等差数列的性质及其应用+-+教师.doc

等差数列的性质学习目标：熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式 .学习重点： 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用学习难点： 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题1. 当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0。2. 若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。3. 当时,则有，特别地，当时，则有。注：，4. 若、为等差数列，则，都为等差数列。5. 若是等差数列，则 ，也成等差数列。6. 数列为等差数列，每隔项取出一项()仍为等差数列。7. 设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和(1) 当项数为偶数时， (2) 当项数为奇数时，则（其中是项数为的等差数列的中间项）。8. ，的前和分别为、，且，则。9. 等差数列的前项和，前项和，则前项和。10. 求的最值法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和。即当 由可得达到最大值时的值。 （2）“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。即 当 由可得达到最小值时的值。或求中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前项和的图像是过原点的二次函数，故取离二次函数对称轴最近的整数时，取最大值（或最小值）。若则其对称轴为。判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法：1. 定义法：（常数）（）是等差数列。2. 递推法：（）是等差数列。3. 性质法：利用性质来判断。4. 通项法：（为常数）是等差数列。5. 求和法：（为常数，为的前项的和）是等差数列。其中4、5两种方法主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否是等差数列，一般用1、2、3这三种方法，而方法3还经常与1、2混合运用。下面举例说明如何判断一个数列是等差数列。【例题讲解】例1：已知成等差数列，求证：也成等差数列。解法一：成等差数列，又即也成等差数列。解法二：，成等差数列， ，也成等差数列， 即，也是等差数列， 故，也是等差数列。例2：设数列中，且（），证明数列是等差数列，并求。解：由已知，去分母得，两边同除以，得，是以为首项，以2为公差的等差数列，故（）。经验证时也成立，所以（）。例3：设数列的前项和为，若对于所有的自然数，都有，证明是等差数列。例4：已知数列是等差数列, 且有 ，求。例5：数列是等差数列，且有，求。解法一：因为数列为等差数列，所以可设其中为不同时为0的常数，则有（1）（2）得即。解法二：，因此点在同一直线上，即，所以。 变:等差数列的前项和为，若，求 （其中是正整数，且）。解法一：从首项和公差这两个基本量出发。设数列的首项，公差为，由题目条件可得到可以解得，。解法二：从具有的形式出发。由，可见具有的形式（其中）。故可设，则有，解得.解法三：从等差数列自身性质出发。不妨设，则有.由是等差数列，知，,可以解出.解法四：从的形式出发。由，有，设，则数列是等差数列。设公差为，则=从而。解法五：利用解析几何中直线的知识。由解法二知，是关于的一次式，则在直角坐标系下，三点共线，解得。解法六：由解法一得数列的公差，这里不妨设， 例6：等差数列的前项的和为30，前项的和为100，求它的前项的和为_。例7：等差数列中, , 那么的值是 .【巩固练习】1、等差数列-6，-1，4，9，中的第20项为 .2 等差数列an中，a15=33， a45=153，则217是这个数列的 .3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为 .4、等差数列an中，a1+a7=42， a10-a3=21， 则前10项的S10等于 .5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么 a ：b 等于 .6、 已知数列an的前n项和Sn=2n2-3n，而a1，a3，a5，a7，组成一新数列Cn，其通项公式为 .7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30若此数列的最后一项比第-10项为10，则这个数列共有 项8、设数列an和bn都是等差数列，其中a1=25， b1=75，且a100+b100=100，则数列an+bn的前100项和为 .9、在等差数列an中，an=m，an+m=0，则am= _。10、 在等差数列an中，a4+a7+a10+a13=20，则S16= _ 。11 在等差数列an中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从a15到a30的和是 _ 。 12 已知等差数列 110， 116， 122，则大于450而不大于602的各项之和为 _ 。13 已知等差数列an的公差d=，前100项的和S100=145求： a1+a3+a5+a99的值14 已知等差数列an的首项为a，记(1)求证：bn是等差数列(2)已知an的前13项的和与bn的前13的和之比为 3 ：2，求bn的公差。15 在等差数列a