2012全品高考复习方案教师手册（理）第12单元-推理与证明-人教A版.ppt

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经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出的推理叫合情推理 合情推理可分为 和 两类 1 归纳推理 由某类事物的 具有某些特征 推出该类事物的 具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 叫归纳推理 简言之 归纳推理是由 到 由 到 的推理 2 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理 叫类比推理 简言之 类比推理是由 到 的推理 第68讲 知识梳理 归纳推理 类比推理 部分对象 全部对象 部分 整体 个别 一般 特殊 特殊 3 演绎推理 1 定义 从一般性的真命题 原理或逻辑规则 出发 推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理 简言之 演绎推理是由 到 的推理 2 三段论 三段论是演绎推理的一般模式 它包括 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般原理 对特殊情况作出的判断 第68讲 知识梳理 一般 特殊 大前提 小前提 结论 探究点1归纳整理 第68讲 要点探究 第68讲 要点探究 第68讲 要点探究 变式题 2010 福建卷 观察下列等式 cos2 2cos2 1 cos4 8cos4 8cos2 1 cos6 32cos6 48cos4 18cos2 1 cos8 128cos8 256cos6 160cos4 32cos2 1 cos10 mcos10 1280cos8 1120cos6 ncos4 pcos2 1 可以推测 m n p 第68讲 要点探究 思路 观察cos 的最高次的系数2 8 32 128 可得出m 128 4 512 进一步分析各项系数的特点与关系或利用赋值法列方程组 通过解方程组确定n p的值 962 解析 方法一 观察等式可知 cos 的最高次的系数2 8 32 128构成了公比为4的等比数列 所以m 128 4 512 1 进一步观察 可得每一个式子右边所有系数之和为1 即有m 1280 1120 n p 1 1 整理 得m n p 162 2 再仔细观察可以发现 每一个式子右边cos2 的系数分别为2 1 2 8 2 4 18 3 6 32 4 8 则p 5 10 50 3 第68讲 要点探究 探究点2类比推理 第68讲 要点探究 第68讲 要点探究 探究点3演绎推理 第68讲 要点探究 例3已知梯形ABCD中 AB DC AD AC和BD是它的对角线 用三段论证明 CA平分 BCD BD平分 CBA 第68讲 要点探究 例3 思路 分清所证问题的大前提 正确利用平面几何的有关性质 严格按三段论加以论证 解答 1 两平行线与第三条直线相交 内错角相等 大前提 BCA与 CAD是平行线AD BC被AC所截内错角 小前提 所以 BCA CAD 结论 2 等腰三角形两底角相等 大前提 CAD是等腰三角形 DA DC 小前提 所以 DCA CAD 结论 3 等于同一个量的两个量相等 大前提 BCA与 DCA都等于 CAD 小前提 所以 BCA DCA 所以CA平分 BCD 结论 4 同理BD平分 CBA 第68讲 规律总结 1 归纳推理归纳推理的难点是由部分结果得到一般结论 破解的方法是充分考虑这部分结果提供的信息 从中发现一般规律 解题的一般步骤是 1 对有限的资料进行观察 分析 归纳整理 2 提出带有规律性的结论 即猜想 3 检验猜想 第68讲 规律总结 2 类比推理 1 类比推理的难点是发现两类对象的相似特征 由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征 破解的方法是利用已经掌握的数学知识 分析两类对象之间的关系 通过两类对象的已知的相似特征得出所需要的相似特征 其一般的步骤是 1 找出两类对象之间可以确切表达的相似性 或一致性 2 用一类对象的性质去推断另一类对象的性质 从而得到一个猜想 3 验证猜想 第68讲 规律总结 3 合情推理与演绎推理的区别 1 归纳推理是由特殊到一般的推理 2 类比推理是由特殊到特殊的推理 3 演绎推理是由一般到特殊的推理 从推理的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待证明 演绎推理得到的结论一定正确 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 是证明数学问题的基本推理形式 第69讲 直接证明与间接证明 第69讲直接证明与间接证明 1 直接证明直接从原命题的条件逐步推得结论成立 这种证明方法叫直接证明 直接证明有两种基本方法 分析法和综合法 1 综合法 是由原因推导到结果的证明方法 它是利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的 最后推导出所要证明的结论 的证明方法 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 则综合法可用框图表示为 第69讲 知识梳理 推理论证 成立 2 分析法 是从 出发 逐步寻求推证过程中 使每一步结论成立的 直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定义 公理 定理等 为止的证明方法 用Q表示要证明的结论 则分析法可用框图表示为 第69讲 知识梳理 3 