管理决策分析之效用函数(ppt 58页).ppt

第三章效用函数 广西大学数学与信息科学学院运筹管理系 3 1理性行为公理 问题 某公司拟推出一种新产品 经预测该产品在市场看好的情况下 可以获利10万 在市场前景较差时 将亏损1万元 市场看好和较差的概率分别为0 6和0 4 是否推出该新产品 若另有一产品可稳获利2万元 推出哪种产品更好 这是一个随机决策问题 3 1理性行为公理 在随机决策中 决策系统 A F 中的决策方案均是在状态空间背景中加以比较 并按照某种规则 选出决策者最满意的行动方案 在本章中 我们用事态体表示在随机性状态空间中的行动方案 方案的比较表示为事态体的比较 并引入效用的概念 用以衡量事态体 行动方案 的优劣 3 1理性行为公理 3 1 1事态体及其关系1 事态体的概念定义3 1具有两种或两种以上有限个可能结果的方案 或事情 称为事态体 事态体中各可能结果出现的概率是已知的 事态体即随机性状态空间中的行动方案 1 事态体的概念 设某事态体的n个可能结果为 o1 o2 on各结果出现的概率是相应为 p1 p2 pn则该事态体记为 T p1 o1 p2 o2 pn on 特别当n 2时 称T为简单事态体 此时T p o1 1 p o2 1 事态体的概念 事态体可以用树形图表示如下 当n 2时 p 事态体集合 的性质 在凸线性组合下 是闭集 即 若T1 T2 则当0 1时 有 T1 1 T2 两个事态体的凸线性组合仍是一个事态体 T 0 o1 0 o2 1 oj 0 on 称T为退化事态体 退化事态体仍属于事态体集合 2 事态体的比较 定义3 2设o1 o2是事态体T的任意两个结果值 根据决策目标和决策者偏好 o1和o2有如下关系 若偏好结果值o1 则称o1优于o2 记作o1 o2 反之 称o1劣于o2 记作o1 o2 若对结果值o1 o2无所偏好 则称o1无差异于o2 记作o1 o2 若不偏好结果值o1 则称o1不优于o2 记作o1 o2 反之 称o1不劣于o2 记作o1 o2 2 事态体的比较 定义3 3设两个简单事态体T1 T2具有相同的结果值o1 o2 即 T1 p1 o1 1 p1 o2 T2 p2 o1 1 p2 o2 并假定o1 o2 则 若p1 p2 称事态体T1无差异于T2 记作T1 T2 若p1 p2 称事态体T1优于T2 记作T1 T2 反之 称事态体T1劣于T2 记作T1 T2 2 事态体的比较 定义3 4设两个简单事态体T1 T2仅具有一个相同结果值 另一个结果值不相同 即 T1 p1 o1 1 p1 o0 T2 p2 o2 1 p2 o0 且o2 o1 o0 若p1 p2 则事态体T2优于T1 记作T2 T1 若T1 T2 则必有p1 p2 3 1理性行为公理 3 1 2理性行为公理公理3 l 连通性 可比性 事态体集合 上事态体的优劣关系是连通的 即若T1 T2 则或者T1 T2 或者T2 T1 或者T1 T2 三者必居其一 表示任意两个事态体都是可以比较其优劣的 3 1理性行为公理 3 1 2理性行为公理公理3 2 传递性 事态体集合 上事态体的优劣关系是传递的 即若T1 T2 T3 且T1 T2 T2 T3 则必有T1 T3 表示任意多个事态体的优劣是可以排序的 若有些事态体无差异 可排在同一位置 满足公理3 1和公理3 2的事态体集合称为全序集 3 1理性行为公理 3 1 2理性行为公理公理3 3 复合保序性 替代性 若T1 T2 Q 且0 p 1 则T1 T2当且仅当pT1 1 p Q pT2 1 p Q 表示任意事态体的优劣关系是可以复合的 复合后的事态体保持原有的优劣关系不变 3 1理性行为公理 3 1 2理性行为公理公理3 4 相对有序性 连续性 偏好的有界性 若T1 T2 T3 且T1 T2 T3则存在数p q 0 p l 0 q 1 使得 pT1 1 p T3 T2 qT1 1 q T3表示任意事态体都不是无限优 也不是无限劣 3 1理性行为公理 3 1 3事态体的基本性质性质3 1设事态体T1 p o1 1 p o0 T2 x o2 1 x o0 且o1 o0 o2 o0 若o2 o1则存在x p p使得T1 T2称x为可调概率值 3 1理性行为公理 3 1 3事态体的基本性质性质3 2 确定当量和无差异概率 设事态体T x o1 1 x o2 且o1 o2 则对于满足优劣关系o1 o o2的任意结果值o 必存在x p 0 p l 使得T p o1 1 p o2 o 称结果值o 为事态体T的确定当量 称p为o 关于o1与o2的无差异概率 3 1 3事态体的基本性质 性质3 3任一事态体无差异于一个简单事态体 设有事态体T p1 o1 p2 o2 pn on 则必存在一个简单事态体T p o 1 p o0 T其中 