（电磁场PPT）第一章+静电场.ppt

第一章静电场 SteadyElectricField 基本方程 分界面上的衔接条件 边值问题 惟一性问题 镜像法和电轴法 电容 静电场的应用 环路定律 高斯定律 电场强度和电位 序 1 0序 静电场是相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场 它是电磁理论最基本的内容 由此建立的物理概念 分析方法在一定条件下可应用推广到恒定电场 恒定磁场及时变场 本章要求深刻理解电场强度 电位移矢量 电位 极化等概念 掌握静电场基本方程和分界面衔接条件 掌握电位的边值问题及其解法 熟练掌握电场 电位 电容 能量 力的各种计算方法 Introduction 1 1电场强度和电位 基本概念 1 试体 电场用另一电荷的受力来描述其特性 另一电荷就称为试体 试体应是一个电量很小的点电荷 电荷与体积都尽可能小 2 两类点 均用坐标及矢量表示源点 引起电场的点场点 电场中需要确定场量的点 3 距离向量 原点到源点的距离向量原点到场点的距离向量源点到场点的距离向量 点电荷是电荷体分布的极限情况 可以把它看成是一个体积很小 总电量不变的带电小球体 1 1 1库仑定律 Coulomb sLow N 牛顿 适用条件 库仑定律 图1 1 1两点电荷间的作用力 两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力 推论 多个点电荷对q0的作用力 连续分布电荷对q0的作用力 dq看作点电荷 库仑定律说明 在电荷的周围存在电场 1 1 2电场强度 ElectricIntensity V m N C 定义 电场强度E等于单位正电荷所受的电场力F a 单个点电荷产生的电场强度 V m 图1 1 2点电荷的电场 一般表达式为 b n个点电荷产生的电场强度 矢量叠加原理 c 连续分布电荷产生的电场强度 根据物质结构理论 电荷的分布实际上是不连续的 但当考察电的宏观现象时 可以把电荷的离散分布近似的用它的连续分布代替而得到令人满意的结果 图1 1 3矢量叠加原理 图1 1 4体电荷的电场 元电荷产生的电场 线电荷分布 体电荷分布 面电荷分布 例1 1真空中有无限长均匀带电直导线 电荷线密度为 试求P点的电场 例1 2求电荷面密度为 半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电场强度 矢量恒等式 1 静电场的旋度 1 1 3旋度和环路定律 CurlandCircuitalLaw 点电荷电场 取旋度 2 静电场的环路定律 电场力作功与路径无关 静电场是保守场 是无旋场 由Stokes 定理 静电场在任一闭合环路的环量 说明 即 1 1 4电位 无限大真空 一 电压的定义 P Q两点之间电压为从P点到Q点移动单位正电荷电场力所作的功 注意 起点与终点的方向顺序 也即 为积分顺序 1 的计算 由电场力作功公式推出 电压单位为 伏特 V 即 P Q两点间的电压只与P Q两点的位置有关 与路径无关 推论 可见功与能量守恒 即 静电场为守恒场 2 电压与路径的关系 以点电荷q为例 而任意分布的电荷可看成点电荷dq的叠加 因而结果具有普遍性 二 电位 在整个电场选定唯一且固定的一个点Q作为参考点 空间任一点P与参考点之间的电压定义为P点的电位 1 参考点选择 理论上 无穷远处为参考点 未注明以后参考点均指无穷远 实际工程中 大地为为参考点 2 电位计算 单个点电荷q q放在坐标原点 q放在任意位置 多个点电荷 先求点电荷的电位再求和 连续分布 dq为点电荷 先求点电荷的电位再积分 也可看作求和 负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位 在直角坐标系中 1 E与的微分关系 根据E与的微分关系 试问静电场中的某一点 所以 二 电位与电场强度的关系 2 已知电荷求电位 点电荷群 连续分布电荷 以点电荷为例 3 与E的积分关系 图1 1 6E与的积分关系 线积分 式中 设P0为电位参考点 即 则P点电位为 所以 4 电位参考点 例如 点电荷产生的电位 点电荷所在处不能作为参考点 