管理类联考综合能力数学重点知识点归纳及技巧汇总2.pdf

Page 1 of 66众凯教育省时 高效 得高分1 全国管理类综合能力串讲班讲义全国管理类综合能力串讲班讲义 一 一 数学部分重要考点总结及技巧归纳 一 数学部分重要考点总结及技巧归纳 一 1应用题考点总结与技巧归纳应用题考点总结与技巧归纳 一 一 特殊值法 特殊值法 技巧点拨 当某些量题目谈及但并不需要求出时 参照量 我们可以使用特殊值 1 一般百分比题 目中都设初始值为 100 例例 1 1 某商品单价上调 20 后 再降为原价的 90 则降价率为 A 30 B 28 C 25 D 22 E 20 例例 1 2 一件商品如果以八折出售 可以获得相当于进价 20 的毛利 那么如果以原价出售 可以获得相 当于进价百分之几的毛利 A 20 B 30 C 40 D 50 E 60 例例 1 3 某电子产品一月份按原定价的 80 出售 能获利 20 二月份由于进价降低 按同样原定价的 75 出售 能获得 25 那么 2 月份进价是一月份进价的百分之 2006 年 1 月 A 92B 90C 85D 80E 75 例例 1 4 小明上学的速度是 2 米 秒 回家的速度是 3 米 秒 求来回平均速度 二 二 统一比例法 统一比例法 技巧点拨 当遇到多个量之间的比例时 常常用统一比例的方法 从而可以避免用多个未知数方程 例例 2 1 甲 乙两仓库储存的粮食重量之比为 4 3 现从甲库中调出 10 万吨粮食 则甲 乙两仓库存粮吨 数之比为 7 6 甲仓库原有粮食的万吨数为 A 70B 78C 80D 85E 以上结论均不正确 例例 2 2 仓库中有甲 乙两种产品若干件 其中甲占总库存量的 45 若再存入 160 件乙产品后 甲产品占 Page 2 of 66众凯教育省时 高效 得高分2 新库存量的 25 那么甲产品原有件数为 A 80B 90C 100D 110E 以上结论均不正确 例例 2 3 某国参加北京奥运会的男女运动员比例原为 19 12 由于先增加若干名女运动员 使男女运动员 比例变为 20 13 后又增加了若干名男运动员 于是男女运动员比例最终变为 30 19 如果后增加的男 运动员比先增加的女运动员多 3 人 则最后运动员的人数为 A 686 B 637 C 700 D 661 E 600 例例 2 4 袋中红球与白球数量之比为 19 13 放入若干个红球后 红球与白球数量之比变为 5 3 再放入 若干个白球后 红球与白球数量之比变为 13 11 已知放入的红球比白球少 80 个 问原来共有多少球 A 860B 900C 950D 960E 1000 例例 2 5 甲 乙两车分别从 A B 两地出发 相向而行 出发时 甲 乙的速度比是 5 4 相遇后 甲的速 度减少 20 乙的速度增加 20 这样 当甲到达 B 地时 乙离 A 地还有 10 千米 那么 A B 两地相距 千米 A 350B 400C 450D 500E 550 三 三 交叉法 交叉法 技巧点拨 当遇到两个因素的变化率问题时 常常用交叉法进行求解 例例 3 1 某乡中学现有学生 500 人 计划一年后 女生在校生增加 4 男生在校生人数增加 3 这样 在校生将增加 3 6 则该校现有女生和男生各多少人 A 200 300 B 300 200 C 320 180 D 180 320 E 250 250 例例 3 2 某高校 2007 年度毕业学生 7650 名 比上年度增长 2 其中本科毕业生比上年度减少 2 而研究 生毕业数量比上年度增加 10 那么这所高校 2006 年毕业的本科生有 A 2450 B 2500 C 4900 D 5000 E 5100 Page 3 of 66众凯教育省时 高效 得高分3 例例 3 3 王女生以一笔资金分别投入股市和基金 但因故要抽回一部分资金 若从股市中抽回 10 从基金 中抽回 5 则总投资额减少 8 若从股市和基金中各抽回 15 和 10 则其总投资额减少 130 万元 其总 投资额为 2007 年 10 月 A 1000 万元B 1500 万元C 2000 万元D 2500 万元E 3000 万元 例例 3 4 某班有学生 36 人 期末各科平均成绩为 85 分以上的为优秀生 若该班优秀生的平均成绩为 90 分 非优秀生的平均成绩为 72 分 全班平均成绩为 80 分 则该班优秀生人数是 2008 年 10 月 A 12B 14C 16D 18E 20 例例 3 5 已知某车间的男工人数比女工人数多 80 若在该车间一次技术考核中全体工人的平均成绩为 75 分 而女工平均成绩比男工平均成绩高 20 则女工的平均成绩为 分 2009 年 10 月 A 88B 86C 84D 82E 80 例例 3 6 若用浓度 30 和 20 的甲 乙两种食盐溶液配成浓度为 24 的食盐溶液 500 克 则甲 乙两种溶 液应各取 A 180 克和 320 克B 185 克和 315 克C 190 克和 310 克 D 195 克和 305 克E 200 克和 300 克 例例 3 7 09 1 在某实验中 三个试管各盛水若干克 现将浓度为 12 的盐水 10 克倒入 A 管中 混合后 取 10 克倒入 B 管仲 混合后再取 10 克倒入 C 管中 结果 A B C 三个试管中盐水的浓度分别为 6 2 0 5 那么三个试管中原来盛水最多的试管及其盛水量各是 A A 试管 10 克B B 试管 20 克C C 