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whitewatershen 沃森制作违者必究 1 专升本高等数学 试题库 一 选择题 一 函数 1 下列集合中 是空集 4 3 02 1 0 a 7 6 53 2 1 b xyxyyxc2 且 01 xxxd且 2 下列各组函数中是相同的函数有 2 xxgxxfa 2 xxgxxfb xxxgxfc 22 cossin 1 2 3 xxg x x xfd 3 函数 5lg 1 x xf的定义域是 55 a 66 b 44 c 66 55 44 d 4 设函数 2 2 2 2 x x x x x x 2 20 0 则下列等式中 不成立的是 10 ffa 10 ffb 22 ffc 31 ffd 5 下列函数中 是奇函数 x x a xxbsin 2 1 1 x x a a c 2 1010 xx d 6 下列函数中 有界的是 arctgxya tgxyb x yc 1 x yd2 7 若 11 xxxf 则 xf 1 xxa 21 xxb 1 xxc d不存在 8 函数xysin 的周期是 4 a 2 b c 2 d 9 下列函数不是复合函数的有 whitewatershen 沃森制作违者必究 2 x ya 2 1 2 1 xyb xycsinlg x eyd sin1 10 下列函数是初等函数的有 1 1 2 x x ya 2 1 x x yb 0 0 x x xyccos2 2 1 2 1lg 1sin x e yd x 1 1 区间 a 表示不等式 A ax B xa C ax 0B x 0C x 1D x 1 2 2 若函数 f x 的定义域为 0 1 则函数 f l n x 1 的定义域是 A 0 1 B 1 0 C e 1 1 D e 1 e 2 3 函数 f x x 1 是 A 偶函数B 有界函数C 单调函数D 连续函数 2 4 下列函数中为奇函数的是 A y c o s 1 x B 2 1lnxxy C e x D s i n x 2 2 5 若函数 f x 是定义在 内的任意函数 则下列函数中 是偶函数 A f x B f x C f x 2 D f x f x 2 6 函数 2 1 sin x xx y 是 A 偶函数B 奇函数C 非奇非偶函数D 既是奇函数又是偶函数 2 7 下列函数中 是偶函数 1sinxxy A 2 x1 x1 lny B x f x fy C x f x fy D 2 8 下列各对函数中 中的两个函数相等 x x g x x f A 2 x 1xln x g x xxlnx x f B 2 xln2 x g xln x f C 2 1x x g 1x 1x x f D 2 二 极限与连续 1 下列数列发散的是 a 0 9 0 99 0 999 0 9999 b 5 4 4 5 3 2 2 3 c nf n n n n 2 12 2 12 为偶数 为奇数 n n d nf n n n n 1 1 为偶数 为奇数 n n 2 当 x时 arctgx 的极限 a 2 b 2 c d 不存在 但有界 3 1 1 lim 1 x x x a 1 b 1 c 0d 不存在 4 当0 x时 下列变量中是无穷小量的有 a x 1 sinb x xsin c 12 x d xln 5 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有 whitewatershen 沃森制作违者必究 4 a 0lgxxb 1lg xxc 1 3 2 x x xd 0 1 xe x 6 如果 xf xx 0 lim xg xx 0 lim 则必有 a xgxf xx 0 limb 0lim 0 xgxf xx c 0 1 lim 0 xgxf xx d xkf xx 0 lim k 为非零常数 7 1 1sin lim 2 1 x x x a 1b 2c 0d 2 1 8 下列等式中成立的是 a e n n n 2 1limb e n n n 2 1 1lim c e n n n 2 1 1limd e n n n 2 1 1lim 9 当0 x时 xcos1 与xxsin相比较 a 是低阶无穷小量b 是同阶无穷小量 c 是等阶无穷小量d 是高阶无穷小量 10 函数 xf在点 0 x处有定义 是 xf在该点处连续的 a 充要条件b 充分条件c 必要条件d 无关的条件 1 1 若数列 x n 有极限a 则在a的 邻域之外 数列中的点 A 必不存在 B 至多只有有限多个 C 必定有无穷多个 D 可以有有限个 也可以有无限多个 1 2 设 0 0 lim 0 x x ex f xf x axbx 若 存在 则必有 A a 0 b 0 B a 2 b 1 C a 1 b 2 D a 为任意常数 b 1 1 3 数列 0 1 3 2 4 3 5 4 6 A 以 0 为极限 B 以 1 为极限 C 以 2n n 为极限 D 不存在极限 1 4 数列 yn 有界是数列收敛的 A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 无关条件 15 当 x 0 时 是与 sin x 等价的无穷小量 A tan2 x B x C 1 ln 12 2 