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全国各地市1998年高考模拟试题汇编 三 不等式 数列 极限 数学 归纳法 11 下列不等式中 不成立的是 A sin130 sin140 B cos130 cos140 C tg130 tg140 D ctg130 ctg140 21 已知a b 0 那么下列不等式中一定成立 的是 A ab 0 B a2 b2 C a 1 b 31已知a b 0 全集I R M x b x a b 2 N x ab x a 则M N A x b x ab B x ab x a b 2 C x b x a b 2 D x x a a R 的解集是 A x x 1 a B x x 1 2a C x 1 2a x 1 a D x x 0或0 x 1 2a 61 当x 1 2 时 不等式 x 1 2log x 1 x 2 成 立的一个充分但不必要条件是 A x 2 B x 4 C 1 x 1 81 三个数log2 1 4 20 1 20 2的大小关系是 A log2 1 4 20 2 20 1 B log2 1 4 20 1 20 2 C 2 0 1 20 2 log2 1 4 D 2 0 1 log2 1 4 q B p q C p q的大小与a的取值有关 D 以上都不对 101 已知 a n 是等差数列 则下列各不等式中正 确的是 A a3a6 a4a5 D a3a6 a4a5 111 在等差数列 a n 中 a 1 2 a4 14 那么前6 项和S6等于 A 36 B 72 C 78 D 144 121 在等差数列 a n 中 已知a4 10 a7 19 则 a12的值是 A 34 B 37 C 31 D 33 131 已知数列 a n 甲 a n kn b k b为常 数 乙 an 是等差数列 则 A 甲是乙的充要条件 B 甲是乙的充分条件 但不是必要条件 C 甲是乙的必要条件 但不是充分条件 D 甲既不是乙的充分条件 也不是乙的必要 条件 141 无穷等比数列的前n项和为Sn 1 1 2 n 则所有项的和为 A 1 2 B 1 C 1 2 D 任意实数 151 设 a n 与 b n 都是公差不为零的等差数列 且lim n an bn 2 则lim n b1 b2 b2n na3n 等于 A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 1 161 若 a n 是等比数列 a 1 3 公比 q 1 3 S n 721998年第12期 数 学 通 讯 是其前n项和 则lim n Sn等于 A 9 2 B 9 4 C 1 4 D 4 171 等比数列 a n 中 前m项的和是100 有 2m 项的和是 70 m是给定的自然数 则前 3m 项的 和是 A 240 B 184 C 219 D 49 181 设数列 a n 的前n项和Sn 2n 1 则 lim n 1 a1a2 1 a2a3 1 anan 1 等于 A 1 3 B 5 12 C 5 6 D 3 2 191 已知 a 3 则lim n 3n an 3n 1 an 1的值等于 A 0 B 1 3 C a D 1 a 201 若lim n an bn an 1 bn 1 b 则正常数a b的关 系是 A a b B a b C a x 1的解集是 241 不等式2x 2 3 4x 的解集是 251 不等式log2 x 1 2 5 log4 x 1 的解 是 261 不等式log4x2 1 0 b 1的解集为 281 在等差数列 a n 中a2n an 4n 1 2n 1 则S2n Sn 291 无穷等比数列1 1 3 1 32 1 3n 1 各项的 和是 301 从无穷等比数列 1 3 1 9 1 27 1 3n 中选 出某些项 构成一个新的无穷等比数列 如果新数列 各项的和为 3 26 则它的公比为 311 已知 2 3 4 则 lim n sinn sinn 1 cos sinn 2 cos2 cosn sinn 1 321 解不等式3x 4 5 2x 0 331 解不等式lg x 1 x 1 351 解关于x的不等式loga x2 x 2 loga x 2 a 1 a 0且a 1 361 设关于实数x的不等式x a 1 2 2 a 1 2 2 和x2 3 a 1 x 2 3a 1 0 a R 的 解集依次为A B 求使A