试管 30 克D B 试管 40 克 E C 试管 50 克 例例 3 8 有一桶盐水 第一次加入一定量的盐后 盐水浓度变为 20 第二次加入同样多的盐后 盐水浓度 变为 30 则第三次加入同样多的盐后盐水浓度变为 A 35 5 B 36 4 C 37 8 D 39 5 E 均不正确 Page 4 of 66众凯教育省时 高效 得高分4 四 四 纵向比较法 纵向比较法 技巧点拨 在行程问题与工程问题中 如果遇到某件事情分别用两种不同的方式去完成时 往往采取纵向 比较求解的方法 例例 4 1 甲 乙两人从相距 180 千米的两地同时出发 相向而行 1 小时 48 分相遇 如果甲比乙早出发 40 分钟 那么在乙出发后 1 小时 30 分相遇 求两人每小时各走几千米 A 40 50 B 45 55 C 50 40 D 55 45 E 以上均不对 例例 4 2 甲 乙两个工程队共同完成一项工程需 18 天 如果甲队干 3 天 乙队干 4 天则完成工程的 1 5 则甲队单独完成此工程需要 天 A 20 B 30 C 35 D 40 E 45 例例 4 3 1999 一项工程由甲 乙两队一起做 30 天可以完成 甲单独做 24 天后 乙队加入 两队一起做 10 天后 甲队调走 乙队继续做了 17 天才完成 若这项工程由甲队单独做需 A 60 天 B 70 天 C 80 天 D 90 天 E 100 天 例例 4 4 一件工作 如果甲单独做 那么甲按照规定时间可提前 2 天完成 乙则要超过规定时间 3 天完成 现在 甲 乙二人合作 2 天后 剩下的继续由乙单独做 刚好在规定时间内完成 若二人合作 则完成这 项工程需要 天 A 5 B 6 C 8 D 10 E 15 五 五 图表 图示法 图表 图示法 技巧点拨 当题目出现多维因素变化或者重叠问题时 常常用列表和画文氏图的方法 例例 5 1 某工厂生产某种新型产品 一月份每件产品的销售利润是出厂价的 25 二月份每件产品出厂价降 低 10 成本不变 销售件数比一月份增加 80 则销售利润比一月份的销售利润增长 A 6 B 8 C 15 5 D 25 5 E 以上均不对 Page 5 of 66众凯教育省时 高效 得高分5 例例 5 2 某单位有90人 其中有65人参加外语培训 72人参加计算机培训 已知参加外语培训 而没参加计算机培训的有8人 则参加计算机培训而没参加外语培训的人数为 A 5 B 8 C 10 D 12 E 15 例例 5 3 某班有学生 46 人 在调查他们家中是否有电子琴和小提琴中发现 有电子琴的有 22 人 两种琴 都没有的 14 人 只有小提琴与两种琴都有的人数比为 5 3 则只有电子琴的有多少人 A 12 B 14 C 16 D 18 E 20 例例 5 4 申请驾驶执照时 必须参加理论考试和路考 且两种考试均通过 若在同一批学员中有 70 的人通过了理论考试 80 的人通过了路考 则最后领到驾驶执照的人有60 1 10 的人两种考试都没有通过 2 20 的人仅同过了路考 例例 5 5 某公司的员工中 拥有本科毕业证 计算机等级证 汽车驾驶证的人数分别为 130 110 90 又 知只有一种证的人数为 140 三证齐全的人数为 30 则恰有双证的人数为 A 45 B 50 C 52 D 65 E 100 2代数模块题型归纳及考点总结代数模块题型归纳及考点总结 题型一 考查实数的计算 题型一 考查实数的计算 常用方法 常用方法 裂项相消法 公式法 求和公式 平方差公式 分母有理化 数列求和法 1 裂项法 11 11 n a n nkk nnk 1 等差数列 2 1 11 1 2222 n n aa nn ndd Snadnan 2 等比数列 n s 10 11 1 1 11 1 qq q qaa q qa qna n n 且 技巧点拨 技巧点拨 找出通项 寻求规律 Page 6 of 66众凯教育省时 高效 得高分6 例例 1 1 111 13 1515 1737 39 A 1 37 B 1 39 C 1 40 D 2 41 E 2 39 例例 1 21 252 652 6 A 2 2B 2 2 C 2 3D 2 3 E 32 例例 1 31 3 11111 8163224 1212121212 例例 1 41 4 111 12009 122320082009 A 2006B 2007C 2008D 2009E 2010 例例 1 5 238 1111 2222 0 1 0 20 30 9 A 768 85 B 512 85 C 384 85 D 256 255 E 以上结论均不正确 例例 1 6 18 19 2 n 等差数列 a 的前18项和S 3636 1111 1 2 6342 aaaa 例例 1 7126 6 S Page 7 of 66众凯教育省时 高效 得高分7 10 34 2 nn n nn aannN aanN 1 数列的通项公式是 2 数列的通项公式是 例例 1 8 2222 123 1 41 3 n n aaaa 1 数列 n a的通项公式为2n n a 2 在数列 n a中 对任意正整数n 有 123 21 n n aaaa 题型二 考查实数的性质 题型二 考查实数的性质 常见考点 常见考点 公约数与公倍数 有理数与无理数 质数与合数 奇数与偶数 例例 2 1某人左右两手分别握了若干颗石子 左手中石子数乘3加上右手中石子数乘4之和为29 则右手 中石子数为 A 奇数 B 偶数 C 质数 