场中任意两点之间的电位差与参考点无关 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单 电位参考点可任意选择 但同一问题 一般只能选取一个参考点 电荷分布在有限区域时 选择无穷远处为参考点 电荷分布在无穷远区时 选择有限远处为参考点 5 电力线与等位线 面 E线微分方程 直角坐标系 当取不同的C值时 可得到不同的等位线 面 等位线 面 方程 曲线上任一点的切线方向是该点电场强度E的方向 电位相等的点连成的曲面称为等位面 1 1 7电力线方程 电力线与等位线 面 的性质 图1 1 10点电荷与接地导体的电场 图1 1 11点电荷与不接地导体的电场 E线不能相交 E线起始于正电荷 终止于负电荷 等位线愈密处 场强愈大 E线与等位线 面 正交 例1 3真空中xy平面上一半径为a的圆形线电荷 线电荷密度为 试确定轴线上离圆心z处的P点的电位及场强 例1 4求面电荷密度为 半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电位和电场强度 例1 5正六边椎体底面六个定点各有点电荷q 底边的边长为a 棱长与底面正六边形的对角线相等 求椎体顶点的电场强度 1 2高斯通量定理 前面讨论了E的环路线积分 静电场为守恒场 本节讨论的闭合面积分 高斯通量定理 1 2 1真空中的高斯通量定理 1 点电荷 任意闭合面结果相同 2 多个点电荷 q为闭合面S内所有电荷 3 连续分布 1 2 2 电介质中的高斯定律 一 静电场中导体 导体内电场强度E为零 静电平衡 导体是等位体 导体表面为等位面 导体表面的电场强度垂直于导体表面 接地导体都不带电 一导体的电位为零 则该导体不带电 任何导体 只要它们带电量不变 则其电位是不变的 导体 内部有大量自由电子 静电平衡条件下没有自由电子的运动 导体如带电 则电荷分布在导体表面 二 静电场中的电介质 电介质 存在束缚电荷 束缚电荷形成电偶极子 1 特点 电介质对电场的影响可看成极化电荷在真空中所产生的效应 电介质不处在电场中 呈电中性 处于电场中 会呈现 极性 也即 极化效应 2 概念 电偶极子 电偶极子 相距近 符号反 电量等的两个电荷 相对于观察者 电偶极矩 注意 小写 媒质术语 本书讨论各向同性 线性煤质 均匀媒质 媒质的特性不因空间坐标而变化 各向同性媒质 媒质的特性不因场量的方向而变化 线性媒质 媒质的特性不因场量的量值而变化 电介质的分子类型 非极性分子 分子的正 负电荷的作用中心重合 极性分子 分子的正 负电荷的作用中心不重合 因而形成电偶极子 电介质在外电场作用下发生极化 形成有向排列 电介质内部和表面产生极化电荷 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源 极化强度P polarizationintensity 表示电介质的极化程度 即 实验结果表明 在各向同性 线性 均匀介质中 电介质的极化率 各向同性媒质媒质特性不随电场的方向改变 反之 称为各向异性媒质 线性媒质媒质参数不随电场的值而变化 反之 称为非线性媒质 均匀媒质媒质参数不随空间坐标而变化 反之 称为非均匀媒质 极化电荷面密度 三 极化强度与极化电荷的关系 记忆体密度和面密度公式 极化强度P是电偶极矩体密度 单个电偶极子产生的电位 体积V内电偶极子产生的电位 图1 2 4电偶极子产生的电位 矢量恒等式 图1 2 5体积V内电偶极矩产生的电位 极化电荷面密度 电介质的强度 或 击穿场强 某种材料能承受最大场强而不至于击穿的这个场强为其电介质的强度 电力产品的性能处决于其绝缘材料的电介质强度 常见绝缘材料的电介质强度 材料 空气 云母 橡胶 玻璃 电介质强度 伏 米 思考 根据电荷守恒定律 极化电荷的总和为零 电介质均匀极化时 极化电荷体密度 有电介质时 场量为 四 电介质中的高斯定律 取体积分 在各向同性介质中 介电常数F m 其中 相对介电常数 无量纲量 构成方程 例1 2 1平板电容器中有一块介质 画出D E和P线分布 D线由正的自由电荷出发 终止于负的自由电荷 E线由正电荷出发 终止于负电荷 P线由负的极化电荷出发 终止于正的极化电荷 