x D x x 2 whitewatershen 沃森制作违者必究 5 1 6 若函数 f x在某点 0 x极限存在 则 A f x在 0 x的函数值必存在且等于极限值 B f x在 0 x的函数值必存在 但不一定等于极限值 C f x在 0 x的函数值可以不存在 D 如果 0 f x存在则必等于极限值 1 7 如果 0 lim xx f x 与 0 lim xx f x 存在 则 A 0 lim xx f x 存在且 0 0 lim xx f xf x B 0 lim xx f x 存在但不一定有 0 0 lim xx f xf x C 0 lim xx f x 不一定存在 D 0 lim xx f x 一定不存在 1 8 无穷小量是 A 比 0 稍大一点的一个数 B 一个很小很小的数 C 以 0 为极限的一个变量 D 0 数 1 9 无穷大量与有界量的关系是 A 无穷大量可能是有界量 B 无穷大量一定不是有界量 C 有界量可能是无穷大量 D 不是有界量就一定是无穷大量 2 0 指出下列函数中当0 x 时 为无穷大量 A 21 x B sin 1 sec x x C x e D 1 x e 2 1 当 x 0 时 下列变量中 是无穷小量 x xsin A x e1 B xx x C 2 x x1ln D 2 2 下列变量中 是无穷小量 0 xe A x 1 0 x x 1 sin B 3 x 9x 3x C 2 1x xln D 2 3 x x x 2 sin lim A 1B 0C 1 2D 2 2 4 下列极限计算正确的是 e x 1 1lim A x 0 x 1 x 1 sinxlim B x 1 x 1 sinxlim C 0 x 1 x xsin lim D x 2 5 下列极限计算正确的是 1 x xsin lim A x e x 1 1lim B x 0 x 5 12 6xx 8x lim C 2 3 2x 1 x x lim D 0 x whitewatershen 沃森制作违者必究 6 A f x 在 x 0 处连续B f x 在 x 0 处不连续 但有极限 C f x 在 x 0 处无极限D f x 在 x 0 处连续 但无极限 2 7 若 0 lim 0 xx f x 则 A 当 g x为任意函数时 才有 0 lim 0 xx f x g x 成立 B 仅当 0 lim 0 xx g x 时 才有 0 lim 0 xx f x g x 成立 C 当 g x为有界时 有 0 lim 0 xx f x g x 成立 D 仅当 g x为常数时 才能使 0 lim 0 xx f x g x 成立 2 8 设 0 lim xx f x 及 0 lim xx g x 都不存在 则 A 0 lim xx f xg x 及 0 lim xx f xg x 一定都不存在 B 0 lim xx f xg x 及 0 lim xx f xg x 一定都存在 C 0 lim xx f xg x 及 0 lim xx f xg x 中恰有一个存在 而另一个不存在 D 0 lim xx f xg x 及 0 lim xx f xg x 有可能都存在 2 9 222 12 lim n n nnn L A 222 12 limlimlim0000 nnn n nnn LL B 2 12 lim n n n L C 2 1 1 2 lim 2 n n n n D 极限不存在 3 0 2 0 1 sin lim sin x x x x 的值为 A 1 B C 不存在 D 0 3 1 1 lim sin x x x A B 不存在 C 1 D 0 3 2 2 2 1 sin 1 lim 1 2 x x xx 0 x1x2 0 x1x x f 26 2 则下列结论正确的是设 whitewatershen 沃森制作违者必究 7 A 13 B 13 C 0 D 23 3 3 2 1 lim 1 x x x A 2 e B C 0 D 1 2 3 4 无穷多个无穷小量之和 A 必是无穷小量 B 必是无穷大量 C 必是有界量 D 是无穷小 或是无穷大 或有可能是有界量 3 5 两个无穷小量 与 之积 仍是无穷小量 且与 或 相比 A 是高阶无穷小 B 是同阶无穷小 C 可能是高阶无穷小 也可能是同阶无穷小 D 与阶数较高的那个同阶 3 6 设 1 sin0 3 0 x x f xx ax 要使 f x在 处连续 则a A 0 B 1 C 1 3 D 3 3 7 点1x 是函数 311 11 31 xx f xx xx 的 A 连续点 B 第一类非可去间断点 C 可去间断点 D 第二类间断点 3 8 方程 4 10 xx 至少有一个根的区间是 A 0 1 2 B 1 2 1 C 2 3 D 1 2 3 9 设 1 1 0 00 x x f x x x 则0 x 是函数 f x的 A 可去间断点 B 无穷间断点 C 连续点 D 跳跃间断点 4 0 11 0 0 xx x f x x kx 如果 f x在0 x 处连续 那么k A 0 B 2 C 1 2 D 1 41 下列极限计算正确的是 A e 1 1 lim 0 x x x B e 1 lim 1 x x x C 1 1 sinlim x x x D 1 sin lim x x x whitewatershen 沃森制作违者必究 