(GCT)数学真题2009年 含答案解析.pdf

2009 年年 GCT 入学资格考试数学基础能力测试试题入学资格考试数学基础能力测试试题 1 如图 直角坐标系 xOy 中的曲线是二次函数 y f x 的图像 则 f x A x2 6x 5 B x2 6x 5 C x2 4x 5 D x2 4x 5 2 A 41 B 1681 C 49 D 2401 3 如图 长方形 ABCD AB a BC b b a 若将长方形 ABCD 绕 A 点顺时针旋转 90 则线段 CD 扫过的面积 阴影部分 等于 4 若将正偶数 2 4 6 8 10 12 14 16 依次排成一行 246810121416 则从左右数的第 101 个数码是 A 4 B 3 C 2 D 1 5 函数 y f x 是定义在 上的周期为 3 的周期函数 右图表示的是该函数在区 间 2 1 上的图像 则的值等于 A 2 B 0 C 2 D 4 6 若两个正数的等差中项为 15 等比中项为 12 则这两数之差的绝对值等于 A 18 B 10 C 9 D 7 7 甲 乙两车分别从 A B 两地同时相向开出 甲车的速度是 50km h 乙车的速度是 40km h 当甲车驶到 A B 两地路程的 再前行 50km 时与乙车相遇 A B 两地的路程 是非曲直 km A 210 B 215 C 220 D 225 8 等腰 AB 中 AB AC 底边 BC 3 则顶角 A 的取值范围是 9 下图是我国古代的 杨辉三角形 按其数字构成规律 图中第八行所有 中误码填 数字和等于 A 96 B 128 C 256 D 312 10 若复数 z2 2i2 5i3 则 z1 z2 11 在直角坐标系中 若直线 y kx 与函数的图像恰有 3 个不同的交点 则众的取值范围是 A 0 D 2 12 在边长为 10 的正方形 ABCD 中 若按下图所画嵌入 6 个边长一样的小正方形 使 得 P Q M 四个顶点落在大正方形的边上 则这六具小正方形的面积之和是 13 甲盒中有 200 个螺杆 其中 A 型的有 160 个 乙盒中有 240 个螺母 其中 A 型的 有 180 个 从甲乙两盒中任取一个零件 能配成 A 型螺栓的概率为 14 一个四面体木块的体积是 64cm3 若过聚在每个顶点的三个棱的中点作截面 沿所 作的四个截面切下该四面体的 4 个 角 小四面体 则剩余部分的体积是 A 32cm3 B 36cm3 C 40cm3 D 44cm3 15 设双曲线的左 右焦点分别是 F1 F2 若 P 是该双曲线右支上异 于顶点的一点 则以线段 PF2 为直径的圆与以该双曲线的实轴为直径的圆的位置关系是 A 外离 B 相交 C 外切 D 内切 16 A B 1 C 0 D 1 17 若 则函数 f x 的最小值等于 A 2 B 1 D 0 18 设函数 g x 在上连续 若在内 g x 0 则对任意的有 19 设函数 g x 在 x 0 点某领域内有定义 若成立 则 A x 0 时 g x 是 x 的高阶无穷小量 B g x 在 x 0 点可导 C lim g x 存在 但 g x 在 x 0 点不连续 D g x 在 x 0 点连续 但不可导 20 若连续函数 f x 满足 21 若可导函数 f x 满足 f x f x f2 x 且 f 0 1 则在点 x 0 的三阶导数 f 0 A 6 B 4 C 4 D 6 22 乙知 A aij 为 3 阶矩阵 ATA E AT的转置矩阵 E 是单位矩阵 若 aij 1 b 1 0 0 r 则方程组 AX b 的解 X A 1 1 0 r B 1 0 1 r C 1 1 0 r D 1 0 0 r 23 不恒为零的函数 A 恰有 3 个零点 B 恰有 2 个零点 C 至多有 1 个零点 D 没有零点 24 若矩阵 A 是 B 的相似矩阵 则矩阵 A E E 是单位矩阵 是秩的 A 3 B 1 C 2 D 0 25 设向量 a1 1 2 0 T a2 2 3 0 T a3 0 1 1 T 3 5 k T 若 可由 a1 a2 a3线 性表示 则 k A 1 B 1 C 2 D 2 2009 年年 GCT 入学资格考试数学基础能力测试试题入学资格考试数学基础能力测试试题 参考答案与解析参考答案与解析 1 答案 D 解析 考查的是二次函数的图像和解析式 由二次函数的图像开口向上 由二次项系 数大于 0 故选项 A B 错误 由函数图像过 1 0 知选项 C 错误 所以正确答案是 D 选项 