华理概率论新习题3答案-2012.pdf

概率论与数理统计 作业簿 第三册 学院 专业 班级 学号 姓名 任课教师 第七次作业 一 填空题 1 的分布列为 1234 P 1 10 2 5 1 5 3 10 则 E 2 7 2 的分布列为 10 1 2 12 P 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4 则 E 1 3 1 E 2 3 2 E 35 24 二 填空题 1 若对任意的随机变量 E 存在 则 E E E 等于 C A 0 B C E D 2 E 2 现有 10 张奖券 其中 8 张为 2 元 2 张为 5 元 某人从中随机地无放回地 抽取 3 张 则此人所得奖金的数学期望为 C A 6 5 B 12 C 7 8 D 9 三 计算题 1 设随机变量X的概率密度为 2 1 1 01 1 0 xx p x 其他 其中 1 求 EX 解解 21 11 111 00 11111 011 EXxxdxxdxx 2 设随机变量 的概率密度函数 0 0 0 x ex p x x 求 2 23 EEEe 和 max 2 E 解解 0 1 x Exe dx 23 235EE 222 0 4 1 3 xx EeEE eee dx 0 max 2 max 2 max 2 x Exp x dxxe dx 2 2222 02 22 1 22 xx e dxxe dxeeee 3 一台机器由三大部件组成 在运转中各部件需要调整的概率分别为 0 1 0 2 和 0 3 假设各部件的状态相互独立 用 表示同时需要调整的部件数 试 求 的数学期望 解解设 Ai 第 i 个部件需要调整 i 1 2 3 则 P A1 0 1 P A2 0 2 P A3 0 3 所以 123 0 0 9 0 8 0 70 504PP A A A 123123123 1 0 389 PP A A AP A A AP A A A 123123123 2 0 092 PP A A AP A A AP A A A 123 3 0 006 PP A A A 从而 0 0 504 1 0 3892 0 0933 0 0060 6E 4 设球的直径均匀分布在区间 a b 内 求球的体积的平均值 解解设球的直径长为 且 U a b 球的体积为 与直径 的关系为 3 4 32 那 么 3 322 3 4 326624 b a xab ab EEEdx ba 5 6个元件装在 3 台仪器上 每台仪器装两个 元件的可靠性为 0 5 如果一台仪器中 至少有一个元件正常工作 不需要更换 若两个元件都不工作 则要更换 每台仪器 最多更换一次 记 X 为 3 台仪器需要更换元件的总次数 求 EX 解解随机变量 X 的取值 k 0 1 2 3 每台仪器需要更换元件的概率 0 5 0 50 25p 则 3 1 0 1 2 3 kkk n P XkC ppk X0123 P27 6427 649 641 64 故 2727913 0123 646464644 EX 或0 75EXnp 6 设 是非负连续随机变量且E 存在 对任意 0 试证 1 E P 证证 设 的密度函数是 p x 由0 得 x Pp x dxp x dx 1 xp x dx 0 1 E xp x dx 所以 1 E P 7 某种产品上的缺陷数 服从分布律 1 1 0 1 2 2k Pkk 求此种产品上的平均缺陷数 高等数学 8 学分的学生可以不做 解解 1 11 011 1111 2242 k kk kkk Ekkk 令 1 2 x 则 1 2 111 11 1 1 1 kkk kkk k xxx xx 所以1E 第八次作业 一 填空题 1 设随机变量 的分布律为 10 1 Pa 1 2 b 已知0 5D 则a 1 4 b1 4 二 选择题 1 设 X 是一随机变量 2 E XD X 0 为常数 则对任意常数 C 必有 D AE X C 2 E X2 C2B E X C 2 E X 2 C E X C 2 E X 2D E X C 2 E X 2 三 计算题 1 对第七次作业第一大题第 2 小题的 求D 和 1 3 D 解解 2 22 35197 24372 DEE 97 1 3 9 8 DD 2 对第七次作业第三大题第 3 小题中的 求D 解解 222 0 0 504 1 0 3894 0 0939 0 0060 60 46 DEE 3 设随机变量 具有概率密度 01 212 0 xx p xxx 其它 计算 D 解解 12 33 12 2 01 01 2 1 33 xx Exp x dxx xdxxx dxx 12 434 12 2222 01 01 27 2 4346 xxx Ex p x dxxxdxxx dx 22 1 6 DEE 4 