8 42 若 2 3 211 lim 169 x f xx x 则 f x A x 1 B x 5 C 13x D 6x 43 方程 x4 x 1 0 至少有一个实根的区间是 A 0 1 2 B 1 2 1 C 2 3 D 1 2 44 函数 2 10 25 ln x f xx x 的连续区间是 A 0 5 B 0 1 C 1 5 D 0 1 1 5 三 导数与微分 1 设函数 xf可导且下列极限均存在 则不成立的是 a 0 0 lim 0 f x fxf x b 0 00 0 limxf x xxfxf x c af h afhaf h 2 lim 0 d 0 00 0 2 limxf x xxfxxf x 2 设 f x 可导且下列极限均存在 则 成立 A 2 1 2 lim 0 00 0 xf x xfxxf x B 0 0 lim 0 f x fxf x C lim 0 00 0 xf x xfxxf x D 2 lim 0 af h afhaf h 3 已知函数 0 01 xe xx xf x 则 f x 在 x 0 处 导数 0 1 f 间断 导数 0 f 1 连续但不可导 4 设 321 xxxxxf 则 0 f a 3b 3 c 6d 6 5 设 xxxfln 且 2 0 x f 则 0 xf a e 2 b 2 e c ed 1 6 设函数 1 ln x x xf 1 1 x x 则 xf在点 x 1 处 whitewatershen 沃森制作违者必究 9 a 连续但不可导b 连续且 11 fc 连续且 01 fd 不连续 7 设函数 x xe xf x 0 0 x x 在点 x 0 处 不成立 a 可导b 连续c 可微d 连续 不可异 8 函数 xf在点 0 x处连续是在该点处可导的 a 必要但不充分条件b 充分但不必要条件 c 充要条件d 无关条件 9 下列结论正确的是 a 初等函数的导数一定是初等函数b 初等函数的导数未必是初等函数 c 初等函数在其有定义的区间内是可导的d 初等函数在其有定义的区间内是可微的 10 下列函数中 的导数不等于x2sin 2 1 a x 2 sin 2 1 b x2cos 4 1 c x 2 cos 2 1 d x2cos 4 1 1 11 已知xycos 则 8 y a xsinb xcosc xsin d xcos 12 设 1ln 2 xxy 则 y 1 1 2 xx 1 1 2 x 1 2 2 xx x 1 2 x x 13 已知 xf ey 则 y a xfe xf b xf e c xfxfe xf d xfxfe xf 2 14 已知 4 4 1 xy 则 y A 3 xB 2 3xC x6D 6 15 设 xfy 是可微函数 则 2 cosdxf A xxfd 2 cos2 B xxxfd22sin 2 cos C xxxfd2sin 2 cos2 D xxxfd22sin 2 cos 16 若函数 f x 在点 x0处可导 则 是错误的 whitewatershen 沃森制作违者必究 10 A 函数 f x 在点 x0处有定义B Axf xx lim 0 但 0 xfA C 函数 f x 在点 x0处连续D 函数 f x 在点 x0处可微 17 下列等式中 是正确的 x2ddx x2 1 A x 1 ddx Blnx 2 x 1 ddx x 1 C cosxdsinxdx D 18 设 y F x 是可微函数 则 dF cosx A F cosx dxB F cosx sinxdxC F cosx sinxdxD sinxdx 19 下列等式成立的是 xddx x 1 A 2 x 1 ddx x 1 B xcosdxdxsin C 1a0a ad aln 1 xda D xx 且 20 d sin2x A cos2xdxB cos2xdxC 2cos2xdxD 2cos2xdx 21 f x ln x df x dx x A 1 x 1 B x 1 Cdx x 1 D 22 若 x xf2 则 x fxf x 00 lim 0 A 0B 1C ln2D 1 ln2 23 曲线 y e2x在 x 2 处切线的斜率是 A e4B e2C 2e2D 2 24 曲线11 xxy在处的切线方程是 2 3 2 x y A 2 3 2 x y B 2 3 2 x y C 2 3 2 x y D 25 曲线 2 2yxx 上切线平行于 x 轴的点是 A 0 0 B 1 1 C 1 1 D 1 1 四 中值定理与导数的应用 1 下列函数在给定区间上不满足拉格朗日定理的有 a xy 2 1 b 154 23 xxxy 1 0 c 2 1lnxy 3 0d 2 1 2 x x y 1 1 2 函数2 3 xxy在其定义域内 a 单调减少b 单调增加c 图形下凹d 图形上凹 3 下列函数在指定区间 上单调增加的是 A sinxB e x C x 2 D 3 x whitewatershen 沃森制作违者必究 11 4 下列结论中正确的有 a 如果点 0 x是函数 xf的极值点 则有 0 x f 0 b 如果 0 x f 0 则点 0 x必是函数 xf的极值点 c 如果点 0 x是函数 xf的极值点 且 0 x f 存在 则必有 0 x f 0 d 函数 xf在区间 ba 内的极大值一定大于极小值 5 