D 合数 E 以上结论均不正确 例例2 2已知两个自然数的差为48 它们的最小公倍数为60 则这两个数的最大公约数为 A10B12C15D20E30 例例 2 3已知 p q 均为质数 且满足 2 5359pq 则以 p 3 1 p q 2p q 4 为边长的三角形是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 全等三角形 D 钝角三角形 E 等 腰三角形 例例 2 2 4 若 x y是有理数 且满足 12 1 250 xy 则 x y的值分别为 A 1 3B 1 2C 1 3D 1 2E 以上结论都不正确 题型三 关于题型三 关于非负性考查 非负性考查 常见考点 常见考点 绝对值 偶次幂 偶次根式 Page 8 of 66众凯教育省时 高效 得高分8 技巧点拨技巧点拨 配方法 例例 3 3 1 22 22 1 1996134 ab ab 22 2222 44 2 1 0 1 2 a b a baaba b ab 12均为实数 且均为实数 且 例例 3 3 2 22 2233 x ya b a bxyyxaxyb 已知实数 满足 1 和 1 则 A 25B 26C 27D 28E 29 例例 3 33 3 22 32 212180 xxxyy 则23yx A 14 9 B 2 9 C 0D 2 9 E 14 9 例例 3 4 22 1 4521 2 Z x y zxxyyzy 实数满足则 4x 10y 等于 66226 A B C D E 22666 题型四 考查题型四 考查绝对值的两种定义 绝对值的两种定义 常见考点 常见考点 1 代数定义 0 0 a a a a a 由定义可知 0 0 00 aaa aaa aa 当 a 0 时 1 0 1 0 aa a aaa 2 几何意义 ab 是数轴上 a b 两点间的距离 特别a是数轴上 a 到原点的距离 例例 4 14 1 2 1 81625xxxx 1 2x 2 3x Page 9 of 66众凯教育省时 高效 得高分9 例例 4 24 2 aba aba ab 实数 满足 1 0 2 aba 例例 4 3 a aba ab aaba b 1 实数0 2 实数 满足 例例 4 4 ab ab 3 B a 3 C a 3 D a 则 33 A 2 B 3 C 5 D 6 E 以上结果均不正确 Page 13 of 66众凯教育省时 高效 得高分13 例例 7 3 2 30 xbxc c 0 的两根为 如果 为根的一元二次方程是 2 30 xbxc 则 b 和 c 分别为 A 2 6 B 3 4 C 2 6 D 3 6 E 以上结果均不正确 例例 7 47 4 22 的最小值是 1 2 1 与 是方程 22 2 21 0 xaxaa 的两个实根 2 1 4 例例 7 5 2 4 2 50 xaxa 方程有两个不等的负实根 1 a5 例例 7 6方程 2 2235011axxa 的一个根大于 另一个根小于 1 a 3 2 a0 0 0 x1x2x1 2 f x 0 根 1 2 2 b x a 1 2 2 b x a 无实根 f x 0 解集xx2 2 b x a x R f x 0 解集x1 x0 的解集是 2 1 3 1 则 a A 12 B 6 C 0 D 12 E 以上结论均不正确 例例 8 4不等式组 2 2 430 680 xx xx 的解均满足不等式 2 290 xxm 1 m 9 2 m 9 例例 8 5不等式 2 56xx 的解集为 A 1 2 3 B 2 3 6 C 1 6 D 1 2 3 5 E 1 2 3 6 Page 15 of 66众凯教育省时 高效 得高分15 例例 8 6 22 28 2 226 0 xxxxx 1 3 2 x 2 2 3 x 例例 8 7 22 23 23 0 xxxx 1 3 2 2 4 5 xx 例例 8 8不等式 32 1 22xx 的解集为 A 2 6 B 2 1 2 C 1 2 6 D 21 26 E 21 26 例例 8 9直角边之和为 12 的直角三角形面积的最大值为 A 16B 18C 20D 22E 不能确定 例例 8 108 10设0 0 4 y xyxyx x 则S 取到最小值时 的值是 yx A 1B 2C 2 2D 4 2 2E 不能确定 3几何模块题型归纳及考点总结几何模块题型归纳及考点总结 题型一 考查三角形的计算问题 题型一 考查三角形的计算问题 常见考点 等腰三角形 等边三角形 直角三角形常见考点 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 重点 面积问题重点 面积问题 1 一般三角形 边的关系 面积公式 ahS 2 1 2 特殊三角形 Page 16 of 66众凯教育省时 高效 得高分16 E D C B A 直角三角形 勾股定理 222 bac 两个锐角互余 斜边上的中线等于斜边的一半 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 等腰三角形 1 等腰三角形的三线合一 顶角平分线 底边上的高 底边上的中线 等边三角形 若等边三角形的边长为a 则高 3 2 ha 面积为 2 3 4 Sa 两个三角形的全等与相似 对直角三角形而言 射影定理 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 