高斯定律的微分形式 高斯定律的积分形式 在静电场中 不问在真空还是介质中 也不问介质均匀与否 由任意闭合面穿出的D通量的面积分等于该面内自由电荷的代数和 这就是高斯通量定理的内容 五 高斯定律的文字表述 计算技巧 a 分析场分布的对称性 判断能否用高斯定律求解 b 选择适当的闭合面作为高斯面 使中的D可作为常数提出积分号外 高斯定律适用于任何情况 但仅具有一定对称性的场才有解析解 六 高斯定律的应用 例1 6试求电荷线密度为的无限长均匀带电体的电场 解 分析场分布 取圆柱坐标系 由 得 图1 2 8无限长均匀带电体 球壳内的电场 球壳外的电场 例1 7哪些区域的电场能用高斯定律直接求解 图1 2 10 q分别在金属球内外 图1 2 9q在金属球壳内 例1 8真空中有两个金属球 外球壳带电内球壳带电 求 1 内球壳外表面 外球壳内 外表面的带电量 2 场中各处的电场强度及电位 比较场强叠加原理和高斯定律两种解法 用高斯定律比较简单 因此 能用高斯定律时 尽量不用其他方法 用高斯定律求场强分布 关键是对称性分析 它只是在电场的对称性已做出分析的基础上可以求出场强的大小 而E的方向是在分析场分布的空间对称时就已经得出的 试求半径为a 电荷面密度为的均匀带电球面的电场 试求半径为a 电荷体密度为的均匀带电球体的电场 例1 9一长直圆柱电容器 其长度L远大于截面半径 已知内外导体的半径为 中间介质的介电常数为 求 介质中的电场强度与两导体电压之间的关系 例1 10三个半径分别为 带电量分别为 求 1 各球壳的电位 2 当外球壳接地 其他球壳不接地时 其他球壳的电位 3 当内球壳接地 其他球壳不接地时 其他球壳的电位 试求半径为a 电荷面密度为的均匀带电球面的电场 试求半径为a 电荷体密度为的均匀带电球体的电场 1 3基本方程 分界面上的衔接条件 1 3 1基本方程 BasicEquation 静电场是有源无旋场 静止电荷是静电场的源 BasicEquationandBoundaryCondition 静电场的基本方程为 微分形式 积分形式 构成方程 矢量A可以表示一个静电场 例1 3 1已知试判断它能否表示静电场 解 根据静电场的旋度恒等于零的性质 包围点P作高斯面 1 3 2分界面上的衔接条件 BoundaryCondition 1 D的衔接条件 则有 根据 图1 3 1介质分界面 D的法向分量不连续 当时 D的法向分量连续 是分界面上的自由电荷面密度 2 E的衔接条件 围绕点P作一矩形回路 E的切向分量连续 根据 则有 3 折射定理 当交界面上时 折射定律 图1 3 2介质分界面 3 的衔接条件 设P1与P2位于分界面两侧 由 其中 图1 3 3电位的衔接条件 用表示边界条件 电位连续 电位的法向分量约束 分界面电位连续 能量连续 电位法向分量约束 金属与介质分界面 即 导体 第一种介质 与电介质 第二种介质 分界面的边界条件 小结 分界面的边界条件 没有特别说明情况下 认为介质分界面无面电荷 1 边界条件 由积分形式基本方程推导出 切线分量 法线分量 折射定律 折射定律适应于无自由电荷分布的两种电介质分界面 说明 1 导体表面是等位面 E线与导体表面垂直 图1 3 4导体与电介质分界面 例1 3 2试写出导体与电介质分界面上的衔接条件 解 分界面衔接条件 导体中E 0 分界面介质侧 2 导体表面上任一点的D等于该点的 解 忽略边缘效应 图 a 图 b 例1 3 3试求两个平行板电容器的电场强度 图1 3 5平行板电容器 1 4边值问题 惟一性定理 1 4 1泊松方程与拉普拉斯方程 Poisson sEquationandLaplace sEquation 泊松方程 拉普拉斯算子 BoundaryValueProblemandUniquenessTheorem 1 4 2边值问题 BoundaryProblem 边值问题 微分方程 边界条件 初始条件 场域边界条件 待讲 分界面衔接条件 强制边界条件有限值 自然边界条件有限值 泊松方程 拉普拉斯方程 场域边界条件 1 第一类边界条件 狄里赫利条件 Dirichlet 2 第二类边界条件 诺依曼条件Neumann 3 第三类边界条件 已知边界上电位及电位法向导数的线性组合 