函数 xf在点 0 x处连续但不可导 则该点一定 a 是极值点b 不是极值点c 不是拐点d 不是驻点 6 如果函数 xf在区间 ba 内恒有 0 x f 0 x f 则函数的曲线为 a 上凹上升b 上凹下降c 下凹上升d 下凹下降 7 如果函数 2 2xxy 的极大值点是 2 1 x 则函数 2 2xxy 的极大值是 a 2 1 b 4 9 c 16 81 d 2 3 8 当 0 0 xfxx时 当 0 0 xfxx时 则下列结论正确的是 a 点 0 x是函数 xf的极小值点 b 点 0 x是函数 xf的极大值点 c 点 0 x 0 xf 必是曲线 xfy 的拐点 d 点 0 x不一定是曲线 xfy 的拐点 9 当 0 0 xfxx时 当 0 0 xfxx时 则点 0 x一定是函数 xf的 a 极大值点b 极小值点c 驻点d 以上都不对 10 函数 f x 2x2 lnx 的单调增加区间是 A 2 1 0 2 1 和 2 1 0 2 1 B和 2 1 0 C D 2 1 11 函数 f x x3 x 在 单调减少 A 单调增加 B 单调增加单调减少 C11 单调增加单调减少 C00 12 函数 f x x2 1 在 0 2 上 A 单调增加B 单调减少C 不增不减D 有增有减 13 若函数 f x 在点 x0处取得极值 则 0 x f A 0 不存在 x f B 0 处连续在点 0 x x f C不存在或 x f0 x f D 00 whitewatershen 沃森制作违者必究 12 14 函数 y x 1 2 的最小值点是 A 0B 1C 1D 2 15 函数 f x e x x 1 的驻点为 A x 0B x 2C x 0 y 0D x 1 e 2 16 若 0 x f则 0 x是 xf的 A 极大值点B 最大值点C 极小值点D 驻点 17 若函数 f x 在点 x0处可导 则 h xfhxf h 2 2 lim 00 0 x f A 0 x f2 B 0 x f C 0 x f2 D 0 18 若 1 x x f 则 x f x 1 A x 1 B 2 x 1 C 2 x 1 D 19 函数x x y 3 3 单调增加区间是 A 1 B 1 1 C 1 D 1 和 1 2 0 函数 x y 1 单调下降区间是 A B 0 C 0 D 0 和 0 21 14 2 xxy在区间 1 2 上是 A 单调增加的 B 单调减少的 C 先增后减 D 先减后增 22 曲线 y 1 2 2 x x 的垂直渐近线是 A y 1 B y 0 C x 1 D x 0 23 设五次方程 5432 012345 0a xa xa xa xa xa 有五个不同的实根 则方程 432 01234 54320a xa xa xa xa 最多有 实根 A 5 个B 4 个C 3 个D 2 个 24 设 f x 的导数在x 2 连续 又 2 lim1 2 x fx x 则 A x 2 是 f x 的极小值点B x 2 是 f x 的极大值点 C 2 2 f 是曲线 yf x 的拐点 D x 2 不是 f x 的极值点 2 2 f 也不是曲线 yf x 的拐点 25 点 0 1 是曲线 32 yaxbxc 的拐点 则 A a 0 b 0 c 1B a 为任意实数 b 0 c 1 C a 0 b 1 c 0 D a 1 b 2 c 1 whitewatershen 沃森制作违者必究 13 26 设 p 为大于 1 的实数 则函数 1 pp f xxx 在区间 0 1 上的最大值是 A 1B 2C 1 1 2p D 1 2p 27 下列需求函数中 需求弹性为常数的有 a aPQ b baPQ c 1 2 P a Qd bP aeQ 28 设总成本函数为 QC 总收益函数为 QR 边际成本函数为MC 边际收益函数为 MR 假设当产量为 0 Q时 可以取得最大利润 则在 0 QQ 处 必有 a MCMR b MCMR c MCMR d 以上都不对 29 设某商品的需求函数为 2 e10 p pq 则当p 6时 需求弹性为 A 5 3 eB 3C 3D 1 2 30 已知需求函数 q p 2e 0 4p 当 p 10 时 需求弹性为 A 2e 4B 4C 4D 2e4 五 不定积分 1 d e x x A cx x eB cx xx eeC cx x eD cx xx ee 2 下列等式成立的是 A x xx 1 ddln B 2 1 dd 1 x x x C xxxsinddcos D x x x 1 dd 1 2 3 若 xf是 xg的原函数 则 A Cxgdxxf B Cxfdxxg C Cxgdxxg D Cxgdxxf 4 如果 xdgxdf 则一定有 A xgxf B xgxf C xdgxdf D xgdxfd 5 若 cexdxxf x22 则 xf A x xe22 B x ex 22 2 whitewatershen 沃森制作违者必究 14 C x xe2 D 1 2 2 xxe x 6 若 CxFdxxf 则 dxefe xx A ceF x B ceF x C ceF x D ceF x 7 设 x e 是 xf的一个原函数 则 dxxxf A cxe x 1 B cxe x 1 C cxe x 1 D cxe x 1 8 设 x exf 则 dx x xf ln