2004年全国高中数学联赛模拟试卷6.pdf

数学竞赛之窗 中学生数学 2 0 0 4 年 1 O 月上 r 金 牌 学 校 模 拟 试 卷 v v 一 v v 0 国 高 中 数 学 联 赛 模 拟 试 卷 湖南师范大学附属中学 4 1 0 0 0 6 王树国 数学奥林匹克在湖南师大附中 湖南师大附属中学是教育部 国家级示范性普通 高中建设 项 目执行学校 省教育厅直属重点中学 省 实施素质教育的示范学校 学校被湖南省教 育厅确定为 湖南省 高中课 程改 革实验学校 全面实施课程改革 确立 了 以人为本 承认差异 发展个性 着眼未来 的学校课程改革理念 构建了 两性四型 的课 程框 架 新课程体 系的构建与 实施 为学生提供了前所未有的学习发展空间 多年来湖 南师大附 中教 育教 学质量稳居全 省前 列 教改教研成果丰硕喜人 形成 了 科研兴校 全面育 人 的鲜明办学特色 享有 金牌摇篮 的美誉 1 9 9 0 年 开始承 办湖 南省理科 实验 班 每年 面向全 省招生 自 1 9 9 1 年至 2 0 0 3 年 在国际学科奥林 匹克竞赛 中 共获 得数 理 化 生等学科奥赛金牌 1 8 枚 银牌 7 枚 其中 有数学奥赛金牌 6 枚 银牌2 枚 作者简介 王树 国 1 9 6 2 年 l 1 月 出生于湖南省慈利县 1 9 8 4 年毕业于湖南师大数学 系后 留在湖南师大附中任教 至今 现为中国数 学奥林匹克高级教 练 湖南师大附中 高级教师 曾担任湖南师大附中超常发展 实验班和理 科实验班的数学教 学工作 他指导的学生曾获得初 中 数学全国联赛湖南省第一名 高中数学全国联赛湖南 省第一名 有 1 6 人获全国高中数学竞赛一等奖 3 O 人 获全国高中数学竞赛二等奖 4 人进入中国数学奥林匹 克冬令营 2 人进入国家集训队并入选国家队 他指导 的学生余君同学在第4 2 届 I MO中获得金牌 李先颖同 学于 2 0 0 4 年 7月在希腊雅典参加 了第 4 5届国际数学 奥林匹克 并夺得一枚金牌 第一试 一 选择题 每小题 6 分 共 3 6 分 1 对任意实数 z 定义 z 为不大于z的最大整数 例如 3 6 一3 一3 6 一一4 等 设函数 z 一z 一 困 z 给出下列四个结论 z 0 z 1 z 是周期函数 是偶函数 其中正确结论的 个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4个 2 已知每条棱长都为 3 的直平 行 六 面 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1中 B A D一6 0 长为 2的线段 MN 的一个 端点 M 在 DD 上运 动 另 一 个端点 N在底面A B C D 上运动 则 MN中点P的轨 D 迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为 A 号 B 鲁 c 鲁 D 警 3 函数 一 的值域为 A 1 2 B O 2 c o D 以上都不对 4 非负实数 z Y 满足 2 z 3 5 z 6 则 z y z 的最大值是 A 詈 I B 譬 c D 0 0 4 U 石 U 5 已知数列 口 满足 3 口 口 一4 1 且 口 一9 其前 项 的和为 S n 则满足 I S r t 6 I 0 的 解 集 是 一 维普资讯 2 0 0 4年 1 0月上 中学生数学 数学竞赛之窗 9 设变量z满足z b x 一z 6 O且 z y 一1 证明 z yz v v x z z F x y 3 三 一个计算机屏幕显示了一个 9 8 9 8的棋盘 棋 盘用通常方法染色 即两种颜色相间的染 一个人能够 拖动鼠标选择一个边框为棋盘线的矩形 然后点击 鼠标 这个框内所有的颜色变色 即白变黑 黑变白 问至少要 点击多少次鼠标才能将棋盘变成一种颜色 答案或提示 第一试 1 C 厂 z 一z 一 工 的 图像如右图所示 由图像 可 知 正确 错误 故 选 C 2 B P点的轨 V 广 广 一 4 3 2一 l 01 2 3 4 5 l 一 3 4 迹 是 以 为球 心 半 倥 为 i的球 回的 一 邵 分 所 求 几 何体的体积 一了 1 x 1 x了 4 X 1 一 字 3 A 令 一d b 则d 6 0 且 3 d b 一3 令 d c o s O b 一 s i n O 其 中 0 E o 号 函 数 y a 6 CO S O f 3 s in O 一 2 C O S 一 号 当 0 一 即z 一 5 时 取得最小 值1 当 一要即 r 一 时 U 取得最大值 2 4 D 注意到3 7 2 y z z z 3 y 5 由于 1 J z z 3 5 z 一6 是定值 因此 由均值不等式可得 当 z 3 y s 一 手 即 z 一 号 一 一 时 z 的最大值是 田 维普资讯 5 C 由 3 n l n 一4 得 3 n 1 1 一 n 一 1 数 列 n 一 1 是 首 项 为 8 公 比 为 一 的 等 比数列 I S 一 一6 