综合法与分析法的辩证关系 在解决问题时 常常用分析法寻找解题思想方法 而用综合法展现解决问题的过程 即综合分析法 要证明的结论 充分条件 2 间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 1 反证法的定义 一般地 假设原命题的结论 经过正确的推理 最后得出 由此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的方法叫反证法 2 用反证法证明的一般步骤 反设 假设命题的结论不成立 归谬 根据假设进行推理 直到推理中导出矛盾为止 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 第69讲 知识梳理 不成立 矛盾 说明 反证法的证明过程可以概括为 否定 推理 否定 即从否定结论开始 经过正确的推理 导致逻辑矛盾 从而达到新的否定 即肯定原命题 的过程 用反证法证明命题 若p则q 的过程可以用下图所示的框图表示 第69讲 知识梳理 探究点1输入 输出和赋值语句 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 点评 综合法的实质是揭示出条件与结论之间的因果关系 为此要着力分析已知和求证之间的差异和联系 不等式左右两端的差异和联系 并合理应用已知条件进行有效的变换 这是用综合法证题的关键 综合法是一种由因索果的证明方法 其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法 第70讲 要点探究 变式题 第70讲 要点探究 探究点2分析法 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 点评 当要证明的不等式较复杂 两端的差异难以消除或者已知条件信息太小不知如何下手时 适时运用分析法会使问题容易获得解决 在用分析法证题时 要正确使用连接有关步骤的关键词 如 为了证明 只需证明 等 分析法是步步寻求结论成立的充分条件 有时与综合法混合使用 也叫分析综合法 第70讲 要点探究 变式题 第69讲 要点探究 例3设数列 an 是公比为q的等比数列 Sn是它的前n项和 证明 数列 Sn 不是等比数列 探究点3反证法 点评 否定性命题从正面突破往往比较困难 故用反证法比较好 第70讲 要点探究 变式题 第69讲 要点探究 探究点4综合运用 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 点评 有些数学证明题 单独运用一种证明方法很难或无法完成 此时要善于将多种证明方法混合使用 常常用分析法寻找解题思路 用综合法加以证明 本题通过对原不等式进行等价变形 找到了便于证明的不等式 然后构造函数证明不等式 综合运用了分析法 综合法和构造法 第69讲 规律总结 1 综合法证题的一般规律用综合法证明命题时 必须首先找到正确的出发点 也就是能想到从哪里起步 我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质 逐层推进 从而由已知逐渐引出结论 2 分析法证题的一般规律分析法的思路是逆向思维 用分析法证题必须从结论出发 倒着分析 寻找结论成立的充分条件 应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达 下一步是上一步的充分条件 第69讲 规律总结 3 反证法证题的一般规律反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立 反证法的主要依据是逻辑中的排中律 排中律的一般形式是 或者是A 或者是非A 即在同一讨论过程中 A和非A有且仅有一个是正确的 不能有第三种情况出现 第70讲 数学归纳法 第70讲数学归纳法 1 数学归纳法的概念设命题p n 是与正整数n有关的命题 如果满足 1 n0 N 命题p n0 成立 2 当假设命题p k k N k n0 成立时 可以推出命题p k 1 也成立 那么 可以断定命题p n 对一切正整数n n0成立 2 数学归纳法的适用对象数学归纳法是用来证明关于与 有关命题的一种方法 若n0是起始值 则n0是使命题成立的 整数 第70讲 知识梳理 正整数n 最小正 3 数学归纳法证明的步骤 1 归纳奠基 证明当n取第一个值 时 命题成立 2 归纳递推 假设 时 命题成立 证明当n k 1时命题也成立 3 归纳总结 根据 1 2 可知 当 时 命题成立 第70讲 知识梳理 n n0 n k k n0 k N n n0 且n N 探究点1利用数学归纳法证明等式 第70讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 点评 用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时 关键在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 由n k到n k 1时等式的两边变化的项 然后正确写出归纳证明的步骤 使问题得以证明 数学归纳法的证明过程中 要把握好两个关键之处 一是f n 与n的关系 二是f k 与f k 1 的关系 第70讲 要点探究 变式题 第70讲 要点探究 探究点2用数学归纳法证明不等式 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第70讲 要点探究 变式题 第70讲 要点探究 探究点3用数学归纳法证明与正整数有关的综合性问题 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第69讲 要点探究 第70讲 要点