A c x 1 B cx ln C c x 1 D cx ln 9 若 cxdxxf 2 则 dxxxf 1 2 A cx 22 1 2 B cx 22 1 2 C cx 22 1 2 1 D cx 22 1 2 1 1 0 xdx2sin A cx 2cos 2 1 B cx 2 sin C cx 2 cos D cx 2cos 2 1 1 1 x dx cos1 A cxtgx sec B cxctgx csc C c x tg 2 D 42 x tg 1 2 已知xef x 1 则 xf A Cx ln1 B Cxx 2 2 1 C Cxx 2 ln 2 1 ln D Cxx ln whitewatershen 沃森制作违者必究 15 1 3 函数xxfsin 的一个原函数是 A xcos B xcos C 02cos 0cos xx xx xF D kb 0 kc 0 kd 0 k 6 下列无穷限积分收敛的是 A x x x e d ln B x x x e d ln C x xx e d ln 1 2 D x xx e d ln 1 7 定积分定义 n i ii b a xfdxxf 1 0 lim 说明 A ba必须n等分 i 是 1ii xx 端点 B ba可任意分法 i 必须是 1ii xx 端点 C ba可任意分法 0 max i x i 可在 1ii xx 内任取 D ba必须等分 0 max i x i 可在 1ii xx 内任取 8 积分中值定理 abfdxxf b a 其中 whitewatershen 沃森制作违者必究 17 A 是 ba内任一点 B 是 ba内必定存在的某一点 C 是 ba内惟一的某点 D 是 ba内中点 9 xf在 ba上连续是 b a dxxf 存在的 A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 1 0 若设 x dtxt dx d xf 0 sin 则必有 A xxfsin B xxfcos1 C xxfsin D xxfsin1 1 1 函数 x dt tt t xF 0 2 1 3 在区间 1 0 上的最小值为 A 2 1 B 3 1 C 4 1 D 0 1 2 设 u f 连续 已知 2 0 1 0 2 dttf tdxxf xn 则n应是 A 2 B 1 C 4 D 4 1 1 3 设 x dttfxF 0 则 xF A x dttfttf 0 B xxf C xxx dttfdttf 00 D xx dttfttdxf 00 14 由连续函数 y1 f x y2 g x 与直线 x a x b a 2 设00 f x yxy在 点的偏导数存在 则00 x fxy 0000 0 lim x f xx yyf xy x 0000 0 lim x f xx yf xy x 0 00 0 lim xx f x yf xy xx 0 000 0 lim xx f x yf xy xx 3 设 0000 0 xy fxyfxy 则 00 xy 为极值点 00 xy 为驻点 f x y 在00 xy 有定义 00 xy 为连续点 4 在空间中 下列方程 为球面 为抛物面 为柱面 2 425xyz 222 1 444 yxz 2 yx 22 1xy 2 zy 222 22xyyxz 5 设 f x y 在00 xy 处偏导数存在 则 f x y 在该点 极限存在 连续 可微 以上结论均不成立 6 设 由x轴 lnyxxe 围成 则 d d D f x yx y ln 10 d d ex xf x yy ln 00 d d ex xf x yy 1 00 d d y e yf x yx 1 0 d d y e e yf x yx 7 当 a 时 有 22 222 1 d d xy axyx y 1 3 3 2 3 3 4 3 1 2 二 填空 whitewatershen 沃森制作违者必究 19 一 函数 1 设 2 10 2 01 1 13 x x f xx xx 8 如果0 x 时 要无穷小量 1 cos x 与 2 sin 2 x a等价 a应等于 9 设 2 0 0 axbx f x ab xxx k时 这积 分 当这积分收敛时 其值为 6 设 xf连续 且 1 0 2 dttfxxf则具体的 f x 7 设 xf连续 且 3 0 x xdttf 则 8 f 8 1 01 limdx x xn n 9 2 0 3 0 sin lim x x t dt x 10 1 2 35 1 1 sinxxdx 11 3 2 11 cosdx xx 1 2 设 2 0 2 4 1ff x dx 则 2 0 xfx dx 二 求极限 一 利用极限的四则运算法则求下列函数的极限 1 432lim 2 1 xx x 2 563 12 lim 2 2 2 xx x x 3 3 4 lim 2 3 x x x 4 1 23 lim 2 2 1 x xx x 5 3 9 lim 9 x x x 6 3 21 lim 3 x x x 7 xx xxx x 2 424 lim 2 23 0 8 2 2 0 11 lim x x x 9 2 321 lim 4 x x x 10 43 32 lim 2 2 x xx x 11 xx xx x 7 153 lim 2 3 