已知边界上导体的电位 已知边界上电位的法向导数 即电荷面密度或电力线 求导体电位及场中电位的分布 下页 上页 返回 求电场中电位的分布 混合边值问题 已知一些导体的电位和另一些导体的表面电荷分布密度 求整个电场分布 2 泊松方程与拉普拉斯方程的应用条件 各向同性 线性 均匀介质 3 泊松方程或拉普拉斯方程的边值问题 第一类边值问题 又名 第里赫列问题已知导体电位 求电场中电位的分布 第二类边值问题 又名 聂以曼问题已知导体表面电荷分布密度 求导体电位及场中电位的分布 混合边值问题 已知一些导体的电位和另一些导体的表面电荷分布密度 求整个电场分布 二 唯一性定理 只要满足给定的边值 则泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的 证明从略 有兴趣的同学自己看 参考 矢量分析与场论 计算法 实验法 解析法 数值法 实测法 模拟法 边值问题 例1 4 2试写出长直同轴电缆中静电场的边值问题 解 根据场分布的对称性确定计算场域 边值问题 阴影区域 图1 4 1缆心为正方形的同轴电缆 通解 例1 4 3试求体电荷产生的电位及电场 解 采用球坐标系 分区域建立方程 边界条件 参考电位 图1 4 2体电荷分布的球体 电场强度 球坐标梯度公式 得到 图1 4 3随r变化曲线 1 4 3惟一性定理 UniquenessTheorem 也即 只要满足给定的边值 则泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的 证明从略 有兴趣的同学自己看 参考 矢量分析与场论 惟一性定理 在静电场中 满足给定边界条件的电位微分方程的解是惟一的 答案 C 例1 4 4图示平板电容器的电位 哪一个解答正确 图1 4 4平板电容器外加电源U0 1 7镜像法与电轴法 镜像法和电轴法的理论依据都是静电场的唯一性定理 因此熟练地确定点电荷与接地导体 电介质 平面问题的镜像电荷的大小和位置 点电荷与接地导体球问题的镜像电荷的大小和位置 两平行圆柱导体问题的电轴的位置和电量的大小都是本章的重点 掌握镜像电荷的求法及镜像法的有效区域是本节的难点 镜像法处理问题的特点在于不直接去求解电位所满足的泊松方程 而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提下 用假象的简单电荷分布 镜像电荷 来等效地取代导体面 或电介质分界面 上复杂的感应 极化 电荷对电位的贡献 从而使问题的求解过程大为简化 1 7 1镜像法 镜象法 分区均匀媒质看作均匀媒质 用简单的虚设电荷代替实际复杂的边界分布电荷 只要边界条件相同 就可用虚拟电荷计算待研究区域的电场 一 无限大导电平板的镜象法 第一类边值问题 图1 7 1平面导体的镜像 方程相同 边界条件相同 解惟一 空气中除点电荷外 a 平板撤去 q的镜象位置放一个 q的点电荷 整个空间充满的介质 上半空间也可满足上述方程和上述边界条件 地面上感应电荷的总量为 方向指向地面 例试求空气中点电荷q在地面引起的感应电荷分布 解 设点电荷q镜像后 图1 7 2地面电荷分布 一般了解 推广 改为60的夹角 如下图 则有 个镜象电荷 思考题 n为整数 镜象电荷的个数为多少个 答案为 2n 1个 二 两种介质中的镜象法 1 方程 介质中 除点电荷所在点外 介质中 2 边界条件 3 处理方法 中的电场计算 空间充满的介质 利用及计算 中的电场计算 空间充满的介质 利用计算 代入边界条件则有 4 推广 图1 7 10电场分布图 中的电场由q与q 共同产生 q 等效替代极化电荷的影响 中的电场由q 决定 q 等效替代自由电荷与极化电荷的作用 图1 7 11点电荷q1与q2分别置于与区域中 思考 二 球面导体的镜像 1 点电荷位于接地导体球外的边值问题 除q点外的空间 设镜像电荷如图 球面电位 图1 7 3点电荷对接地导体球的镜像 将r1 r2代入方程 得 联立求解 得到 球外任一点P的电位与电场为 图1 7 5球外的电场分布 镜像电荷放在当前求解的场域外 镜像电荷等于负的感应电荷总量 图1 7 4球外的电场计算 2 