1.3二项式定理（通用） (2).doc

一、 填空题1. 1.023_（小数点后保留三位小数）【答案】1.172【解析】1.023=（1+0.02）3=1+C310.02+C320.022+0.0231.0612. 若1-2x2016=a0+a1x+a2x2+a2016x2016xR，则a12+a222+a201622016=_ .【答案】-11-2122016=a0+a12+a222+.+a201622016，即a0+a12+a222+.+a201622016=0，而a0=1,a12+a222+.+a201622016=-1，故答案为-1.3. (x+3x)(2x-1x)5展开式中的常数项为_【答案】200【解析】根据题意，2x-1x5展开式的通项为Tr+1=C5r2x5-r-1xr=-1rC5r25-rx5-2r，令r=2，有，T2=-12C5223x1=80x，令r=3，有，T4=-13C53221x=-40x，(x+3x)(2x-1x)5展开式中的常数项为x-40x+3x80x=200，故答案为200.4. 若1-2xnx的展开式中x3的系数为80，其中n为正整数，则1-2xnx的展开式中各项系数之和为_【答案】-15. 若3x2-a2x-1x5的展开式中x3的系数为80，则a=_【答案】-2【解析】(2x-1x)5展开式通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-1x)r=25-rC5rx5-2r，令5-2r=3，则r=1，令5-2r=1，则r=2，-a24C51+323C52=80，解得a=-2，故答案为2.6. 已知(1+2x)n展开式中只有第4项的二项式系数最大，则(1+1x2)(1+2x)n展开式中常数项为_【答案】61【解析】(1+2x)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即Cn3最大，Cn3Cn2Cn3Cn4，解得5n7，又nN*,n=6，则(1+1x2)(1+2x)n展开式中常数项为C60+C6222=61.7. 二项式5x-1xn展开式中各项二项式系数之和是各项系数之和的14倍,则展开式中的常数项为_【答案】-108. 设(2x+1x)(4x-1)9=bx+a0+a1x+a2x2+a10x10，则a0+a12+a222+a10210_【答案】5【解析】由题易知：b=C99-19=-1令x=12，可得3=2b+a0+a12+a222+a10210a0+a12+a222+a1021059. a+2b-3c4的展开式中abc2的系数为_【答案】216【解析】(a+2b-3c)4中的第3项为C42(a+2b)2(-3c)2，即为C42(a2+4ab+4b2)(-3c)2，所以含abc2的系数为(-3)2C424=21610. 设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn(nN*)，若a1+a2+an=63，则展开式中系数最大的项是_.【答案】20x3.二、 解答题11已知fn(x)=1+xn，nN*.（1）若g(x)=f3(x)，求g(0)的值；（2）若h(x)=f2(x)+f3(x)+f10(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a10x10，求a2的值；（3）若Pn是fn(2x)展开式中所有无理项的二项式系数和，数列cn是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明:1+c11+c21+cnc1c2cn+1Pn.【答案】（1）g0=3. （2）165.（3）见解析.【解析】（1）由题意gx=1+x3，所以gx=31+x2，所以g0=3. （2）hx=1+x2+1+x3+1+x10，所以a2=C22+C32+C42+C102 =C33+C32+C42+C102=C113=165.（3）因为Tr+1=Cnr2xr，所以要得无理项，r必为奇数，所以Pn=Cn1+Cn3+Cn5+=2n-1， 要证明1+c11+c21+cnc1c2cn+1Pn，只要证明1+c11+c21+cn2n-1c1c2cn+1，用数学归纳法证明如下：（）当n=1时，左边=右边，当n=2时，1+c11+c2-2c1c2+1=-c1-1c2-10，n=1,2时，不等式成立.结合（*）得：1+c11+c21+ck1+ck+12c1c2ckck+1+1成立，n=k+1时，不等式成立. 综合（）（）可知1+c11+c21+cn2n-1c1c2cn+1对一切nN*均成立.不等式1+c11+c21+cnc1c2cn+1Pn成立 . 12已知x+3xn（其中n15，nN*）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列.（1）求n的值；（2）写出它展开式中的所有有理项.【答案】（1）n=14. （2）T1=C140x7=x7，T7=C146x6，T13=C1412x5=91x5.【解析】（1）因为x+3xn（其中n15，nN*）的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为Cn8，Cn9，Cn10.