例例 1 1 3ABCEF BC AEF EBCF AG 2 GD 2 BC 2 EF 如图 在三角形中 已知则三角形的面积等于梯形 的面积 1 例例 1 2 如图三角形 ABC 的面积是 180 D 是 BC 的中点 AD 的长是 AE 长的 3 倍 EF 的长是 BF 长的 3 倍 那么三角形 AEF 的面积是多少 例例 1 31 3 2008 年 10 月 下图中 若ABC 的面积为1 AEC DEC BED 的面积相等 则AED 的面积 A 1 3 B 1 6 C 1 5 D 1 4 E 2 5 Page 17 of 66众凯教育省时 高效 得高分17 A C D E B 例例 1 41 4 直角三角形 ABC 的斜边 AB 13 厘米 直角边 AC 5 厘米 把 AC 对折到 AB 上去与斜边相重合 点 C 与点 E 重合 折痕为 AD 如上图 则图中阴影部分的面积为 A 20B 40 3 C 38 3 D 14E 12 题型二 考查四边形的计算问题 题型二 考查四边形的计算问题 常见考点 平行四边形 梯形 矩形 正方形常见考点 平行四边形 梯形 矩形 正方形 1 平行四边形 两组对边平行且相等 对角线互相平分 2 矩形性质 矩形的四个角都是直角 对角线相等 3 菱形性质四条边都相等 菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 4 正方形性质定理 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直 平分 每条对角线平分一组对角 5 梯形 一组对边平行 另一组对边不平行的四边形 上底为a 下底为b 高为h 中位线 1 2 ab 面积为hbas 2 1 等腰梯形性质 等腰梯形在同一底上的两个角相等 等腰梯形的两条对角线相等 梯形梯形 例例 2 1 若四边形ABCD为等腰梯形 则梯形的中位线与高的比为2 1 1 等腰梯形的底角为45 2 等腰梯形的高等于上底 例例 2 2 3 如图所示 梯形ABCD的中位线MN 6 则梯形的面积为24 18260BCC Page 18 of 66众凯教育省时 高效 得高分18 A M D C N B 例例 2 3 如图 2 等腰梯形的上底与腰均为x 下底为10 x 则13x 1 该梯形的上底与下底之比为13 23 2 该梯形的面积为216 例例 2 4 如图 30 8 ABCD 是平行四边形 面积为 72 平方厘米 E F 分别为 边 AB BC 的中点 则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米 例例 2 5 如图是一个正方形 问 阴影部分的面积是多少 例例 2 6 如图 正方形ABCD的边长为1 E为CD的中点 则图中阴影部分的面积为 A 1 3 B 1 2 C 2 9 D 2 3 E 2 5 例例 2 7 如图 16 11 梯形 ABCD 的上底 AD 长为 3 下底 BC 长为 9 而三角形 ABO 的面积为 12 平方厘米 则梯形 ABCD 的面积为多少平方厘米 例例 2 8 ABCD如图2长方形的两条边长分别为8m和6m 22222 OEFGm mmmmm 2 四边形的面积是4则阴影部分的面积为 A 32 B 28 C 24 D 20 E 16 Page 19 of 66众凯教育省时 高效 得高分19 例例 2 9 P 121 是以a为边长的正方形 P是以P的四边中点为顶点的正方形 P是以P的四边中点为 ii 16 顶点的正方形 P是以P 的四边中点为顶点的正方形 则P的面积为 22222 1632404864 aaaaa A B C D E 例例 2 10 如图正方形ABCD四条边与圆O相切 而正方形EFGH是圆O的内接 21221 32234 ABCDE 正方形 已知正方形ABCD的面积为1 则正方形EFGH面积是 A B CD EF GH 题型三 考查圆与扇形的计算问题 题型三 考查圆与扇形的计算问题 常见考点 圆 弓形 扇形常见考点 圆 弓形 扇形 1 圆 圆的半径为R 则周长为2CR 面积是 2 SR 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆内接四边形定理 圆内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 圆的外切四边形的两组对边的和相等 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线长定理 Page 20 of 66众凯教育省时 高效 得高分20 2 扇形 在扇形 OAB 中 若圆心角为 则 AB 弧长 180 Rn l 扇形面积 360 2 Rn S 组合图形的面积组合图形的面积 例例 3 1 求下面各图形中阴影部分的面积 例例 3 2 如图 ABCD 是边长为 2 的正方形 分别以四边为直径作半圆 则相交所 成的阴影部分的面积为 A 4 2B 4 C 3 4 2 D 2 E 以上均不正确 例例 3 3 1 4 如图所示 长方形ABCD中AB 10厘米 BC 5厘米 以AB和AD分别为半径作 圆 则图中阴影部分的面积为 2512525 224 A 25 平方厘米 B 25 平方厘米 C 50 平方厘米 125 4 D 50平方厘米 E 以上结果均不正确 例例 3 4 如图所示 半径为 r 的四分之一的圆 ABC 上 分别以 