12 x x x 1 21 lim 33 13 33 6 lim 2 xx x x 14 2 1 321 lim n n n 15 30 2010 32 13 2 lim x xx x whitewatershen 沃森制作违者必究 24 16 30 2010 31 32 2 lim x xx x 17 nn n 1lim 18 1 1 1 2 lim 2 1 xx x 19 11lim 22 nn n 20 n n n 1 1 lim 21 1 1 32 1 21 1 lim nn n 22 12 1 lim 2 2 1 xx x x 23 2 1 10 lim x x x 24 52 23 lim 2 2 nn nn n 25 xx x x 2 3 12 lim 26 4 312 lim 4 x x x 27 2 1 lim t t e t 2 8 4 sin2 lim 2cos x x x 2 9 22 lim x xxxx 3 0 xx x 1 1 1 3 lim 3 1 二 利用第一重要极限公式求下列极限 1 x xtgx x sin lim 0 2 x x x 5sin 3sin lim 0 3 xx xx x sin sin2 lim 0 4 2 0 cos1 lim x x x 5 x x x arcsin lim 0 6 1 1sin lim 2 1 x x x 7 x tgx x0 lim 8 x kx x sin lim 0 9 xx x x sin cos1 lim 0 10 sinsin lim xa xa xa 1 1 xx x x sin 11 lim 2 0 12 1 1sin lim 2 1 x x x 13 1 1sin lim 1 x x x 14 xx x x sin 11 lim 2 0 15 xxctg x 2lim 0 16 xtg x x 3 2sin lim 0 17 2 2 2 sinlim x x x 18 x x x sin lim 19 n n n x 2 sin2lim 三 利用第二重要极限公式求下列极限 whitewatershen 沃森制作违者必究 25 1 x x x 3 1 1lim 2 x x x 2 1lim 3 x x x 2 1lim 4 x x x 1 2 0 1lim 5 1 2 0 2 2 lim x x x 6 x x x x 1 lim 7 x x x 1 0 31lim 8 x x x 2 1 1lim 9 1 3 1lim x x x 10 x x x 1 0 21lim 11 0 lim ln 1 x x x 1 2 1 23 lim 21 x x x x 1 3 2cot 0 lim 13tan x x x 1 4 2 1 0 lim cos x x x 1 5 x x x x 1 3 lim 16 x x x 2 0 3 3 lim 17 ln 2 ln limnnn n 18 x x x x 1 1 lim 19 x x x x 12 12 lim 20 x x x31lim 0 21 x x x sec3 2 cos1 lim 22 x x x 1 0 sin21 lim 23 x x x x 1 0 41 lim 四 利用罗必达法则求极限 1 3 27 lim 3 3 x x x 2 x x x 1ln lim 0 3 3 0 sin lim x xx x 4 x ee xx x 0 lim 5 x x e x2 lim 6 2 ln lim x x x 7 52 12 lim 2 2 x xx x 8 tgx xtg x 3 lim 2 9 xx x ln 1 1 1 lim 1 10 1lim 1 x x ex 11 1 54 lim 1 x xx x 1 2 0 1 lim x x e x 1 3 1 lim 39 xxx x 1 4 23 2 lim 2 2 2 xx xx x 15 x ee xx x cos1 2 lim 22 0 16 x x x 5sin lim 0 17 ctgx x x 2 ln lim 0 18 x x x 1 0 sin1 lim whitewatershen 沃森制作违者必究 26 19 x x xsin 0 lim 20 1 11 lim 0 x x ex 21 nn mm ax ax ax lim 22 3 0 tan sin lim x xx x 23 1 11 lim 0 x x ex 24 1ln lim 0 x ba xx x 25 1 lim 2 xxx x 26 1 132 lim 23 23 1 xxx xx x 三 求导数或微分 一 利用导数的基本运算公式和运算法则求导数 1 1 4 xxy 2 23 22 1 xxx x y 3 1 1 x x y 4 xxxxycossinln 5 523 2 xxy 6 1 1 2 x xy 7 333 3 xxy 8 21 xxy 9 xxyln 2 10 1 1 2 2 x x y 11 x x y cos1 sin 12 x x y sin1 cos 13 xxxysincos 14 ctgxxtgxy 15 为常数aaaxy axa 16 xy x ln2 17 xxysin2 3 18 4tan3 xy 19 32 23 xxy 20 xx