不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布 则 任一点场强 解 边值问题 除q点外的空间 通量为零 大小相等 球面等位 位于球心 思路 图1 7 6不接地金属球的镜像 用镜像法求解下列问题 试确定镜像电荷的个数 大小与位置 图1 7 7点电荷位于不接地导体球附近的场图 任一点电位 球面电位 思考 图1 7 8点电荷对导体球面的镜像 例1 11参阅附图 求 1 点电荷所受之力 2 区域2中 镜像电荷所在处的电场强度及电位 3 点电荷与边界距离一半处的电位 例1 12两种理想介质的交界面为极大的平面 介质1中有点电荷 q 试求介质2中P 0 h 0 点的电位 例1 13有半径为a的接地导体球 在球的附近有一点电荷q 若电荷到球心的距离为d 1 计算球到任意点P处的电位 2 计算球上感应电荷面密度 3 计算球上感应电荷的总量 4 计算球受到的库仑力 5 如果导体不接地 则P的电位应如何计算 数值是多少 例1 14如图所示 放入介质中 求所受力的作用 例1 15一个半径为R的导体球上带有电量为Q的电荷 在距球心d 处有一点电荷 求 1 空间电位分布 2 导体球对点电荷q的力 如何求解 很长的平行带电圆柱导体的电场 1 7 2电轴法 ElectricAxisMethod 电轴法是用两根假想的带等量异号电荷的无限长直线 电轴 来代替两个带电柱形导体 这样就把求解电荷分布不均匀的带电圆柱产生的电场问题 变成了求解两电轴在所考虑区域内产生的电场问题 如果代替以后 仍然保持圆柱体上的边界条件不变 根据唯一性定理 用线电荷算出的周围空间的电位就是两圆柱体周围空间的电位 这个方法的关键是寻找两根线电荷 即电轴 的位置 导线以外的空间 边值问题 1 7 12长直平行双传输线 图1 7 13两根带电细导线 一 两根平行的无限长的线电荷的电场 在P点产生的电位 在P点产生的电位 在P点的总电位 以y轴为参考电位 可令C 0 则P点的电位 令 C 等位线方程 图1 7 13两根带电细导线 K取不同值时 得到一族偏心圆 a h b满足关系 整理后 等位线方程 圆心坐标 圆半径 图1 7 14两根细导线的等位线 根据 得到Ex和Ey分量 图1 7 15两细导线的场图 E线方程 思考 若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳 是否会影响电场分布 二 电轴法 平行带电长圆柱形导体的电场 1 等效电轴 带电细导线理解为圆柱形导体的作用中心线 故称为等效电轴 2 电轴法 求解两带电的平行圆柱形导体的电场 只需确定它们的等效电轴的位置即可 这种求解方法称为电轴法 以y轴为参考电位 例1 7 3试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布 b 圆柱导线间的电场与电位 电轴位置 图1 7 16平行传输线电场的计算 例1 7 4试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置 图1 7 17不同半径传输线的电轴位置 解 1 参考电位的位置 2 有效区域 例1 7 5试确定图示偏心电缆的电轴位置 注意 图1 7 18偏心电缆电轴位置 例1 7 6已知平行传输线之间电压为U0 试求电位分布 解 确定电轴的位置 所以 设电轴线电荷 任一点电位 图1 7 19电压为U0的传输线 镜像法 电轴法 小结 镜像法 电轴法 的理论基础是 镜像法 电轴法 的实质是 镜像法 电轴法 的关键是 镜像电荷 电轴 只能放在待求场域以外的区域 叠加时 要注意场的适用区域 用虚设的镜像电荷 电轴 替代未知电荷的分布 使计算场域为无限大均匀媒质 静电场惟一性定理 确定镜像电荷 电轴 的个数 大小及位置 应用镜像法 电轴法 解题时 注意 1 8电容 电容只与两导体的几何尺寸 相互位置及周围的介质有关 工程上的电容器 电力电容器 电子线路用的各种小电容器 电容的计算思路 设 一 单个导体的电容 孤立导体与无限远处另一导体间的电容 例1 半径为R的球形导体的电容计算 二 两导体之间的电容 例2 两无限长 半径为a的圆柱形导线 单位长度的电容的计算 解 设内导体的电荷为q 则 同心球