依题意得Cn8+Cn10=2Cn9. 可化为n!8!n-8！+n!10!n-10！=2n!9!n-9！， 化简得n2-37n+322=0，解得n=14或n=23，n15，n=14. （2）展开式的通项Tr+1=C14rx14-r2xr3， 所以展开式中的有理项当且仅当r是6的倍数，又0r14，rN*，r=0或r=6或r=12， 展开式中的有理项共3项是T1=C140x7=x7，T7=C146x6，T13=C1412x5=91x5.13（1）求x-1x6的展开式中的常数项；（2）用1，2，3，4，5组成一个无重复数字的五位数，求满足条件的五位数中偶数的个数.【答案】(1)15；(2)48.14.已知在(1-2x)n的展开式中，所有项的二项式系数之和为128.(1)求展开式中的有理项；(2)求展开后所有项的系数的绝对值之和.【答案】(1) T1=C7020x0=1, T3=C7222x=84x, T5=C7424x2=560x2, T7=C7626x3. (2)2187.【解析】根据题意，2n=128,得n=7， （1）展开式的通项为Tr+1=C7r2rxr2,r=0,1,2,7. 于是当r=0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T1=C7020x0=1, T3=C7222x=84x,T5=C7424x2=560x2, T7=C7626x3. （2）1-2x7展开式中所有项的系数的绝对值之和，即为1+2x7展开式中各项系数之和， 在1+2x7中令x1得展开式中所有项的系数和为（12）7372 187 所以1-2x7展开式中所有项的系数和为2187. 15已知函数f(x)=(x+5)2n+1(nN*，xR)（1）当n=2时，若f(2)+f(-2)=5A，求实数A的值；（2）若f(2)=m+(mN*，01)，求证：(m+)=1【答案】（1）A=610 (2)见解析.（2）因为f(x)=(x+5)2n+1=C2n+10x2n+1+C2n+11x2n5+C2n+12x2n-1(5)2+C2n+12n+1(5)2n+1，所以f(2)=C2n+1022n+1+C2n+1122n5+C2n+1222n-1(5)2+C2n+12n+1(5)2n+1，由题意f(2)=(5+2)2n+1=m+(mN*,01)，首先证明对于固定的nN*，满足条件的m,是唯一的.假设f(2)=(2+5)2n+1=m1+1=m2+2(m1,m2N*,01,21,m1m2,12)，则m1-m2=2-10，而m1-m2Z，2-1(-1,0)(0,1)，矛盾.所以满足条件的m,是唯一的. 下面我们求m及的值：因为f(2)-f(-2)=(2+5)2n+1-(-2+5)2n+1=(2+5)2n+1+(2-5)2n+1 =2C2n+1022n+1+C2n+1222n-1(5)2+C2n+1422n-3(5)4+C2n+1121(5)2n，显然f(2)-f(-2)N*. 16已知m，nN*，函数f(x)=(1-x)m+(1-x)n（1）当m=n+1时，f(x)展开式中x2的系数是25，求n的值；（2）当m=n=7时，f(x)=a7x7+a6x6+a1x+a0，求a0+a2+a4+a6的值；求a12+a222+a727的值【答案】（1）5（2）128，-12764【解析】（1）由题可得Cn+12+Cn2=25，解得n=5（2）采用赋值法：分别令x=1，x=-1，相加可得a0+a2+a4+a6=128采用赋值法：令x=12，可得a0+a121+a222+a727=164，令x=0，可得a0=2，因此a12+a222+a727=164-2=-1276417.（1）设，求.（2）设，求的整数部分的个位数字.【答案】（1）（2）的个位为.【解析】解：(1)因为，所以.已知为整数且个位数为0，而，所以，所以的个位为.18已知二项式(x+3x2)n（1）若它的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项及展开式中系数最大的项；（2）若x=3，n=2016，求二项式的值被7除的余数【答案】（1）见解析（2）1【解析】（1）2n=128,n=7.二项式系数最大的项为第4,5项，T4=C73x4(3x2)3=945x10,T5=C74x3(3x2)4=2835x11.展开式中系数最大的项为第6,7项T6=C75x2(3x2)5=5103x12,T7=C76x1(3x2)6=5103x13.（2）302016=(28+2)2016=282016+C201612820152+.+C201620152822015+22016=28K+22016转化为22016被7除的余数，22016=8672=(7+1)672=7k+1，即余数为1。19已知的展开式中，只有第六项的二项式系数最大（1）求该展开式中常数项；（2）求展开式中系数最大的项为第几项？【答案】（1）；（2）第项系数最大.（2）设第项系数最大 则 即解得因为所以 即第8项系数最大20设（1）当时，求；（2）展开式中的系数是19，当变化时，求系数的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）赋值法：分别令，得，（2），的系数为：，所以，当或时，展开式中的系数最小值是8121（1）若的展开式中，