AB 和 AC 为直径做两个半圆 分别标有 a 的阴影部分的面积和标有 b 的阴影部 10 a b A C B D Page 21 of 66众凯教育省时 高效 得高分21 分的面积 则这两部分面积 a 与 b 有 A ab B ab C ab D ab E 无法判定 例例 3 5 1999 1 ADBCCDABBDADB A 如图 半圆以 为圆心 半径为 且 延长和分别与以 2 E F为圆心 为半径的圆弧交于两点 则图中的阴影部分的面积是 1 12112 222 BCDE A 3 3 题型四 考查解析几何基本公式 题型四 考查解析几何基本公式 常见考点常见考点考考点内容解析点内容解析 两点之间两点之间 距离距离公式 公式 1122 A x yB xy 则 22 2121 ABxxyy 坐标公式 坐标公式 中点公式 1212 22 xxyy xy 重心公式 3 3 321321 yyy y xxx x Page 22 of 66众凯教育省时 高效 得高分22 直线的倾直线的倾 斜角与斜率斜角与斜率 1 倾斜角 范围0180 斜率tank 90 21 21 yy k xx 点到直线点到直线 距离公式距离公式 00 22 AxByC d AB 两条平行线两条平行线 的距离公式的距离公式 12 22 CC d AB 例例 4 14 1 已知三个点 5 2 1 1 A xBy C 若C是线段AB的中点 求 x y的值 例例 4 24 2 已知三点 2 5 1 4 2 A aBCa 在同一直线上 求 a 的值 例例 4 34 3 实数 x y满足3250 13 xyx 求 y x 的取值范围 例例 4 44 4 点 P x y是直线240 xy 上的动点 O 为原点 求OP的最小值 例例 4 54 5 5a 成立 点 6 A a到直线342xy 的距离大于 4 2 两条平行线 1 0lxya 和 2 30lxy 的距离小于2 正方形ABCD的顶点 1 7 D 正方形ABCD的四个顶点依逆时针顺序排列 点 2 3 6 6 AB Page 23 of 66众凯教育省时 高效 得高分23 题型五 考查直线与圆的方程 题型五 考查直线与圆的方程 常见考点常见考点 直线方程直线方程 三种形式三种形式 1 斜截式ykxb 2 点斜式 11 yyk xx 3 一般式 0 0 22 BACByAx 圆的标准方程圆的标准方程 222 rbyax 0r 圆心坐标为 a b 半径为 r 圆的一般方程圆的一般方程 0 22 FEyDxyx FED4 22 0 圆心 2 D 2 E 半径为FEDr4 2 1 22 直线方程直线方程 例例 5 1 过点 1 10 P 且被圆 22 42200C xyxy 所截得的弦长为 8 的直线方程是 例例 5 25 2 平行于直线 2x y 1 0 且与圆 x 2 y 2 5 相切的直线方程是 例例 5 3 已知圆 C x 2 y2 4 求过 A 3 1 的圆 C 的切线方程是 例例 5 4 设 P 是圆 22 2xy 上的一点 该圆在点 P 的切线平行于直线20 xy 则点 P 的坐标为 A 1 1 B 1 1 C 0 2D 2 0E 1 1 例例 5 5 22 1 1 1xyxy CABAB若圆与 轴交于 点 与 轴交于 点 则与此圆相切于劣弧中点 M 注 小于半圆的弧称为劣弧 的切线方程是 Page 24 of 66众凯教育省时 高效 得高分24 A 22yx B 2 1 1yx C 2 1 1 yx D 22yx E 21yx 例例 5 6 已知圆 x 2 2 y 1 2 16 的一条直径通过直线 x 2y 3 0 被圆所截弦的中点 则该直径所在直 线的方程 A 2x y 5 0 B x 2y 0 C 2x y 3 0 D x 2y 4 0 圆的方程圆的方程 例例 5 7 方程 2 11xy 所表示的曲线是 A 1 条直线B 2 条直线C 1 个圆D 2 个半圆E 2 个点 例例 5 8 2010 10 若圆的方程是 22 1xy 则它的右半圆 在第一象限和第四象限内的部分 的方程是 A 2 10yx B 2 10 xy C 2 10yx D 2 10 xy E 22 1 2 xy 例例 5 9 动点 x y 的轨迹是圆 14xy 22 1 2 3 x y 6x 9y 1 0 例例 5 10 如果圆 2 x0 2 FEyDxy与 y 轴相切于原点 那么 A F 0 D0 0 E B E 0 F 0 D0 C D 0 F 0 E0 D D 0 E 0 F0 Page 25 of 66众凯教育省时 高效 得高分25 题型六 考查几何图形位置关系 题型六 考查几何图形位置关系 点点 00 P xy 关于特殊关于特殊直线的对称问题直线的对称问题 注注 1k 时直接用快速时直接用快速 关于x轴的对称点为 00 xy 关于y轴的对称点为 00 xy 关于原点的对称点为 00 xy 关于yx 的对称点为 00 yx 关于yx 的对称点为 00 yx 点点 00 P xy 关于直线关于直线0AxByC 的的 对称点为 对称点为 11 x y 0101 10 10 0 22 1 xxyy ABC yyA xxB 直线直线0AxByC 关于点关于点 00 P xy对称的直线方程对称的直线方程 00 220AxxByyC 直直线线 1 0lAxByC 关于直线关于直线l ax by c 0 对称的直线对称的直线 2 l方程方程 必过 1 l与l的交点 2 l 任意找一个点求对称 