2011年矩阵论A试卷答案.pdf

学号 姓名 装 订 线 第 1 页 共 10 页第 2 页 10 页 哈尔滨工程大学研究生试卷哈尔滨工程大学研究生试卷 2011 年 秋 季学期 课程编号 课程名称 矩阵论 A 正文用宋体小 4 号 B4 纸 一 填空题 每题 3 分 共 30 分 1 设 3 32 ACAA A 的若当标准型为 J 令 2 BEA E为同阶单位阵 则B的若当标准型为 EJ 2 设 1 13 2 1 01 2 001 A 则 10987 2522AAAAA 216 021 002 3 设 A为一个满秩的4阶 矩阵 初等因子为 1 1 22 3 1 1 则 A的Smith标准形为 32 2 1 1 1 1 1 J 4 设 1 0 m n ijij VAaRaij 当时 2 0 m n ijij VAaRaij 当时 则 12 VV m n R 5 设1 1 2 1 xxx 是 三 维 多 项 式 空 间 2 F x的 一 组 基 则 2 1f xxx 在基1 1 2 1 xxx 的坐标为 3 4 1 T 6 设 10 1 0 2 a A 且lim k k AO 则a的范围是 11 a 7 设 2 1 1 2 2 TAiBi 则 1 AB 40 m BA 60 2 B 10 8 设 3 3 ij Aa 且 2 0 A 令 111213 212223 313233 1 1 1 aaa Baaa aaa 则 1 B EA 9 设 102 020 202 A 则矩阵A的瑞利商 0 H n AH x Ax RxxC x x 所在 的范围是 R x 2 3 10 设 3 cos1 sin20 1 3 1 t t t A ttt t t e e t 则 2 0 d x A t dt dx 2 2 2 22 26 2 cos1 2sin20 1 3 1 x x x xe x ex xx x 二 计算题 60分 1 15分 用酉变换将埃尔米特二次型 32313221312111 22xx ixxxixxx ixxxixxxf 化为标准型 学号 姓名 装 订 线 第 3 页 共 10 页第 4 页 10 页 解 1 写出二次型对应的埃尔米特矩阵 021 20 11 i ii i A 2 求解矩阵A的特征值 2 2 4 1 21 2 11 2 iii i ii i AI 0 2 3 6 23 故得其特征为 0 1 3 2 2 3 3 求解每个特征值对应的特征向量 利用特征方程求解 0 021 20 11 11 Axx i ii i xAI 利用初等变换求解线性方程组 由 000 10 11 10 10 11 021 20 11 i i i i i i ii i A 故得 1 2 1 ix 0 321 23 12 2 x i ii i xAI 由 000 10 321 550 550 321 23 12 321 321 23 12 i i i i i ii i i i ii i 故得 1 1 2 ix 0 221 22 13 3 x i ii i xAI 由 000 550 221 22 13 221 221 22 13 i i ii i i i ii i 故得 1 0 3 ix 4 求酉变换 正交化 由 3 可知 012 1 1 1 2 2 2121 iiixxxx H 01 1 0 1 1 2 3232 iiixxxx H 01 1 0 1 2 2 3131 iiixxxx H 即 321 xxx为两两正交向量组 单位化 1 2 6 11 1 11 1 1 1 ix xx x x u H 1 1 3 11 2 22 2 2 2 ix xx x x u H 1 0 2 11 3 33 3 3 3 ix xx x x u H 得酉变换 3 1 3 1 6 1 236 0 3 1 6 2 321 iii uuuU 2 15分 对方程组bAx 3 123 12 1 1 1 x xxx xx 1 求A的满秩分解FGA 2 计算 A 3 求该方程组的全部最小二乘解和最小2 范数最小二乘解 解 1 00101 110 11111 001 11010 AFG 不唯一 2 112 1 112 6 422 A 3 1 1 1 3 2 xA b 学号 姓名 装 订 线 第 5 页 共 10 页第 6 页 10 页 3 10分 设 311 202 113 A 求 1 矩阵AI 的Smith标准型 2 矩阵A的Jordan标准型 解 1 由 4 2 2 0 2 220 311 311 22 113 AI 22 2 00 020 001 2 00 2 220 311 得 矩阵AI 的Smith标 准型为 2 2 00 020 001 2 由 1 可知矩阵A的Jordan标准型为 200 120 002 J 4 10分 已知矩阵 232221 131211 xxx xxx X 21132212 sin 0 2311 xxxx e Xf xx 求 dX Xdf 解 232221 131211 dx Xdf dx Xdf dx Xdf dx Xdf dx Xdf dx Xdf dX Xdf 其中 ijij ij xx ij dx xdx dx xxd dx de dx Xdf 21132212 sin 0 2311 3 2 1 2 1 ji 且 00 0 2311 23 11 xx ex dx Xdf 0 cos 00 22122212 