设随机变量 仅在 a b 取值 试证 2 2 ba aEbD 证证因为ab 所以aEb 又因为 22222 ababababba ab 22 baab 2 22 abba DE 5 已知某种股票的价格是随机变量 其平均值是 1 元 标准差是 0 1 元 求 常数 a 使得股价超过 1 a 元或低于 1 a 元的概率小于 10 提示 应用 切比雪夫不等式 解解已知1 0 1ED 由契比雪夫不等式 2 0 01 1 Pa a 令 2 0 01 0 1 a 得0 32a 6 设随机变量 的概率分布为 1 1 1 0 1 2 x x a Pxax 其中 0 a 1 试求 D D 解解 1 0 1 10 22 aa Ea 2222 1 0 1 1 22 aa Eaa 所以 22 DEEa 又 2 2 EaEEa 故 2 2 1 DEEaa 7 设随机变量 1 1 R 1 试求 0 6 P 2 试用切比雪夫不等式给出 0 6 P 的上界 解解 1 0 6 P 0 4 2 因为 1 0 3 ED 所以 0 6 P 2 1100 0 6 3 0 6108 PE 8 证明 事件在一次试验中发生次数 的方差一定不超过 1 4 证证设事件 A 在一次试验中发生的概率为p 又设随机变量 则 2 1 1 24 pq Dpppq 第九次作业 一 填空题 1 设X服从泊松分布 若 2 6EX 则 1 P X 2 1 3e 解 222 6 XPEXDXEX 故2 1 1 1 1 0 1 P XP XP XP X 222 121 3eee 2 设随机变量 B n p 已知2 4 1 44ED 则参数n 6 p 0 4 解 2 4 6 1 44 0 4 Enpn Dnpqp 3 某保险公司的某人寿保险险种有 1000 人投保 每个人在一年内死亡的概率 为 0 005 且每个人在一年内是否死亡是相互独立的 欲求在未来一年内这 1000 个投保人死亡人数不超过 10 人的概率 用 Excel 的 BINOMDIST 函 数计算 BINOMDIST 10 1000 0 005 TRUE 0 986531 4 运载火箭运行中进入其仪器仓的粒子数服从参数为 4 的泊松分布 用 Excel 的 POISSON 函数求进入仪器舱的粒子数大于 10 的概率 POISSON 10 4 TRUE 0 9972 所求概率 p 0 0028 5 4 P 由切比雪夫不等式有 4 6 P 8 9 二 选择题 1 在相同条件下独立的进行 3 次射击 每次射击击中目标的概率为 2 3 则至 少击中一次的概率为 D A 27 4 B 27 12 C 27 19 D 27 26 三 计算题 1 设随机变量 的密度函数是 1 cos 0 22 0 x x p x 其它 对 独立的随机观察 4 次 表示观察值大于 3 的次数 求 1 的概率分布 分布律 2 ED 和 解解 4 Bp 1 设 A 观察值大于 3 则 3 11 cos 3222 x pP APdx 所以 的概率分布为 4 4 11 1 0 1 2 3 4 22 k k Pkk k 或 01234 P 1 16 4 16 6 16 4 16 1 16 2 111 42 41 222 ED 2 随机变量 服从参数为 p 的几何分布 即 1 1 1 2 k Pkppk 1 求 Ps 其中 s 是一个非负整数 2 试证 PstsPt 其中 s t 是非负整数 几何分布具有 无记忆性 解解 1 1 11 1 k k sk s PsPkpp 0 1 1 1 1 1 skss k pppppp p 或者 1 1 1 1 1 s k k PsPspp 1 1 1 1 1 1 s s p pp p 2 PstsPst Psts PsPs 1 1 1 s t t s p pPt p 3 设随机变量X服从泊松分布 且 2 4 1 XPXP 求 3 P X 解解 eXPeeXPXPXP 2 2 1 0 1 2 由 2 4 1 XPXP知 eee 2 2 即012 2 解得1 故 1 6 1 3 eXP 4 设在时间 t 单位 min 内 通过某路口的汽车服从参数与 t 成正比的泊松 分布 已知在 1 分钟内没有汽车通过的概率为 0 2 求在 2 分钟内至少有 2 辆车通过的概率 提示 设 t t时间内汽车数 则 t Pt 解解 设 t t时间内汽车数 则 t Pt 那么 0 1 2 kt t te Pkk k 由已知 得 0 1 0 0 2ln5 0 e P 所以 0212 222 2 2 2 1 0 1 1 0 1 ee PPP 22 242ln5 1 2 25 ee 5 在一次试验中事件 A 发生的概率为 p 把这个试验独立重复做两次 在下 列两种情况下分别求 p 的值 1 已知事件 A 至多发生一次的概率与事件 A 至少发生一次的概