工程大几何概型详解ppt课件.ppt

几何概率 早在概率论发展初期 人们就认识到 只考虑有限个等可能样本点的古典概型是不够的 早期研究样本空间有无限个样本点的概率模型是几何概率模型 1 1 样本空间S是数轴上某个区间 它的长度为 S 随机事件A是S的一个子区间 其长度为 A 现任意投一点到S中 且该点落入S内任何子区间内的可能性只与该子区间的长度成正比 而与子区间的位置和形状无关 则随机事件A的概率为 2 2 样本空间S是平面上某个区域 它的面积为 S 随机事件A是S的一个子区域 其面积为 A 现任意投一点到S中 且该点落入S内任何子区域内的可能性只与该子区域的面积成正比 而与子区域的位置和形状无关 则随机事件A的概率为 3 3 样本空间S是空间某区域 它的体积为 S 随机事件A是S的一个子区域 其体积为 A 现任意投一点到S中 且该点落入S内任何子区域内的可能性只与该子区域的体积成正比 而与子区域的位置和形状无关 则随机事件A的概率为 4 例1 设k等可能地在区间 0 5 中取值 试求方程有实根的概率 解 k等可能地在区间 0 5 中取值 所以样本空间所对应的区域是区间 0 5 方程有实根的充要条件是其判断式大于等于零 于是有 得 或 即 5 由于k只在区间 0 5 中取值 所以方程有实根当且仅当k在以下区间中 所以 6 例2 在半径为R的圆的一条直径MN上随机地取一点P 求过P且与MN垂直的弦的长度大于R的概率 解 以圆心为原点 过直径MN作数轴ox 如下图 设随机点P的坐标为x 则x在区间 R R 上随机地取值 过P且与MN垂直的弦的长度大于R 即 于是得 且过P点垂直于MN的弦的长度为 7 所以过P且与MN垂直的弦的长度大于R的概率为 8 例3 设一码头不能同时停靠两艘船 现有甲 乙两艘船将停靠该码头 它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的 如果甲船停靠时间为6小时 乙船停靠时间为4小时 求这两艘船中至少有一艘在停靠码头时必须等待的概率 自当天零时起计 设甲 乙两船到达码头的时刻分别为x和y 则 解 于是样本空间可看作是平面区域 9 设事件A表示 这两艘船中至少有一艘在停靠码头时必须等待 若甲船先到 而乙船在随后的6小时内赶到 则乙船须等待停靠 即 若乙船先到 而甲船在随后的4小时内赶到 则甲船须等待停靠 即 由此可知 10 从而得 11 例4 把一根长度为a的木棒任意地折成三段 求这三段能构成一个三角形的概率 解 设木棒折成三段后 这三段的长度分别为x y a x y 显然 于是样本空间可看作是平面区域 即 12 又这三段能构成一个三角形 即任意两边之和大于第三边 由此可知 设事件A表示 这三段能构成一个三角形 则 13 从而得 14 解答 不 概率等于1的事件不一定是必然事件 它完全可能不发生 同样概率等于零的事件也不一定是不可能事件 他完全可能发生 让我们看下一个例子吧 问题 必然事件的概率等于1 那概率等于1的事件也一定是必然事件吧 同样概率等于零的事件也一定是不可能事件吗 15 例5 如图 设试验E为 随机地向边长为1的正方形内投点 事件A为 点投在黄 红两个三角形内 求事件A的概率 由于点可能投