B的实数a的取值范围 371 已知f log2x tx t 1 x 1 t R t为常 数 1 求f x 的表达式 2 若f x 为奇函数 解关于x的不等式f 1 x log2 m 1 381 设f x 是区间 0 1 上的函数 且满足 1 对任意x 0 1 恒有f x 0 2 对 任 意 的x1 x 2 0 1 恒 有 f x1 f x2 f 1 x1 f 1 x2 2 求 证 1 对 任 意x 0 1 都 有f x f 1 x 2 对任意x1 x 2 0 1 都有f x1 f x2 391 设f x 是定义域为 0 0 的 奇函数 且在 0 上是增函数 1 若f 1 0 解关于x的不等式 f loga 1 x2 1 0 其中a 1 2 若mnloga 1 a x 2 其中a 1 411 某河流G段地区 汛前水位高120cm 水位 警戒线高300cm 水位超过警戒线 河堤就会发生危 险 预测汛期来临时 水位线提高量ln与汛期天数的 函数关系式为ln 205n2 12n 为防止河堤发生 危险 堤坝上有泄水涵道 每天泄水量可使水位线下 降40cm 如果从洪汛期来临的第一天起 即开始泄 水排洪 试问从第几天起会出现险情 421 已知f x 1 x2 2x 等差数列 a n 中 a 1 f x 1 a2 1 2 a 3 f x 1 求通项an 2 求a2 a5 a8 a26的值 431 已知数列 x n yn 且x1 3 xn 1 2xn 1 xn y n xn 1 xn 1 n N 1 求证数列 y n 是等差数列 82数 学 通 讯 1998年第12期 2 求通项xn和yn 3 求lim n xn 441 已知数列a1 a 2 a 3 a n 是公比q不为 1的等比数列 用数学归纳法证明数列 a n 的前n项 和Sn a1 1 qn 1 q 451 设等比数列前n项的和为80 而其中数值 最大的一项为54 前 2n 项的和为6560 若该数列的 首项和公比均为正数 试求这个数列的首项与公比 461 数列 a n 的前n项和记作Sn 公比与首项都 等于 1 2 的等比数列 b n 前n项和记作Tn 已知Sn Tn a n 1 计算a1 a 2 a 3 2 猜想 a n 的通项公式 并用数学归纳法证 明 3 对 于 给 定 的 自 然 数 k 当n k时 lim n 1 Sn k an k A 且A 10 100 求k的值 471 已知数列 a n 和 b n 满足a1 9 an 1 10an 9 bn 1 lg a2n 1 1 lg a2n 1 1 1 求证 an 的通项公式是an 1 10n 2 设 b n 的前n项和为Tn 求lim n n Tn 1 2 481 已知 a n 是公差d 0的等差数列 其前n 项的和为Sn 1 求证 点P1 1 S1 1 P 2 2 S2 2 P 3 3 S3 3 P n n Sn n 在同一条直线l1上 2 过点Q1 1 a 1 Q 2 2 a 2 作直线l2 设l1与 l2的夹角为 求证 tg 2 4 491 设首项为 a 公差为d的等差数列的前n项 和为An 又首项为 a 公比为r的等比数列的前n项 和为Gn 其中a 0 r 1 又设Sn G1 G2 G3 Gn若有lim n An n Sn a 试求r的值 501 已知等差数列 a n 的第二项为8 前10项 的和为185 1 求数列 a n 的通项 2 若从数列 a n 中 依次取出第2项 第4项 第8项 第2n项 按原来的顺序组成一个新数列 b n 试求数列 b n 的前n和Sn 3 设Tn n 9 a n 试比较Sn与Tn的大小 并说明理由 511 设 1 10 a 1 数列 a n bn 满足a1 b1 1 lga a2 b2 1 lga lg a 且a2 a 3 a 4 an是以q 1 lga为公比的等比数列 b 2 b 3 b 4 bn是以 d lg 2a 为公差的等差数列 记数列 a n bn 的前n项 和分别是An B n 1 求证 当n 3时 B n 1 nlg a n n 1 2 lg 2 a 2 试比较An与Bn的大小 并加以证明 答案与解答 题号12345678910 11 答案CDACDBBBBBB 题号12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 答案AABBACADCCB 231 1 24 x x 3 251x 3 261 2 0 0 2 