o max o1 o2 on o0 min o1 o2 on 且 这里 qj j 1 2 n 为oj关于o 与o0的无差异概率 3 1 3事态体的基本性质 根据性质3 3比较一般事态体之间的优劣关系 可以转化为比较简单事态体之间的优劣关系 将问题简化 得到事态体之间两两的优劣或无差异关系后 再根据公理3 2 传递性 即可得到所讨论事态体的排序 3 2效用函数的定义和构造 设有决策系统 A F 在离散情况下 结果值可以表示为决策矩阵 3 2效用函数的定义和构造 矩阵O的第i行表示第i个可行方案的n个可能结果值 即事态体Ti p1 oi1 p2 oi2 pn oin i 1 2 m 决策就是要对这m个事态体进行排序 由第一节中的性质3 3知 存在简单事态体T 使得Ti pi o 1 pi o0 Ti问题又化为对这m个简单事态体Ti 进行排序 3 2效用函数的定义和构造 Ti pi o 1 pi o0 Ti注意到这m个简单事态体Ti 具有相同的结果值o o0 根据定义3 3 其优劣关系可以由比较pi 的大小决定 根据性质3 3 qjj是结果值oij关于o 与o0的无差异概率 其中 问题 如何测定无差异概率 o o0 3 2效用函数的定义和构造 3 2 1效用和效用函数的概念效用的概念定义3 5设决策问题的各可行方案有多种可能的结果值o 依据决策者的主观愿望和价值倾向 每个结果值对决策者均有不同的价值和作用 反映结果值o对决策者的价值和作用大小的量值称为效用 3 2效用函数的定义和构造 3 2 1效用和效用函数的概念效用函数的概念定义3 6若在事态体集合 上存在实值函数u 有 1 对任意的T1 T2 T1 T2当且仅当u T1 u T2 2 对任意的T1 T2 且0 1 有u T1 1 T2 u T1 1 u T2 则称u T 为定义在 上的效用函数 3 2 1效用和效用函数的概念 估计效用函数的方法 1 标准效用测定法 概率当量法 V M法 思路 对于给定的结果值 测定其效用值 设有决策系统 A F 其结果值集合为 O o1 o2 on 记 o max o1 o2 on o0 min o1 o2 on 对于每一个结果值oj都存在一个概率值pj 使得oj pj o 1 pj o0 pj就可以作为结果值oj的效用值 3 2 1效用和效用函数的概念 1 标准效用测定法 概率当量法 V M法 步骤 设u o 1 u o0 0 建立简单事态体 x o 1 x o0 其中x称为可调概率 通过反复提问 不断改变可调概率值x 让决策者权衡比较 直至当x pj时oj pj o 1 pj o0 测得结果值oj的效用u oj pj pju o 1 pj u o0 3 2 1效用和效用函数的概念 估计效用函数的方法 2 确定当量法 修正的V M法 思路 对于给定的效用值 测定其结果值 步骤 设u o 1 u o0 0 对于给定的效用值pj 构造简单事态体 pj o 1 pj o0 通过反复提问 不断改变结果值o 让决策者权衡比较 直至当o oj时oj pj o 1 pj o0 得效用值pj对应的结果值为oj 即u oj pj 3 2 2效用函数的构造 介绍一种实用的效用函数的构造方法 基本思路对于决策问题的结果值集合 先用确定当量法找出一个基准效用值 即效用值等于0 5的结果值 称为确定当量o 其余效用值不再测定 而是按比例用线性内插的方法 用同一个标准计算得到 3 2 2效用函数的构造 方法设决策问题结果值集合为 O o1 o2 on 取o max o1 o2 on o0 min o1 o2 on 并令u o 1 u o0 0 构造简单事态体 0 5 o 0 5 o0 用确定当量法找到该事态体的确定当量o 使得 o 0 5 o 0 5 o0 3 2 2效用函数的构造 方法 对结果值进行归一化处理 记归一化的结果值为x oj 则 x x o 1 x0 x o0 0 0 x oj 1 记确定当量o 的归一化值为 也记为x0 5 得到经归一化变换后的效用曲线上的三个点 0 0 0 5 1 1 u x 0 1 1 0 5 3 2 2效用函数的构造 方法 在新区间 0 和 1 按同样方法插入点 x0 25 0 25 和 x0 75 0 75 保持比例关系 计算得 效用曲线上新增两个点 2 0 25 2 2 0 75 u x 0 1 1 0 5 0 25 2 0 75 2 2 若认为点数太少 效用曲线不够精确 可继续按同样方法在新产生的区间内插入效用中点 直到产生足够的点为止 若在效用区间 0 1 中插入2n个分点 记相应的归一化的结果值为 k 有 3 2 3效用与风险的关系 在风险型或不确定型决策问题中 决策者选择方案几乎都要承担一定的风险 不同的决策者对风险的态度是有区别的 效用表示了决策者对决策方案各结果值的偏好程度 