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文档简介
第2讲三角变换与解三角形【高考考情解读】1.从近几年的考情来看,对于三角恒等变换,高考命题以公式的基本运用、计算为主,往往以向量为载体,其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点;解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密,有利于考查考生的各种能力,成了高考命题的一大热点2.分析近年考情可知,命题一般为12题,其中,填空题多为低档题,解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用题,难度中等基础知识1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2 二倍角的正弦、余弦、正切公式:(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3 正弦定理: 2R(2R为ABC外接圆的直径)变形:a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C.sin A,sin B,sin C. abcsin Asin Bsin C.4 余弦定理 a2b2c22bccos A.b2a2c22accos B.c2a2b22abcos C.推论:cos A,cos B,cos C.变形:b2c2a22bccos A,a2c2b22accos B,a2b2c22abcos C.5 面积公式: SABCbcsin Aacsin Babsin C.6 解三角形: (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解 (2)已知两边及一边的对角,利用正余弦定理求解,解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解(4)已知三边,利用余弦定理求解热点分类突破:考点一三角变换例1(2013广东)已知函数f(x)cos,xR.(1)求f的值;(2)若cos ,求f. (1)(2013四川)设sin 2sin ,则tan 2的值是_(2)(2012江苏)设为锐角,若cos,则sin的值为_考点二正、余弦定理例2(2013课标全国)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知abcos Ccsin B.(1)求B;(2)若b2,求ABC面积的最大值 设ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且(2bc)cos Aacos C.(1)求角A的大小;(2)若角B,BC边上的中线AM的长为,求ABC的面积课堂达标1 设、都是锐角,且cos ,sin(),则cos 等于_2 已知cossin ,则sin的值是_3 (2013辽宁)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab,且ab,则B等于_4 锐角三角形ABC中,若C2B,则的范围是_又A(BC)3B,即B,cos B,2cos B.考点三正、余弦定理的实际应用例3(2013江苏)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量cos A,cos C.(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?、 在南沙某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处,12时20分测得船在海岛北偏西60的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,问船速为多少?规律总结1 求解恒等变换的基本思路一角二名三结构,即用化归转化思想“去异求同”的过程,具体分析如下:(1)首先观察角与角之间的关系,注意角的一些常用变换形式,角的变换是三角函数变换的核心(2)其次看函数名称之间的关系,通常“切化弦”(3)再次观察代数式的结构特点2 解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据,注意定理的灵活变形,如a2Rsin A,sin A(其中2R为三角形外接圆的直径),a2b2c22abcos C等,灵活根据条件求解三角形中的边与角(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用,如利用“三角形的内角和等于”和诱导公式可得到sin(AB)sin C,sin cos 等,利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.押题精炼1 在ABC中,已知tan sin C,给出以下四个结论:1;1sin Asin B;sin2Acos2B1;cos2Acos2Bsin2C.其中正确的序号为_2 已知函数f(x)sin coscos2.(1)若f(x)1,求cos的值;(2)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足acos Ccb,求f(B)的取值范围(推荐时间:60分钟)一、填空题1 设、都是锐角,且cos ,sin(),则cos 等于_答案解析根据、都是锐角,且cos ,sin2cos21,得sin ,又sin(),cos().又cos cos()cos()cos sin()sin .2 已知cossin ,则sin的值是_答案解析cossin ,cos sin ,sin,sin,sinsin.3 (2013辽宁)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab,且ab,则B等于_答案解析由条件得sin Bcos Csin Bcos A,依正弦定理,得sin Acos Csin Ccos A,sin(AC),从而sin B,又ab,且B(0,),因此B.4 锐角三角形ABC中,若C2B,则的范围是_答案(,)解析设ABC三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,则有2cos B.又C2B,B.又A(BC)3B,即B,cos B,2cos B.5 已知ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且tan B,则tan B等于_答案2解析由题意得,|cos Baccos B,即cos B,由余弦定理,得cos Ba2c2b21,所以tan B2.6 (2013重庆改编)计算:4cos 50tan 40_.答案解析4cos 50tan 40.7 (2013福建)如图,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC,AB3,AD3,则BD的长为_答案解析sinBACsin(BAD)cosBAD,cosBAD.BD2AB2AD22ABADcosBAD(3)232233,即BD23,BD.8 已知tan,且0,则_.答案解析由tan,得tan .又0,可得sin .故2sin .9 在ABC中,C60,AB,AB边上的高为,则ACBC_.答案解析依题意,利用三角形面积相等有:ABhACBCsin 60,ACBCsin 60,ACBC.利用余弦定理可知cos 60,cos 60,解得:AC2BC2.又因(ACBC)2AC2BC22ACBC11,ACBC.二、解答题10已知函数f(x)sin(2x)2cos2x1(xR)(1)求f(x)的单调递增区间;(2)在ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A),2abc,bc18,求a的值解(1)f(x)sin(2x)2cos2x1sin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.令2k2x2k(kZ),得kxk(kZ),即f(x)的单调递增区间为k,k(kZ)(2)由f(A),得sin(2A).2A2,2A.A.由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc.又2abc,bc18,a24a2318,即a218,a3.11(2013四川)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值;(2)若a4,b5,求向量在方向上的投影解(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC),得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B,即cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.则cos(ABB),即cos A.(2)由cos A,0Ab,则AB,故B,根据余弦定理,有(4)252c225c,解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cos B.12(2013福建)如图,在等腰直角OPQ中,POQ90,OP2,点M在线段PQ上,(1)若OM,求PM的长;(2)若点N在线段MQ上,且MON30,问:当POM取何值时,OMN的面积最小?并求出面积的最小值解(1)在
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