271 x 1 2 x 0或2 x 1 2 2814 1 291 3 2 301 1 27 311 1 sin cos 321 因为根式必须有意义 3x 4 0 5 2x 0 解之得 x 4 3 x 5 2 原不等式可化为 3x 4 5 2x 两边平 方 得3x 4 5 2x 解之得 x x 0 x 1 x 1 解 得 1 x 1 解 得 x 5 1 2 0 x 5 1 2 综合 0 的解集得原不等式的解集为 x 1 x 5 1 2 x 1 x 0 得x 0 当a 1时 原不等 式即 x 1 x a x2 ax 1 0 a2 4 当a2 4 0即1 a 0 当a2 4 0即a 2时 x 0且x 1 当a2 4 0即a 2时 0 x a a2 4 2 当0 a 1时 原不等式即x2 ax 1 0 此时 a 2 4 0 921998年第12期 数 学 通 讯 当a 2时 x x 0且x 1 当a 2时 x 0 x a a2 4 2 351 原不等式等价于loga x2 x 2 loga ax 2 当a 1时 原不等式化为 x2 x 2 0 ax 2 0 x2 x 2 ax 2 ax 2 0 x2 x 2 ax 2 x 2 a x a 1 x a 1 当0 a 0 ax 2 2 x2 x 2 0 x2 x 2 ax 2 x 2 0 x 1时 原不等式的解集为 x x a 1 当0 a 1时无解 361x a 1 2 2 a 1 2 2 2a x a2 1 x2 3 a 1 x 2 3a 1 0 a 1 3 2 x 3a 1 或 a 1 3 3a 1 x 2 又 A B 当a 1 3时需 2a 2且a2 1 3a 1 1 a 3 当 a log2 m 1 2 1 2x 1 m 1 0 m 1 0 2mx m 2 2x 1 0 m 2 2m x 1 2 故所求不等式的解集为 x m 2 2m x 0 f 1 x 0 f x f 1 x f 1 x f x 2 f x f 1 x f 1 x f x 2 由 及等号成立的条件 得 f x f 1 x f 1 x f x f x f 1 x 2 对任意的x1 x 2 0 1 都有 f x1 f x2 f 1 x1 f 1 x2 2 由 1 上式可化为f x 1 f x2 f x1 f x2 2 即f x 1 f x2 1 f x1 f x2 同样地 还可证得f x2 f x1 f x1 f x2 391 f x 是奇函数 且在 0 上是增函 数 f x 在 0 上也是增函数 f x 是奇函数 f 1 0 f 1 f 1 0 不等式 f loga 1 x 2 1 0 同解于不等式 组 loga 1 x2 1 1 或 loga 1 x2 1 0 loga 1 x2 1 1 解 得 1 1 a x 1 1 a2 或 1 1 a2 x 1 1 a 解 知 无解 原 不 等 式 的 解 集 为 x 1 1 a x 1 1 a2 或 1 1 a2 x 1 1 a 2 mn 0 n 0或m 0 当m 0 n 0时 由m n 0有0 m n f x 在 0 上是增函数 f m f n 又 f x 是奇函数 f m f n f m f n 0 当m 0时 同理可证f m f n 0 401 原不等式同解于不等式组 x 1 0 1 a x 2 0 x 1 2 1 a x 2 03数 学 通 讯 1998年第12期 即 x 1 x 2 1 a x 2 x a 0 a 1 a 1 a 2 则a 2 1 a 1 当1 1 x 2 1 a x 2 2 1 a x 2 当a 2时 x 1 x 2 1 a x a 2 1 a x a 当1 a 2时 原不等式的解集为 x 2 1 a x 2 当a 2时 原不等式的解集为 x 2 1 a x a 411 根据题意 水位超过警戒线即会出现险情 得关系式 120 205n2 12n 40n 300 即5n2 12n 2n 9 去根号 整理得n2 24n 81 0 解得 n 27 答 洪汛来临后 从第28天起会出现险情 421 1 由题意得a1 f x 1 x2 6x 8 a3 f x x 2 4x 3 a2 1 2 又 a1 a 3 2a2 2x 2 10 x 11 1 解之得 x 2或x 3 a1 0 a2 1 2 a 3 1或a1 1 a2 1 2 a 3 0 故an 1 n 2 或an n 3 2 2 当an 1 n 2 时 a 2 a5 a8 a26 9 a2 a26 2 