x在 0 a上恒大于零 则 2 00 4 aa a f x fx dxfxdx 67 设 0 x tCa 且满足 0 t x tMkx s ds M k是大于零的常数 求证 kt x tMe 0 ta 68 f x在 a b上二次连续可微 0 2 ab f 求证 3 24 b a M f x dxba 其中 sup a x b Mfx 69 f x在 0 上连续 且恒大于零 证明 0 0 x x tf t dt x f t dt 在 0 上严格 单调递增 大连理工大学 考研数学专业共享群 资料 deepfish 编辑 第 6 页 共 9 页 70 f x在任意有限区间内可积 且lim x f xl 求证 0 lim x x f t dt l x 71 1 1 f x R 且在0 x 处连续 1 1 01 10 n n nx xx x ex 求证 1 1 lim 0 2 n n n f xx dxf 72 f在开区间I上连续 ab 1 1 2 n nk k Sa n 求证 1 若1 1 n n n a S 收敛 2 若1 且 n S 则 1 n n n a S 发散 76 若 1 n n a 发散 则 1 n n n a 0 发散 77 设 n a单调递减 0 n a 则 1 1 lim0 1 n n n n n a a a 发散 78 设 1 n n a 收敛 1 1 nn n bb 绝对收敛 求证 1 nn n a b 收敛 79 设 1 n n a 收敛 求证 12 2 lim0 n n aana n 80 设 n b严格单调递减趋于0 1 nn n a b 收敛 求证 12 lim nn n aaa b 有极 限 大连理工大学 考研数学专业共享群 资料 deepfish 编辑 第 7 页 共 9 页 七 函数列与函数项级数七 函数列与函数项级数 81 证明 若 1 n n a n 收敛 则 n a n 收敛 82 0 n a 1 1 2 n nk k Sa n 若lim n n S 则 1 1 ln n n nn a SS 发散 2 1 ln n n nn a SS 发散 83 n a单调递减 0 n a 则 1 n n a 与 2 1 2 n n n a 同敛散 84 设 1 1 nn n n aa 收敛 且lim n n na 存在 求证 1 n n a 收敛 85 讨论 1 n n n x fx x 在下列情况下的一致收敛性 1 01x 2 11x 3 1x 其中01 处收敛 则 1 n n n a x 在 0 R上一致收敛 95 证明 22 1 11 1 11 lim 1 2 n n x nn xx nxn 96 设 n fx n gx在I上一致收敛 且对每个n n fx n gx有界 求证 nn fx gx一 致收敛 97 1 1 2 f xC 求证 n x f x在 1 1 2 上一致收敛 1 0f 98 证明 0 1 1 nn n xx 在 0 1 上绝对收敛且一致收敛 但不是绝对一致收敛 99 设 0 fxa b R 定义 1 1 2 x nn a fxft dt n 证明 0 a b n fx 100 设 f x在 a 上非负单调递减 求证 a f x dx 与 2 sin a f xxdx 同敛散 101 设 f x在 a 上一致连续 且 a f x dx 收敛 求证 lim 0 x f x 102 设 f x在 1 上单调递减 且 1 x f x dx 收敛 求证 1 lim 0 x xf x 103 设 f x在 0 上连续 0 x dx 绝对收敛 证明 00 lim 0 n n x fx dxfx dx n 104 设 0 f x dx 绝对收敛 求证 0 sinuf xuxdx 在 上一致连续 105 设 0 上连续函数列 n fx逐点收敛于 f x 且 1 在 0 上 n fxg x 0 g x dx 收敛 2 在任意有限区间 0 A上 n fx一致收敛于 f x 求证 00 lim n n fx dxf x dx 九 含参变量积分九 含参变量积分 大连理工大学 考研数学专业共享群 资料 deepfish 编辑 第 9 页 共 9 页 106 证明 22 0 sinxux dx ax 关于u在 上一致收敛 但在 0 不一致收敛 0 为常数 107 求 3 0 arctan 2 x udx xx 的连续区间 108 证明 2 0 sin a ut etdt 0a 为常数 关于t在 0 上一致收敛 109 0 a t f t dt 和 0 b t f t dt 收敛 其中 f t在 0 上连续 求证 0 t f t dt 关于 在 a b上一致收敛 110 设 f x在 0 1 上单调 且 1 0 f x dx 0为瑕点 收敛 求证 1 0 1 1 lim n n k k ff x dx nn 111 fx在 a 上连续且非正 广义积分 a f x dx 收敛 求证 a xfx dx 也收敛 112 求证 2 0 0 1 lim 12 xy y xy edx x 113 22 1 sinyxy dy xy 关于 0 1 x 的一致收敛性如何 114 计算 2 0 arctan tan tan x dx x 115 设 0 f