x y ln 1ln 21 xx e y x 2 2 22 t t y cos1 sin1 二 求复合函数的导数 1 2 sin xy 2 xycosln 3 2 1xy 4 2 lntgxy 5 22 lnxay 6 x y 1 arcsin whitewatershen 沃森制作违者必究 27 7 2 1lnxy 8 xylnsin 9 53cos xy 10 x tgy 1 11 12 x ey 12 10 52 xy 13 2 arctgxy 14 3 arcsin x y 15 22 sin xxy 16 xey x cos 17 xxy 22 sinsin 18 xtgy3ln 19 3 2ln xy 20 2 4xy 21 12 1 lncos x xy 22 x y 1 2 23 xxy3sincos3 24 xxy x 1 sin 2 25 2 23xy 26 3 2x ey 27 xyarcsin 28 ln 22 xaxy 29 2 cosln x ey 30 x y 1 arctan 31 xey x 2cos 2 32 nxxy n cossin 33 xxy 22 ln2 三 求由方程 F x y 0 所确定的隐函数 y f x 的导数 1 12 22 xy 2 yxyln 3 y xey 1 4 xxy cos 5 0 ayx 6 1 22 xyyx 7 yxyln 8 yarctgyx 9 0eln 23 y xyx 10 6183 2 xyxy 11 sin xyln y x1 1 12 yx exy whitewatershen 沃森制作违者必究 28 13 arctan 2 xyxyx 14 0 33 ayx a为常数 四 利用取对数求导法求下列函数的导数 1 43 21 xx xx y 2 32 321 xxxy 3 x xy 1 4 x x x x y 3 3 1 2 5 x x xy 1 1 五 求下列函数的二阶导数 1 142 234 xxxy 2 xxyln 2 3 x ey 4 x y 1 sin 5 1ln 2 xy 6 xey x cos 7 xey x sin 8 xx eeysincos 9 2 x xexf 10 2 1xxy 11 xyarctan 12 21 sin2xy 13 1ln 2 xxy 14 2 1 arctanyxx 六 求下列函数的微分 1 5 6xy 2 1 2 xy 3 2 lnxy 4 2 1 sin x x y 5 xyarccos 6 xey x cos 7 xtgy 2 8 x arctgey 9 2 arctgxy 10 32 21 xxy 11 1 1 1 x xy 12 xxy x sine whitewatershen 沃森制作违者必究 29 13 xf x x x x 1 1 lncos2 14 1e cos y yx 15 13sin x ey 16 x ey 2cos 17 xyx cos 2 18 y xsin 2 19 x exy 22 20 xey x2 sin 21 2 1lnxy 22 y xey 1 23 yxyarccos 2 四 求不定积分 一 利用基本积分公式和积分的运算法则求不定积分 1 dxxx x24 sec2 2 dx x x 2 1 3 sin 3 dxxxx 23 2 4 dx xx 22 1 1 5 dx x x 2 4 1 6 dx x x 2 3 1 7 xdxtg 2 8 dx x x 2 sin 2cos 9 dx x 2 cos2 10 dx xx 22 cossin 1 11 dxtgxxx secsec 12 dxctgxxx csccsc 13 dxe xx 2 14 dx x x 2 4 15 dt e e t t 1 1 2 16 dxxxxx 17 dx x x 2 2 1 5 1 3 18 dx xxx 32 321 19 dx xx x 22 2 1 13 20 dx x e e x xx 2 1 2 21 dxxx x 1 1 2 2 2 dxxx 1023 51 whitewatershen 沃森制作违者必究 30 2 3 dx x xx 3 44 2 2 4 dx x xxx 3 32 25 dx x xx 2 3 1 3 26 dx xx x 4 4 27 dx x xx 1 133 2 24 28 dx x e e x xx 1 2 2 29 dx x 2 sin2 30 dxx x 10 10 二 利用第一类换元积分法求不定积分 1 dxx52sin 2 dxe x 3 3 dxx2 3 3 4 dt t 2 52 1 5 dxxx2 2 6 dxx73 7 dx x x 2 1 2 8 dx ee xx 1 9 dx x x 2 3 2 2 3 10 dx x x 4 4 2 11 dx x241 1 12 dx x a x 2 1 13 dx xxln 1 14 dx x x 3 ln 15 dx x x 2 2 1 arcsin 16 dx x arctgx 2 1 17 ctgxdx 18 xdxcsc 19 xdxxcossin 3 20 dx x x 3 sin cos 21 xdx5sec 22 dx xarctgx 2 2 1 1 23 xdxa x sin