117 2 当an n 3 2 时 a 2 a5 a8 a26 9 a2 a26 2 99 2 431 1 yn 1 yn xn 1 1 xn 1 1 xn 1 xn 1 2xn 1 xn 1 2xn 1 xn 1 xn 1 xn 1 3xn 1 xn 1 xn 1 xn 1 2 n N y n 为等差数列 2 y1 3 1 3 1 1 2 yn 1 2 n 1 2 2n 3 2 yn xn 1 xn 1 2n 3 2 1 2 xn 1 xn 4n 1 5 4n 3 lim n 4n 1 5 4n lim n 4 1 n 5 n 4 1 441 略 451 若公比q 1 依题设条件na 80 2na 6560 矛盾 q 1 此时 由等比数列的求和公式 a 1 1 qn 1 q 80 a 1 1 q2n 1 q 6560 将 代入 得80 1 qn 6560 qn 81 将 代入 a 1 q 1 由a1 0推知q 1 由此可知最大的项是末项 于是根据通项公式a1qn 1 54 即a 1qn q 54 将 代入 81 q 1 q 54 q 3 从而a1 2 因此 所求数列的首项为2 公比为3 461 1 Tn 1 2 1 1 2 n 1 1 2 1 1 2n Sn 1 1 2n an 于是a1 1 4 a 2 2 8 a 3 3 16 2 猜想 a n n 2n 1 n N 数学归纳法证明 略 3 由 1 2 知1 Sn k n k 2 2n k 1 1 Sn k an k n k 2 n k 22k lim n n k 2 n k 22k 22k 4k A 4k 由已知得 10 4k 100 k N得k 2 3 471 1 an 1 10an 9 an 1 1 10 an 1 数列 a n 1 是首项为a1 1 10 公比为10 的等比数列 an 1 a1 1 10n 1 10n an 1 10n 2 由an 1 10n可得lg a2n 1 1 2n 1 lg a2n 1 1 2n 1 bn 1 2n 1 2n 1 1 2 1 2n 1 1 2n 1 Tn b1 b2 bn 1 2 1 1 2n 1 lim n n Tn 1 2 lim n n 4n 2 1 4 481 1 Sk ka1 k k 1 2 d S k k a1 k 1 2 d 131998年第12期 数 学 通 讯 当k 2时 Sk k S1 1 k 1 a 1 k 1 2 d a1 k 1 d 2 常数 即kP1P2为常数 k 2 3 n P 2 P 3 P n 都在过点P1 1 a 1 且斜率为常数 d 2 的直线l1上 2 直线l2的方程为y a1 a2 a1 x 1 2 1 即y a1 d x 1 l2的斜率为 d tg d d 2 1 d d 2 d 2 d2 1 2 d d 2 d d 2 2 d d 2 2 tg 1 22 2 4 491 由 已 知 得An na n n 1 2 d Gn a 1 rn 1 r Sn G1 G2 Gn a 1 r 1 r 1 r 2 1 rn a 1 r n r 1 rn 1 r A n n Sn a nd 2 d 2 a 1 rn ar 1 rn 1 r 2 a d 2 ar 1 rn 1 r 2 d 2 a 1 r n lim n An n Sn a 且 r 1 有 d 2 a 1 r 0 a d 2 ar 1 r 2 a 两式相加消去d得 ar 1 r 2 a 1 r 又a 0 1 r r r 1 2 501 1 设数列 a n 的公差为 d 由题意知 a2 8 a1 d S10 185 10a1 10 9 2 d a1 5 d 3 an 3n 2 2 Sn a2 a4 a8 a2n 3 2 4 8 2n 2n 3 2n 1 2n 6 3 Tn n an 9 3n2 11n 当n 1时 S 1 8 T1 14 S1 T1 当n 2时 S 2 22 T2 34 S2 T2 当n 3时 S 3 48 T3 60 S3 T4 猜想 当n 4时 S n Tn 用数学归纳法证明如下 1 当n 4时 由上可知 S 4 T4 成立 2 假设n k时 k 4 Sk Tk 即 3 2k 1 2k 6 3k2 11k 那么当n k 1时 3 2k 2 2 k 1 6 3 k 1 2 11 k 1 3 2k 2 3k2 15k 18 2 3 2k 1 2k 6 3k2 19k 6 6k2 22k 3k2 19k 6 3k2 3k 6