也反映了不同类型的决策者对风险的不同态度 因此从不同类型的效用函数可以看出决策者对风险的不同态度 3 2 3效用与风险的关系 中立型效用函数设有效用函数u u x 若对xl x2 有 则称该效用函数为中立型 其效用曲线是一条直线 中立型效用函数的效用值和结果值成正比例 因此可以用结果值直接评选方案 3 2 3效用与风险的关系 保守型效用函数设有效用函数u u x 若对xl x2 有 则称该效用函数为保守型 其效用曲线是一条上凸曲线 表示效用值随结果值的增加而增加 但增加的速度逐渐由快至慢 反映了决策者随结果值增加越来越谨慎 对风险持厌恶态度 3 2 3效用与风险的关系 冒进型效用函数设有效用函数u u x 若对xl x2 有 则称该效用函数为冒进型 其效用曲线是一条下凸曲线 表示效用值随结果值的增加而增加 且增加的速度越来越快 反映了决策者随结果值增加越来越敢于冒险追求高额回报的态度 3 2 3效用与风险的关系 中立型效用函数 保守型效用函数 冒进型效用函数 3 2 3效用与风险的关系 混合型效用函数三种基本效用函数的混合 如 混合型效用函数 表示当x x0时 即结果值不大时 决策者具有一定冒险精神 当x x0时 即结果值较大时 决策者对风险转而持谨慎态度 x0 3 3效用函数表 一 效用函数表的构造实际构造效用函数时 取n 6定出效用曲线上的26 64 个点 效用函数的精度已经足够 书后附表6给出了n 6对于不同的权衡指标值 0 5时 对应的是冒进 下凸 型效用函数 效用函数值无法直接查表 3 3效用函数表 一 效用函数表的构造可以证明 0 5的效用曲线u x 与 1 的效用曲线u x 是关于直线u x对称的 因此 0 5的效用函数值可以按下面的方法求得 u x 1 u 1 x 具体步骤见教材P62 注 查表时在给定的 列若没有对应的x值 则找出与之相邻的两个值x1 x2 查出对应的效用值后用线性内插的方法确定u x 3 3效用函数表 二 效用函数表的使用例3 1某企业欲投产一种新产品 有三种方案可供选择 已知市场存在三种状态 畅销 一般 滞销 三种方案在不同的市场状态下所获利润额构成以下的决策矩阵 决策者认为 o 4 5 0 5 20 0 5 5 例3 1试求该企业决策者的效用矩阵 解 o max oij 20 o0 min oij 5u o 1 u o0 0将决策矩阵的结果值归一化 得归一化后的决策矩阵为 例3 1试求该企业决策者的效用矩阵 由o 4 5 0 5 20 0 5 5 得 查P369附表6 0 38所在列 以x22 0 5为例 0 490621 x22 0 5 0 503698而u 0 490621 0 65625 u 0 503698 0 671875用线性内插法 解得u x22 0 6675 例3 1试求该企业决策者的效用矩阵 同理得 u x11 0 7300 u x12 0 6091 u x13 0 4306 u x31 0 8742u x32 0 5596 u x33 0 2068且u x21 u o 1 u x23 u o0 0 得决策者的效用矩阵为 例3 2在上例中 若决策者认为 o 11 25 0 5 20 0 5 5 试求该企业决策者的效用矩阵 解 同上例方法得归一化后的决策矩阵为 例3 2 由o 11 25 0 5 20 0 5 5 得 查P369附表6 1 0 65 0 35所在列 以x32 0 44为例 u x32 1 u 1 x32 1 u 0 56 0 53689 0 56 0 5775而u 0 53689 0 734375 u 0 5775 0 75用线性内插法解得u 0 56 0 7433 因此 u x32 1 u 0 56 0 2567 例3 2 同理得 u x11 0 3819 u x12 0 2598 u x13 0 1271 u x22 0 2920u x31 0 5725 u x33 0 0251且u x21 u o 1 u x23 u o0 0 得决策者的效用矩阵为 3 4效用函数的曲线拟合 前面讨论了针对特定的结果值 如何测定其效用 我们得到的只是一些离散的效用值 要得到连续的效用函数 则需要用曲线拟合的方法 常见的拟合曲线形式线性函数型u x c1 a1 x c2 其中c1 a1 c2为待定参数 前面查表时用内插法确定某些效用值 实际上就相当于效用函数为分段线性函数 3 4效用函数的曲线拟合 常见的拟合曲线形式指数函数型 其中ci ai i 1 2 3 均为待定参数 双指数函数型 指数加线性函数型 3 4效用函数的曲线拟合 常见的拟合曲线形式幂函数型 其中c1 a1 c2为待定参数 不论采用哪种形式的函数 一般都尽可能化为线性函数通过最小二乘法确定待定参数 对数函数型 3 4效用函数的曲线拟合 3