cos 24 dx x x 2 cos21 sin whitewatershen 沃森制作违者必究 31 25 xdxx3cos3sin 2 26 dx x xx sec sinsin 2 27 dxxxx212 2 28 dx xx x 32 22 2 29 dxxx 2 54 25 30 dx xx 22 1 2 31 xx x x d 2sin ln1 32 dx x xx 2 3 cos1 cossin 3 3 dx xx x 65 2 3 4 dx xxx x 65 1 23 3 3 5 dx x xx 2 2 3 1 arctan 36 dx x 3 32 1 37 dx x x 3 2 4 38 dx x x ln32 39 dx e e x x 2 1 40 dxxx sincos5 41 dxx 52tan 42 dx x ax 2 1 43 dx x x 2 2 1 arctan 三 利用第二类换元积分法求不定积分 1 dx x 3 1 1 2 dx x 3 21 1 3 dx xx 3 1 4 dx xx x 2 1 5 dx x x 1 6 dx x x x 11 7 dx x x 3 8 dx x x 11 11 whitewatershen 沃森制作违者必究 32 9 dx x21 1 10 dx x 21 1 11 2 3 22 ax dx 1 2 dx x xx 1 11 4 22 1 3 2 11 x dx x 14 dx x1 1 15 dx x x 11 1 16 dxx 2 4 17 2 1x dx 四 利用分部积分法求不定积分 1 dxxx cos 2 dxx ln 3 dxarctgxx 2 4 dxxx ln 2 5 dxx arcsin 6 dxex x 7 dxex x 2 8 dxx 1ln 9 dxxx lnln 1 10 dxex x 1 2 11 dxxx 1ln 2 1 2 dxx sin 1 3 dxxe x2 1 4 xdxxln 15 dxxx sin 16 dxxx cos 2 17 xdxarctan 18 dxxex sin 难题 1 dx xx xx 44 22 cossin cossin 2 2 lnlnxxx dx 3 xdxe x22 sin 4 122 2xx ee dx 5 xdxx nn ln 6 x dx sin1 whitewatershen 沃森制作违者必究 33 7 dx e e x x arctan 8 dx x xcos 9 dx x 2 9 1 10 dx x x 2 9 2 11 2 32 1x dx 12 dx x x 3 2 1 13 dx x x 2 1 arcsin 14 dx x x 2 2 tan2 sec 15 dxex x32 16 xdx 2 ln 17 dxe x 3 18 dxx x arcsin 1 19 65 2 xx dx 20 dx x x 4 2 1 五 求定积分 一 求下列定积分 1 2 1 2 132dxxx 2 1 0 dxxx 3 2 ln e e xx dx 4 3 0 3dx e x 5 3 3 1 2 1x dx 6 2 0 sindxx 7 2 2 2 1 2 1 1 dx x 8 2 1 2 3 dxx 9 2 1 2 1 dx x x 10 32 2 2 4x dx 11 xxxd2cos 2 0 12 x x xdln51 e 1 13 3 2 2 32dxxx 1 4 dxx 4 4 2 1sec whitewatershen 沃森制作违者必究 34 1 5 1 0 2 21dxxx 16 dx e e x x 1 0 2 1 二 求下列定积分 1 1 1 45x dx 2 dt t 4 0 1 1 3 3 0 tgxdx 4 e dx x x 1 ln2 5 5 1 1 du u u 6 1 0 22 1dxxx 7 2 0 3 cossin xdxx 8 2 22 1x dx 9 1 0 xx ee dx 10 2 1 2 1 sin 1 dx xx 11 2 22 1xx dx 1 2 d 0 3 sinsin 13 dxx 0 sin1 1 4 3 01 1 x dx x 三 求下列定积分 1 2 1 0 arcsin xdx 2 1 0 2 dxex x 3 e dxx 1 2 ln 4 2 0 sin xdxe x 5 4 0 2 cos dx x x 6 3 0 2arctgxdxx 7 1 0 dxe x 8 1 0 2 1lndxx 9 e xdxx 1 ln 10 2 1 0 arccosxdx 11 2 0 1ln dxxx 12 0 2 dxex x 13 1 0 2dx ex x 14 1 0 1lndxx whitewatershen 沃森制作违者必究 35 15 1 0 2 dxex x 16 e xdxx 1 ln 四 求广义积分 1 0 dxe x 2 e dx xxln 1 3 0 2 dxxe x 4 0 2 2 1 2 dx x x 5 1 02 1x dx 6 1 1 2 1 dx x 7 0 2 1 1 dx x 8 e dx x xln 9 0 1x dx 10 2 1 2 1x dx 六 定积分的应用 一 利用定积分求曲线所围成区域的面积 1 求曲线