2 答案 B 解析 考查的知识点是平方差公式和等差数列求和公式 由题可知 分子为 2010 2008 1 2009 1 2009 1 1 20092 1 1 20092 分母等于 故原式等于 所以正确的答案是 B 选项 3 答案 B 解析 面积计算题目 由题可知 阴影部分面积为所 以正确的答案为 B 选项 4 答案 D 解析 从 2 到 100 的偶数列共有 6 10 8 11 97 位数码 后面紧接着的偶数是分别是 102 104 所以第 101 位数码是 104 的百位数字 1 所以正确答案是 D 选项 5 答案 C 解析 周期函数题 由于函数 f x 的周期是 3 所以 f 2009 f 1 f 3 f 0 1 f 4 f 1 2 故原式等于 所以正确答案是 C 选项 6 答案 A 解析 设这两个整数分别为 a b 由题可知 a b 15 2 30 a b 122 144 所以 所以正确的答案是 A 选 项 7 答案 D 解析 设A B两地的距离是xkm 由题可列出方程 易解出x 225 故正确答案是 D 选项 8 答案 D 解析 三角函数题目 由题知 显然正确的结果为 D 选项 9 答案 B 解析 由二项式系数和公式知 杨辉三角第 8 行的数 字和等于 n 7 时的二项式系数和 故结果为 27 128 选则 B 选项 10 答案 B 解 析 复 数 的 代 数 运 算 由 题 知 z2 2i2 5i3 2 5i 可 得 11 答案 C 解析 由题知 当时 直线 y kx 过点 3 2 与分段函数刚好有两个交点 当 时 直线 y kx 仅与函数的 y 2x 8 分支有一个交点 当时 直线 y kx 与分段函数 刚好有三个交点 符合题意 当 k 2 时 直线 y kx 与分段函数的 y 2x 8 分支和 y 2 个有 一个交点 共两个交点 综上可知 正确的结果是选项 C 此时直线 y kx 与函数图像刚好 有三个交点 12 答案 D 解析 平面几何计算题目 过 Q 作线段 QR 垂直 DA 交 DA 于 R 设 DM b DN b 设 MN c 则 由图易知 DMN RNQ 故 又 MN c NQ 5c 所以 RQ 5b 10 RN 5a 容易解得 b 2 又 5a 2b 10 所以 从而可得六个 小正方形的面积为 故正确的答案是 D 选项 13 答案 A 解析 概率计算题目 由题知 能配成 A 型螺栓意味着从甲盒和乙盒中均取出的为 A 型 所以概率为 故正确的答案是 A 选项 14 答案 A 解析 由于每个小角与原四面体相似 且相似比为 故小角的体积为整个四面体的 故剩余部分的体积为 正确的答案是 A 选项 15 答案 C 解析 圆锥曲线问题 设点 P 的坐标为 P x y PF2的中点为 M 根据双曲线的焦半径 公式可得 PF2 ex a 故两个圆的半径和为 又两个圆的圆心 距离 利用容易计算可得 d2 s2 0 由此可以推出 d s 所以两个圆外切 故正确的答案是 C 选项 16 答案 B 解析 极限运算 利用罗必达法则 易得 所以正确答案是 B 选项 17 答案 B 解析 函数极值问题 令 易得 x 1 或者 x 4 当 0 x 1 时 当 1 x 2 时 当 x 2 时 所以函数 f x 的最小值是在 x 1 处取 得的 且 f 1 1 故正确的答案是 B 选项 18 答案 C 解析 积分题目 易知 当时 sinx x 又由题已知在内 g x 0 故时 g sinx g x 由定积分的比较性质 不难得到对与任意的 有 故正确答案是 C 选项 19 答案 A 解析 极限的性质 由题知 故1 1 0 由高阶无穷小的定义 易知 x 0 时 g x 是 x 的高阶无穷小量 故正确答案是 A 选项 20 答案 C 解析 积分题目 令t x u 则 故原方程两边对 x 求导 得 令 x 1 得 故 正确答案是 C 选项 21 答案 A 解析 导数计算题目 由题知 f x f x 2 故 f x 2f x f x 2f3 x 进而可得 f x 6f2 x f x 6f4 x 所以 f 0 6f4 0 6 正确的答案是 A 选项 22 答案 D 解析 线性方程组问题 由题知 ATA E 故矩阵 A 满秩 方程组 AX b 必然有唯一的 解 方程组两边同乘以 AT 得 ATAX EX X ATb AT 1 0 0 T 而 AT 1 0 0 T a11 0 0 T 1 0 0 T 所以正确的答案是 D 选项 23 答案 C 解析 行列式问题 由题知 又函数 f x