注注 1k 时直接用快速时直接用快速 两条直线两条直线平行平行 111 lyk xb 222 lyk xb 121212 llkk bb 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1221 12 1221 0 0 ABA B ll BCB C 两条直线两条直线垂直垂直 1212 1llk k 121212 0llA AB B Page 26 of 66众凯教育省时 高效 得高分26 直线与圆位置关系直线与圆位置关系 圆心到直线的距离 22 BA CBbAa d dr 相离 dr 相切 dr 相交 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系 设两圆圆心分别为设两圆圆心分别为 1 O 2 O 半径分别为半径分别为 12 r r dOO 21 条公切线外离4 21 rrd 条公切线外切3 21 rrd 条公切线相交2 2121 rrdrr 条公切线内切1 21 rrd 12 0drr 内含无公切线 点线之间的位置关系 对称关系 点线之间的位置关系 对称关系 例例 6 1 1 2 30 o Pxy 点关于直线的对称点是 4 32 33 22 34 3ABCDE 例例 6 2 032yxyx 以直线为对称轴且与直线对称的直线方程为 22 32 32 3333 xx A yB yC yxD yx E 以上都不对 例例 6 3 直线 2x y 3 0 关于定点 M 1 2 对称的直线的方程是 A 2x y 1 0 B 2x y 5 0 C 2x y 1 0 D 2x y 5 0 例例 6 4 4a 42 2 51 2 2 aa a xyaxa y 12 1 点A 1 0 关于直线x y 1 0的对称点是A 2 直线l与直线l垂直 Page 27 of 66众凯教育省时 高效 得高分27 直线和圆之间的位置关系直线和圆之间的位置关系 例例 6 56 5 对于 k R 直线 3k 2 x ky 2 0 与圆0222 22 yxyx的位置关系是 A 相交B 相切C 相离D 可能相交 也可能相切 但不可能相离 例例 6 6 圆 22 1 2 4xy 和直线 1 330 xy 1 2相交于两点 1 2 3 5 2 5 3 2 例例 6 7 过点 11 2 A作圆 22 241640 xyxy 的弦 其中弦长为整数的共有 条 A 16B 17C 32D 34E 33 例例 6 8 圆 22 2430 xyxy 上到直线10 xy 的距离为2的点共有 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个E 5 个 例例 6 9 如果直线4 byax与圆4 22 yx有两个不同的交点 那么 baP 与圆的位置关系是 A 在圆外 B 在圆上C 在圆内 D 不确定 例例 6 106 10 直线0234 yx与圆01242 222 ayaxyx总有两个交点 则a应满足 A 73 a B 46 a C 37 a D 1921 a 圆与圆之间的位置关系圆与圆之间的位置关系 例例 6 11 22222 12 3 2 680 2 CxyrCxxyy 圆与圆 有交点 515 1 0 2 22 rr Page 28 of 66众凯教育省时 高效 得高分28 例例 6 12 圆 22 3425xy 与圆 22 2 12xyr r 0 相切 1 52 3r 2 52 2r 题型七 考查解析几何中的面积问题 题型七 考查解析几何中的面积问题 例例 7 17 1 直线yx yaxb 与0 x 所围成的三角形的面积等于1 1 1a 2b 2 1a 2b 例例 7 2 27 17 4 yxyaxx 两直线 与 轴所围成的面积 1 a 3 2 a 2 例例 7 3 1ABCD如图正方形的面积为 1 2 1 AByx ADyx 1所在的直线方程为 2所在的直线方程为 例例 7 4 1 1 n nxnynS n 设直线为正整数 与两坐标轴围成的三角形面积 1 2 2009 122009 SSS 则 A 1 2009 2 2008 B 1 200 2 200 8 9 C 1 2009 2 2010 D 1 20 2 200 10 9 E 以上结论都不正确 Page 29 of 66众凯教育省时 高效 得高分29 y x M N A 例例 7 5 已知圆的方程为086 22 yxyx 设该圆过点 3 5 的最长弦和最短弦 分别为 AC 和 BD 则四边形 ABCD 的面积为 A 106 B 206 C 306 D 406 E 506 例例 7 67 6 过点 2 0 A向圆 22 1xy 作两条切线AM和AN 见下图 则两切线和弧MN所围成的面积 图中阴影部分 为 A 1 3 B 1 6 C 3 26 D 3 6 E 3 3 例例 7 7 09 模考 直线032 yx与圆9 3 2 22 yx交于 E F两点 则 EOF O是原点 的面积为 2 3 4 3 52 5 56 E 以上答案都不对 题型八 考查立体图形的基本公式 题型八 考查立体图形的基本公式 常见考点 长方体 常见考点 长方体 正正方体 圆柱 球的面积 体积的运算 方体 圆柱 球的面积 体积的运算 长方体 长方体 设长方体的在同一个顶点上的三条棱长分为 a b c 222 abc 全 1 体积V abc 2 全面积 S 2 ab bc ca 3 体对角线 d 32 6 3ada 