xxxdx Xdf 2113 0 00 xdx Xdf 0 00 1321 xdx Xdf 0 cos 00 22121222 xxxdx Xdf 00 0 2311 11 23 xx ex dx Xdf 即 000 cos 0 00000 00 cos 00 00000 22121213 11 21221222 23 2311 2311 xxxx ex xxxx ex dX Xdf xx xx 5 10分 设 130 020 412 A 求计算 At e和Aln 解法一 2 2 1 AI 令 2 210 aaag 由 21 210 210 4 2 2 42 2 2 1 1 aagf aaagf aaagf 可得 2 2 1 2 3 2 4 1 4 2 2 2 3 1 4 2 1 0 fffa fffa fffa 当 t ef 时 解得 ttt teeea 22 0 234 ttt teeea 22 1 3 44 ttt teeea 22 2 因此 ttt t tttttt At eee e eeteeee e 2 2 2222 330 00 44131212 当 ln f时 解得 2 1 2ln 2 3 2ln4 12ln3 210 aaa 因此 02ln30 02ln0 2ln4 2 13 2ln122ln ln A 学号 姓名 装 订 线 第 7 页 共 10 页第 8 页 10 页 解法二 A的Jordan标准型为 200 120 001 J 利用PJAP 可求得相应的相似变换阵P为 13 3 01 13 1 00 014 因此 1 PJPfAf 13 3 01 13 1 00 014 2 00 2 2 0 00 1 f ff f 1 13 3 01 13 1 00 014 13 3 01 13 1 00 014 2 00 2 2 0 00 1 f ff f 0130 4121 130 1 2 3 1 30 0 2 0 2 4 1 4 2 13 2 12 1 12 2 fff f ffffff 当 t ef 时 解得 ttt t tttttt At eee e eeteeee e 2 2 2222 330 00 44131212 当 ln f时 解得 02ln30 02ln0 2ln4 2 13 2ln122ln ln A 三 证明题 10分 1 5分 3 C中 线性变换在某一基下的矩阵为A 且A的特征多项式为 1 2 2 A mAE 令 1 2 0 WAE 2 2 0 WAE 证明 21 W W是A的不变子空间 且 21 3 WWC 证 2 iimA 可见 1 W是A的特征值2 的特征子空间 1 W 是A的不变子空间 当i 时 则存在 21 W 使 11 iA i 则存在 22 W 使 22 iA 于是有 212 LW 且 2 W是A的不变子空间 0 21 WW 故 21 3 WWC 2 5分 设 m n AC 证明 2 maxmax ijij i ji j aAmna 证明 设 2 1x 1 2 T i im 为A的行 则 2222222 2 1212 2 222 max TTTTTT mmij i j Axxxxmna 所以 2 22 1 maxmax ij xi j AAxmna 特别地取 121 1 0 0 n xe ee e 等 得 2 22 2 11 maxmax jij xj n AAxAea 从而 2 max ij i j Aa 试试 卷卷 存存 档档 说说 明明 一 出题 出题时请标明每题分数 总分 课程编号及课程名称 二 试题印刷 1 公共课 由研究生院负责 2 专业课 由开课院 系 部 教务办负责 三 答题册 主考教师到本院 系 部 教务办领取标准统一答题册 四 评卷要求 一 试卷批阅原则 1 教师评卷时必须按标准 或参考 答案严格掌握评分标准 贯彻公正 准确的原则 并做到宽严适度 始终如一 2 应先组织试评 掌握尺度以后 再分题到人 两名以上 含两名 授课教师的课程应 实行集体阅卷评分制 集体流水作业 按题分工负责阅卷 阅卷人必须在试卷上签字负责 遇有疑难问题 可由评卷小组集体讨论 然后定分 3 考核成绩一般应符合正态分布规律 若优秀率偏高或不及格率偏高 任课教师应对此 提交报告作出说明和解释 要维护试卷卷面成绩的严肃性 4 评卷人员发现试题命题有误 或答卷雷同等异常情况 如果是专业课应及时报告学院 系 部 主管领导 如果是公共课要及时报研究生院 5 在评卷过程中 各学院 系 部 应组织专人做好复查工作 确保评卷工作质量 对 个别试卷评阅的错漏现象 以及登分 记分错误 复查后需要更改的 应填写 成绩更正审 批表 由评卷人 教研室主任 学院 系 部 主管领导联合签名 并说明理由 报研究生 院批准方能更正 6 评卷人员要严守纪律 保守秘密 不得向外泄漏评卷情况 不得涂改考生答卷和成绩 二 试卷批阅规范 1 试卷评阅一律使用书写红色文字的钢笔或圆珠笔 2 记分数字的书写要准确 清晰 工整 如有更改 应有更改人签字 记分使用阿拉伯 数字 如只记得分 不记扣除分 在得分前可不记 同一试卷册的记分方式必须始 终一致 3 评卷要严格执行标准 或参考 答案和评分标准 客观题的评阅 每道错误小题必须 用 标注 主观题的评阅需按评分点逐个评分 并标注在相应位置 然后得出每小 题得分 4 每大题要有一个总得分 标注在该大题的左上角位置 且须与试卷首页题号得分栏一 致 在题号得分栏需评阅