1 6 要使 I S n 6 I 6 故满足条件的最小整数是 7 6 C 本题是求与圆z y 一5 0相交于整点 且不经过原点的直线的条数 圆上共有 1 2 个整点 1 7 1 一 7 一 1 7 一 1 一 7 5 5 5 一 5 一 5 5 一 5 一 5 7 1 7 一 1 一 7 1 一 7 一 1 每一对这样 的点决定了一条与圆相交于整点的 直线 共有 C 一6 6 条直线 另外 这 1 2 个点中的每一 个点都可以作与圆相切于该点的直线 所以共有 6 6 1 2 7 8 条直线与圆相交于整点 其中有 6 条经过原点 的直线不能写成 n z b y 一1的形式 所 以共有 7 8 6 7 2 个有序实数对 n 6 使得给定的方程组至少有一 个解且 只有整数解 7 m 5 显然 m 0 方程 m z y 2 y 1 一 z 一 2 3 可 化 为 三 一 此 方 程 1 一2 表示的曲线是到定点 O 一1 的距离与到定直线 z 一2 3 0 的 距离 之比 为 常数 的 点的 轨迹 要使所 表 示 的 曲 线 为 椭 圆 贝 0 5 8 一 譬 o 令 一 c c 1 则 原 不 等 式 可 化 为 1 2 o 解 得 一 专 1 解 不 等 式 一 专 志 得 x E y 9 6 一 一 3 由z 6 1 z O 及 6 一1 可解 得 o z 一 6 1 设 厂 z 一 z b 一 等 1 若 一 6 1 一 b 即一2 6 O 则 一 一 1 0 t 导 1 b一 当 且 z 十 V 一 一十 一 l 当 且 仅当 一3 即z 一4 一1 2 时 z Y有最小值 1 6 此时 z 一 1 6 0 1 1 设 r 为 AB C的内切圆的半径 则 J A A sl n 易 证 ta n 导 ta n 同 理等一 ta n ta n 一 ta n ta n 导 n f n 所以P一 O c 等 a o n f A B B C A C 一 十 十 a n 一 1 1 2 厂 黑 白蚂蚁按规定路线走6 k k N 段后 会回到出发点 A 故它们爬行 2 0 0 6 段后分别位于 D B 彼此相距 1 3 设椭圆方程 为 一1 则 直线 的方程 为Y z f 代入椭圆方程 得 n 6 2 z 一2 a f z n f 一n b 一0 设点 A x l Y 1 B x 2 Y 2 则 2 d f l 十 2 一而 Yl 2 一 l z2 2 c 2 b f n b OC OA OB c点坐标为 0 一 0 n 1 n 十 C点在椭圆上 4 n f 4 6 f 十 一 1 4 f 2 一n 6 一 一 一 n 2 一b 2 f 2 5 f z 一2 n z P 一三 一一 i n 0 I AB I 一 n 1 n 2 2 n z z 一 2 n 一 z n一篇 一 一 一 一一 一 由已知 一1 5 n 一1 o 从而 c 一 n 一2 6 2 一 n c 6 o 故 椭 圆 方 程 是 盖 一 1 维普资讯 一 4 17 解 得 j卢 6 69 或 lji 一 61 或 Iji 一 1591 2 fIji 一 5119 或 熏 贰y一 z 3一堕 Ij c s一萼 l 如图 当3一堕 5 即一8 一二 f 一弋 一 ax 8x35 蔡 0M2一只能是方程 一 眦a 一的较大根 1 x 口 一l 一 撕了万一4 一二 r 一 n l 一 溪 ADBC 念 BECA CHABABEACH I I I I j 詹 0 1 令 z 专 一 y 去 则 三三筝 若z 专 撕 则y 譬 譬 一 厄 rnjn z y 一 y 压 从 而 当且仅当z 一1一 厄时 当且仅当z 一一 2 时 m a x m in z 专 y m a X y 厄 若厄 z 专 则y 譬 譬 一 厄 m in 专 时 一 专 妍 从 而 当且仅当z 一三一厄时 m a x m in z 专 y 去 一 m a x 专 一 万 若z 狐 专 0 则y 2 2 譬 一 厄 y 土 2 y 2 百fi一 fi y 2 y 2 可一 此时若土 Y y 则m in z 专 y 一 y 厄 若土 Y y 则m in 专 卅 Y 厄 当且仅当z 一土一 厄时 m a x m in z y 一 厄 综上所述 当且仅当z 一土一 厄时 m a x m in z y 一 厄 责审周春荔 上接第 2 1页 次鼠标 即可将棋盘变成一种颜色 色 如果n为偶数 则至少需要点击 n次鼠标 才能将 2 当n 为偶数时 设 n 一2 k 为正整数 由于 棋盘变成一种颜色 这个棋盘的四个顶点不同色 故必有矩形包括这些顶 考虑沿着边框线的 4 n I 个小方 格 由于它们点 而点击这些矩形一次至多可 以减少 2 对异色小方 黑白相间 故一共有 4 n I 对由相邻异色小方格组格对 所以 至少需要点击 n 次鼠标 才能将棋盘变成 成的异色小方格对 而每一次点击至多减少 4对这样一种颜色一 可先点击第 2 4 6 2 k行 再点击 2 4 的异色小方格对 故至少要点击 n 1 次鼠标 才能6 2 k 列 第k次和第 2 k次点击