全 4 当a b c时 称为正方体 V a S 圆柱 圆柱 设圆柱的高为l 底面圆半径是r 2 rh 1 体积 V Page 30 of 66众凯教育省时 高效 得高分30 2 2 l l l 侧 侧全 上底 下底 2 侧面积 S 2 r其侧面展开图为一个长为2 r 宽为的长方形 3 全面积 S S S 2 rr 球 球 1 设球半径为R 体积 3 4 3 VR 2 4SR 例例 8 18 1 长方体的一个顶点上三条棱的长分别为 a b c 若长方体所有棱的长度之和为 24 一条对角线长度为 5 体积 为 2 则 111 abc A 11 4 B 4 11 C 11 2 D 2 11 E 3 例例 8 28 212812一张长为 宽为 的矩形铁皮卷成一个圆柱体的侧面 其高是 则这个圆柱体的 288192144 288 192 BCDE 体积是 A 例例 8 38 3 球的面积膨胀为原来的两倍 膨胀后的球的体积变为原来的 倍 A 2 B 2 C 22 D 4 E 8 例例 8 48 4 一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水 若放入一个半径为r的实心铁球 水面高度恰 好升高r 求 R r 例例 8 58 564 个直径都为 4 a 的球 记它们的体积之和为 甲 V 表面积之和为 甲 S 一个直径为a的球 记其体 积为 乙 V 表面积为 乙 S 则 Page 31 of 66众凯教育省时 高效 得高分31 A 乙甲乙甲 且SSVV B 乙甲乙甲 且SSVV C 乙甲乙甲 且SSVV D 乙甲乙甲 且SSVV E VVSS 乙乙甲甲 且 题型九 考查题型九 考查球与长方体的切接问题球与长方体的切接问题 技巧技巧 画出截面图画出截面图 把立体几何图形转化为平面几何图形求解把立体几何图形转化为平面几何图形求解 当长当长 正方体正方体 内接于球时内接于球时 其体对角线其体对角线 为球的直径 为球的直径 例例 9 19 1 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上 且一个顶点上的三条棱的长分别 为 1 2 3 则此球的表面积为 A 14 B 10 C 8 D 6 E 4 例例 9 29 2 已知正方体外接球的体积是 32 3 那么正方体的棱长等于 A 2 2 B 2 3 3 C 4 2 3 D 4 3 3 E 2 3 例例 9 39 3 现有一个半径为 R 的球体 拟用刨床将其加工成正方体 则能加工成的最大正方体的体积是 A 3 8 3 RB 3 8 3 9 RC 3 4 3 RD 3 1 3 RE 3 3 9 R 例例 9 49 4 正方体的内切球与外接球的体积之比等于 A 13B 1 3C 13D 131 3 2 E 2 4概率 数据分析 模块题型归纳及考点总结概率 数据分析 模块题型归纳及考点总结 Page 32 of 66众凯教育省时 高效 得高分32 考点一 考查两大原理考点一 考查两大原理 关键 类与步的区别 关键 类与步的区别 先分类再分步先分类再分步 1 分类计数原理 完成一件事 有 n 类办法 在第 1 类办法中有 1 m种不同的方法 在第 2 类办法中有 2 m 种不同的方法 在第 n 类办法中有 n m种不同的方法 那么完成这件事共有 N n1 n2 n3 nM种不 同的方法 2 分步计数原理 完成一件事 需要分成 n 个步骤 做第一步有 1 m种不同的方法 做第二步有 2 m种不同的方 法 做第 n 步有 n m种不同的方法 那么完成这件事共有 N n1 n2 n3 nM种不同的方法 例例 1 11 1 08 10 某公司员工义务献血 在体检合格的人中 O型血的有10人 A型血的有5人 B型血 的有8人 AB型血的有3人 若从四种血型的人中各选1人去献血 则不同的选法种数共有 A 1200B 600C 400D 300E 26 例例 1 2 某辅导班有 4 个学习小组 含 MBA 学员 34 人 其中一 二 三 四学习小组各 7 人 8 人 9 人 10 人 1 选其中 1 人为班长 有多少种不同的选法 2 每个学习小组各选 1 名组长 有多少种不同的选法 3 推举 2 人发言 这二人需来自不同的学习小组 有多少种不同的选法 例例 1 3 07 10 有5人参加3项不同的培训 每人都只报一项 则不同的报法有 24312560 A种 B种 C 81种 D种 E 以上结论均不正确 考点二 考查排列组合基本公式考点二 考查排列组合基本公式 1 排列数的定义 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素排成一列 称为从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数 用符号 m n A表示 其中 n m N 并且 m n 2 排列数公式 1 1 m n n An nnmmn n mN nm 当 m n 时 排列称为全排列 排列数为 n n A 1 2 1nn 记为 n 且规定 O 1 3 组合数的定义 从 n 个不同的元素中取出 m m n 个元素的所有组合数 叫做从 n 个不同元素中取出 m Page 33 of 66众凯教育省时 高效 得高分33 个元素的组合数 用符号 m n C表示 4 组合数公式 1 1 m m n n m m An nnmn C Amm nm 规定 0 1 n C 其中 