2013学而思数学试卷.pdf

1 绝密 启用前 2013 年第三届全国学而思综合能力测评 学而思杯 年第三届全国学而思综合能力测评 学而思杯 数学试卷 六年级 数学试卷 六年级 考 生 须 知 1 本试卷共 8 页 20 题 2 本试卷满分 150 分 考试时间 90 分钟 3 在试卷密封线内填写学校 班级 姓名 一 填空题 每题一 填空题 每题 5 分 共分 共 20 分 分 1 盒子里有 10 只黑球 20 只白球 30 只红球 那么 至少摸 只球 才能保证出现 2 只红 球 难度 答案 32 考点 最不利原则 分析 要保证出现 2 个红球 先取完黑球和白球 再取两个红球 得20 10 2 32 2 如图 长方形ABCD的长和宽分别为6和4 E F分别为BC CD的中点 阴影部分面积为 难度 答案 9 考点 图形面积计算 分析 本题考点较多 直接计算也可以出结果 当然知道梯形的一半模型也是非常迅速的 如下图 梯形AECD F为CD的中点 则三角形AEF是梯形AECD一半 F E D CB A 11 6443 9 22 或者直接算 111 644332629 222 3 宫保 艾迪 薇儿一共有525张积分卡 宫保卡数的2倍和薇儿的 2 3 一样多 艾迪的卡数比宫保的 多25 宫保有 张积分卡 难度 答案 100 F E D C B A 2 考点 比例应用题 分析 宫保的 2 倍等于薇儿的 2 3 可得之比是 2 21 3 3 所以宫保 薇儿 艾迪的比是 1 3 1 254 12 5 一共412521 份 故宫保有52521 4100 张积分卡 4 在1到2013中 除以6余4的数有 个 难度 答案 335 考点 简单带余除法 分析 直接表示满足条件的是 642013a 20134 6 a k为两位数 n取值是 4 到 9 mn 与mn 奇偶性相同 100k 是偶数 mn 与mn 是偶数 且为 100 的因数 分类讨论 1 100mn mnk n 对应4 9 所以 m 对应着 96 91 F E D C B A 7 2 50 2 mn mnk n 对应4 9 所以 m 对应着 46 41 3 2 50 mnk mn n 对应4 9 所以 m 对应着 54 59 4 此外 还有某位是 5 的 对应的有 35 65 75 85 共计 36422 个 五 解答题 每题五 解答题 每题8分 共分 共16分 分 17 下列算式的计算结果是 每小题4分 共8分 15110 111 1 1108 48411 难度 答案 90 2 或 1 90 5 或 451 5 考点 分小混合运算 提取公因式 分析 原式 1 1 1 11 8 25 62 5 1 1 82 90 2 4 评分标准 有过程 且过程 答案无误即给满分 答案错误或没有过程不给分 1235 1 224477 12 难度 答案 11 12 考点 分数裂项 11ba abab 分析 原式 111111111 1 2244771212 评分标准 有过程 且过程 答案无误即给满分 答案错误或没有过程不给分 18 解下列方程或方程组 每小题4分 共8分 6714 235 x x 难度 答案 3 5或 7 2 考点 分数方程 分析 解 5 67 14 23 xx 30352842xx 8 7 2 x 评分标准 有过程 且过程 答案无误即给满分 答案错误或没有过程不给分 7959 9753 xy xy 难度 答案 2 5 x y 考点 解二元一次方程组 分析 解 两方程相加得 16 112xy 7xy 两方程相减得 2 6yx 3yx 和 式相加得 2 5 x y 评分标准 有过程 且过程 答案无误即给满分 答案错误或没有过程不给分 六 解答题 每题六 解答题 每题15分 共分 共30分 分 19 在一个边长为84米的正方形跑道上 一只猫和一只老鼠同时从同一个顶点背向出发 猫的速度为6 米 秒 老鼠的速度为8米 秒 每当老鼠发现猫出现在正前方跑道上时 立马掉头逃跑 并且由于过 度害怕 速度下降1米 秒 那么 1 出发多少秒后 老鼠第一次掉头 5分 2 出发多少秒后 猫能抓到老鼠 10分 难度 答案 21 秒 330 秒 考点 环形跑道追及和相遇 分析 如下图 一 所示 假定 老鼠和猫都在正方形ABCD的A点 老鼠是逆时针 猫是顺时针 42 A B C D 猫 老鼠 二 一 老鼠 猫 D C B A 9 第一问 第一问 老鼠的速度开始快 老鼠最先跑完两条边 8484 821 秒 此时猫走了21 6126 秒 此 时猫走的路程 1268442 即猫走了一条边 过 D 点 42 米 如图 二 评分标准 0 分 3 分 5 分 答案对 过程对 给 5 分 答案不对 大部分过程对 给 3 分 答案不对 大部分过程不对 给 0 分 第二问 第二问 图 二 老鼠的速度是 7 米 秒 此时 老鼠追猫 老鼠离猫的距离是84848442 米 但 是老鼠看见猫 就要掉头回跑 先计算 84 84 42 76 210 秒 此时老鼠走的路 程是21071470 14708417 条边余42米 说明此时老鼠还没有看见猫 还需要 8442 76 秒 此时老鼠走了 18 条边 到达A点 如图 三 此时 猫从开始 到现在共走的路程是 212106 61422 米 14228416 条边余 78 米 图三所 示 老鼠在 A 点掉头 速度是 6 米 秒 猫先到达 C 点 猫的速度和老鼠速度一样 走了 846 615 秒 老鼠走了84847890 米 图四 6 78 四 老鼠 猫 D C B A 78 A B C D 猫 老鼠 三 图四 老鼠的速度是5米 秒 猫的速度是6米 秒 追及问题 78 65 78 秒 此时一共走了 2121061578330 秒 评分标准 0 分 4 分 7 分 10 分 答案对 过程对 给 10 分 答案不对 绝大部分过程对 给 7 分 答 案不对 有些过程对 给 4 分 答案不对 绝大部分过程也不对 给 0 分 20 有一个25人的班 学生的座位排成了5行5列的方阵 学而思杯 成绩公布后 这25个同学都获得 了一个班内排名 没有相同排名 如果某学生在所处的行或列中排名前2 他就会很开心 如果在 所处的行或列中排名垫底 他就会很郁闷 如果一个学生既开心又郁闷 我们称他为 纠结的人 请 问最多有多少个 纠结的人 请给出说明过程 并在下表中举一个例子 填上排名 并圈出 纠结的 人 10 难度 答案 4 个 考点 构造与论证 分析 将纠结的人分为两类 一类是在横排中成绩领先 竖排里落后 另一类相反 只考虑第一类 若存在三个在不同横排的第一类人 那他们一定不在同一竖排 设他们为 A B C 那么要么 他们都不属于同一行 要么有两者同行 1 若有两人同行 那么不妨设为 A B 如图 1 所示找到和 AB 同行 C 同列的 F 和 C 行里 与 AB 同列的 D E 如图所示 由纠结定义 DE 里必有一个小于 C 设为是 D 那么有 C D A 又 A F C 矛盾 故而不可能出现此种情况 若三人均不同行 找到三人每个人行里与其他两人同列的两个人 如图 2 所示 不妨设 C A小于 A 那么若 A C小于 C 则 A C A C C A C A 矛盾 故而一定有 A C C 即 B C C 同理可得 若 C B小于 B 则会产生矛盾 故而 C B B 从而 A C A C B C B A B A 矛盾 故而第一类人不超过 2 个 同理 第二类人也不超过 2 个 故而纠结的人