1.2.2同角三角函数关系.docx

第2讲三角变换与解三角形【高考考情解读】1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，往往以向量为载体，其中与角所在范围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密，有利于考查考生的各种能力，成了高考命题的一大热点2.分析近年考情可知，命题一般为12题，其中，填空题多为低档题，解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用题，难度中等基础知识1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan().2 二倍角的正弦、余弦、正切公式:(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2.3 正弦定理: 2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.sin A，sin B，sin C. abcsin Asin Bsin C.4 余弦定理 a2b2c22bccos A.b2a2c22accos B.c2a2b22abcos C.推论：cos A，cos B，cos C.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.5 面积公式: SABCbcsin Aacsin Babsin C.6 解三角形: (1)已知两角及一边，利用正弦定理求解 (2)已知两边及一边的对角，利用正余弦定理求解，解的情况可能不唯一(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解(4)已知三边，利用余弦定理求解热点分类突破：考点一三角变换例1(2013广东)已知函数f(x)cos，xR.(1)求f的值；(2)若cos ，求f. (1)(2013四川)设sin 2sin ，则tan 2的值是_(2)(2012江苏)设为锐角，若cos，则sin的值为_考点二正、余弦定理例2(2013课标全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值 设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2bc)cos Aacos C.(1)求角A的大小；(2)若角B，BC边上的中线AM的长为，求ABC的面积课堂达标1 设、都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等于_2 已知cossin ，则sin的值是_3 (2013辽宁)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B等于_4 锐角三角形ABC中，若C2B，则的范围是_又A(BC)3B，即B，cos B，2cos B.考点三正、余弦定理的实际应用例3(2013江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量cos A，cos C.(1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？、 在南沙某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处，12时20分测得船在海岛北偏西60的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？规律总结1 求解恒等变换的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”(3)再次观察代数式的结构特点2 解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a2Rsin A，sin A(其中2R为三角形外接圆的直径)，a2b2c22abcos C等，灵活根据条件求解三角形中的边与角(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于”和诱导公式可得到sin(AB)sin C，sin cos 等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等.押题精炼1 在ABC中，已知tan sin C，给出以下四个结论：1；1sin Asin B；sin2Acos2B1；cos2Acos2Bsin2C.其中正确的序号为_2 已知函数f(x)sin coscos2.(1)若f(x)1，求cos的值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acos Ccb，求f(B)的取值范围(推荐时间：60分钟)一、填空题1 设、都是锐角，且cos ，sin()，则cos 等于_答案解析根据、都是锐角，且cos ，sin2cos21，得sin ，又sin()，cos().又cos cos()cos()cos sin()sin .2 已知cossin ，则sin的值是_答案解析cossin ，cos sin ，sin，sin，sinsin.3 (2013辽宁)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Ab，且ab，则B等于_答案解析由条件得sin Bcos Csin Bcos A，依正弦定理，得sin Acos Csin Ccos A，sin(AC)，从而sin B，又ab，且B(0，)，因此B.4 锐角三角形ABC中，若C2B，则的范围是_答案(，)解析设ABC三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，则有2cos B.又C2B，B.又A(BC)3B，即B，cos B，2cos B.5 已知ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且tan B，则tan B等于_答案2解析由题意得，|cos Baccos B，即cos B，由余弦定理，得cos Ba2c2b21，所以tan B2.6 (2013重庆改编)计算：4cos 50tan 40_.答案解析4cos 50tan 40.7 (2013福建)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_答案解析sinBACsin(BAD)cosBAD，cosBAD.BD2AB2AD22ABADcosBAD(3)232233，即BD23，BD.8 已知tan，且0，则_.答案解析由tan，得tan .又0，可得sin .故2sin .9 在ABC中，C60，AB，AB边上的高为，则ACBC_.答案解析依题意，利用三角形面积相等有：ABhACBCsin 60，ACBCsin 60，ACBC.利用余弦定理可知cos 60，cos 60，解得：AC2BC2.又因(ACBC)2AC2BC22ACBC11，ACBC.二、解答题10已知函数f(x)sin(2x)2cos2x1(xR)(1)求f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f(A)，2abc，bc18，求a的值解(1)f(x)sin(2x)2cos2x1sin 2xcos 2xcos 2xsin 2xcos 2xsin.令2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)，即f(x)的单调递增区间为k，k(kZ)(2)由f(A)，得sin(2A).2A2，2A.A.由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc.又2abc，bc18，a24a2318，即a218，a3.11(2013四川)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC).(1)求cos A的值；(2)若a4，b5，求向量在方向上的投影解(1)由2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC)，得cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B，即cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.则cos(ABB)，即cos A.(2)由cos A，0Ab，则AB，故B，根据余弦定理，有(4)252c225c，解得c1或c7(舍去)故向量在方向上的投影为|cos B.12(2013福建)如图，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上，(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值解(1)在