m n N m n 5 组合数的两个性质 mn m nn CC nn n n n n nnnn CCCCCC2 12210 注 排列是 排成一排 组合是 并成一组 前者有序而后者无序 例例 2 12 1 08 10 46 nn CC 1 10n 2 9n 例例 2 2 333 1 4 n nnn nCPC 求 n 的值 考点三 考查排列组合应用题考点三 考查排列组合应用题 常见类型 排列 排队问题 数字问题 座位问题 组合 摸球问题 抽样品问题 分组问题 混合问题 关键突破口 遇到混合问题先组合 再排列 解决方法 直接法 间接排除法 捆绑法 插空法 占位法 调序法 隔板法 例例 3 1 排队问题 七人并排站成一行 如果 1 甲不在排头的排法有多少种 2 甲乙两个必须相邻的排法种数是多少 3 甲乙两个必须不相邻的排法种数是多少 4 甲必须在乙的左边的排法种数是多少 5 甲不在排头 乙不在排尾的排法是多少 例例 3 2 座位问题 1 甲和乙入座 7 个空座位 甲和乙不相邻坐的方法有多少种 2 08 1 有两排座位 前排 11 个座位 后排 12 个座位 现安排 2 人就座 规定前排中间的 3 个座位 不能坐 并且这 2 个人左右不相邻 那么不同的排法有 A 234B 346C 350D 363E 235 Page 34 of 66众凯教育省时 高效 得高分34 3 11 1 3 个 3 口之家一起观看演出 他们购买了同一排的 9 张连座票 则每一家的人都坐在一起的 不同坐法有 A 2 3 种B 3 3 种C 3 3 3 种D 4 3 种E 9 种 例例 3 3 摸球问题 重点 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台 其中至少要甲型和乙型电视机各一台 则不同的取法共有 A 140 种B 80 种C 70 种D 35 种 例例 3 4 分组模型 重点 区别均分和非均分 1 9 人平均分成三组有多少种 9 人平均分成 ABC 三组有多少种 2 四个不同球放入编号为 1 2 3 4 的四个盒中 则恰有一个空盒的放法有多少种 3 4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去 每所学校至少去一名 则不同的保送方案有多少种 4 10 1 某大学派出 5 名志愿者到西部 4 所中学支教 若每所中学至少有一名志愿者 则不同的分配 方案共有 A 240 种 B 144 种 C 120 种 D 60 种 E 24 种 5 某交通岗共有 3 人 从周一到周日的七天中 每天安排一人值班 每人至少值 2 天 其不同的排法 共有 种 A 5040 B 1260 C 210 D 630 E 以上都不正确 考点四 考查等可能事件的概率考点四 考查等可能事件的概率 古典概率模型古典概率模型 1 概念 等可能事件的概率 如果一次试验由n个基本事件组成 而且所有结果出现的可能性都相等 那么 每一个基本事件的概率都是 1 n 如果某个事件A包含的结果有m个 那么事件A的概率为 m P A n Page 35 of 66众凯教育省时 高效 得高分35 2 解题技巧 n m P A 分子代表某个事件可能发生的结果的个数 分母表示事件全体个数 而分母一 般为 nm n m n mCP 等 模型一 摸球模型 模型一 摸球模型 超几何分布模型 超几何分布模型 公式 公式 P kn kn MN MN C CC 例例 4 1 一个口袋中装有大小相同的 3 个白球和 4 个黑球 1 从口袋中摸出 2 个球 求两球恰好颜色不相同的概率 2 从口袋中摸出 3 个球 至少有 1 个黑球的概率为多少 例例 4 2 现从 5 名管理专业 4 名经济专业和 1 名财会专业的学生中随机派出一个 3 人小组 则该小组中 3 个专业各有 1 名学生的概率为 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 5 E 1 6 例例 4 3 09 1 在 36 人中 血型情况如下 A 型 12 人 B 型 10 人 AB 型 8 人 O 型 6 人 若从中随机选出 两人 则两人血型相同的概率是 A 77 315 B 44 315 C 33 315 D 9 122 E 以上结论都不正确 例例 4 4 10 10 在 10 道备选试题中 甲能答对 8 题 乙能答对 6 题 若某次考试从这 10 道备选题中随机 抽出 3 道作为考题 至少答对 2 题才算合格 则甲乙两人考试都合格的概率是 A 28 45 B 2 3 C 14 15 D 26 45 E 8 15 模型二 分房模型 模型二 分房模型 球盒模型 球盒模型 Page 36 of 66众凯教育省时 高效 得高分36 例例 4 5 01 1 在共有 10 个座位的小会议室内随即地坐上 6 名与会者 则指定的 4 个座位被坐满的概率 是 A 1 11B 1 12C 1 13D 1 14E 1 15 例例 4 6 某轻轨列车有 4 节车厢 现有 6 位乘客准备乘坐 设每一位乘客进入每节车厢是等可能的 则这 6 位乘客进入各节车厢的人数恰好为 0 1 2 3 的概率为 例例 4 7 将 2 个红球与 1 个白球随机地放入甲 乙 丙三个盒子中 则乙盒中至少有 1 个红球的概率为 A 1 9 B 8 27 C 4 9 D 5 9 E 17 27 模型二 模型二 抽签 抓阄 抽签 抓阄 模型 模型 例例 4 8 某人